第1章教案1.doc

第一章　集合与常用逻辑用语

学案1 集合的概念与运算

导学目标： 1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算．

自主梳理
1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或表示．
3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
4．集合间的基本关系
对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但xA，则 AB(或BA)．
若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
5．集合的运算及性质
设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
设全集为S，则∁SA＝{x|x∈S且xA}．
A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，
A∩B＝A⇔A⊆B.
A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，
A∪B＝B⇔A⊆B.
A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U.
自我检测
1．(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号)．
①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；
②M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}；
③M＝{4,5}，N＝{5,4}；
④M＝{1,2}，N＝{(1,2)}．
答案　③
2．(2014·江苏高考)已知集合，，则 ．

3．(2009·辽宁改编)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<5}，则M∩N＝________.
答案　{x|－3<x<5}

解析　画数轴，找出两个区间的公共部分即得M∩N＝{x|－3<x<5}．
4． (必修1P17第6题改编)已知集合A＝[1,4)，B＝(－∞，a)，AB，则a∈________.
答案： [4，＋∞)
解析：在数轴上画出A、B集合，根据图象可知．

5． (必修1P17第8题改编)满足条件{1}M{1,2,3}的集合M的个数是________．
答案：4个
解析：满足条件{1}M{1,2,3}的集合M为{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}，共4个．

探究点一　集合的基本概念
例1　(1)(2013·新课标卷Ⅰ改编)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，
则A∪B________.
解析：选B　集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－＜x＜}＝R.
答案：R
(2) 已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,3,5}，则∁U(A∩B)＝________.
解析　由A∩B＝{1,3}，得∁U(A∩B)＝{2,4,5,6}．
答案　{2,4,5,6}

变式1:　 若集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，则A∩Z中有________个元素．
答案：6
解析：A＝{x|－1<x<6}，∴A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}共6个元素．

变式2:设U＝R，M＝{x|x2－2x>0}，则UM＝________ .
答案：[0,2]
解析：∴ M＝{x|x＞2或x＜0}，UM＝ [0,2]．
若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则UA＝________.
答案： {x|0<x<1}
解析：根据数轴可知UA＝{x|0<x<1}．

探究点二　集合间的关系
例2　设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝A，求实数a的取值范围．

变式:已知集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}．
(1) 若a＝3，求A；
(2) 若A∩B＝，求实数a的取值范围．
解：(1) 当A＝3时，由|x－3|≤1，得－1≤x－3≤1，解得2≤x≤4，∴A＝{x|2≤x≤4}．　
(2) 由|x－A|≤1，得A－1≤x≤A＋1，
∴A＝{x|A－1≤x≤A＋1}．由x2－5x＋4≥0，
解得 x≤1或x≥4，∴B＝{x|x≤1或x≥4} .
∵A∩B＝，
∴，解得2<a<3，
即a的取值范围是2<a<3.

探究点三　集合的运算
例3　已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．
解：A＝{－2≤x≤5}．
①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA，得－2≤p＋1且2p－1≤5.即－3≤p≤3.∴2≤p≤3.
②当B＝时，即p＋1>2p－1p＜2.
由①、②，得p≤3.
变式1:　已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|}．若AB＝A，求实数m的取值范围．

变式2:设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
解题导引　解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．
解　(1)A＝{x|≤x≤3}．
当A＝－4时，B＝{x|－2<x<2}，
∴A∩B＝{x|≤x<2}，
A∪B＝{x|－2<x≤3}．
(2)∁RA＝{x|x<或x>3}．
当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA，
即A∩B＝∅.
①当B＝∅，即A≥0时，满足B⊆∁RA；
②当B≠∅，即A<0时，B＝{x|－<x<}，
要使B⊆∁RA，需≤，解得－≤a<0.
综上可得，a的取值范围为a≥－.

5．

已知集合A＝{1，3，A}，B＝{1，A2－A＋1}，且B⊆A，则A＝________.
答案　－1或2
解析　由A2－A＋1＝3，∴A＝－1或A＝2，经检验符合．
由A2－A＋1＝A，得A＝1，但集合中有相同元素，舍去，故A＝－1或2.

一、填空题
1．(2010·北京改编)集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，则P∩M＝________.
答案　{0,1,2}
解析　由题意知：P＝{0,1,2}，
M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．
2．(2011·南京模拟)设P、Q为两个非空集合，定义集合P＋Q＝{A＋B|A∈P，B∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q＝________________.
答案　{1,2,3,4,6,7,8,11}
解析　P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．
3．满足{1}⊆A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________．
答案　3
解析　A＝{1}∪B，其中B为{2,3}的子集，且B非空，显然这样的集合A有3个，即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．
4．(2010·天津改编)设集合A＝{x||x－A|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数A的取值范围是______________．
答案　A≤0或A≥6
解析　由|x－A|<1得－1<x－A<1，
即A－1<x<A＋1.

由图可知A＋1≤1或A－1≥5，所以A≤0或A≥6.
5．设全集U是实数集R，

M＝{x|x2>4}，N＝{x|≥1}，则如图中阴影部分所表示的集合是________．
答案　{x|1<x≤2}
解析　题图中阴影部分可表示为(∁UM)∩N，集合M为{x|x>2或x<－2}，集合N为 {x|1<x≤3}，由集合的运算，知(∁UM)∩N＝{x|1<x≤2}．
6．(2011·泰州模拟)设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数为________．
答案　4
解析　由题意知B的元素至少含有3，因此集合B可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．
7． (2010·常州五校联考)集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝，x∈R}，则M∩N＝________.
答案　[－1,3]
解析　∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．
又∵y＝，∴9－x2≥0.
∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．
8．(2010·江苏)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{A＋2，A2＋4}，A∩B＝{3}，则实数A＝____.
答案　1
解析　∵3∈B，由于A2＋4≥4，∴A＋2＝3，即A＝1.
二、解答题
9．集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B.
解　∵A＝{x|x2＋5x－6≤0}
＝{x|－6≤x≤1}．(3分)
B＝{x|x2＋3x>0}＝{x|x<－3或x>0}．(6分)
如图所示，
∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}＝R.(10分)
A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3或x>0}
＝{x|－6≤x<－3，或0<x≤1}．(14分)
10．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
审题视点　若B⊆A，则B＝∅或B≠∅，要分两种情况讨论．
解　当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则解得2<m≤4.
综上，m的取值范围为m≤4.

11.已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}，
(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．
解　由≤0，
所以－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}．(3分)
(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，
则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，(6分)
所以A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．(10分)
(2)因为A＝{x|－1<x≤5}，
A∩B＝{x|－1<x<4}，(12分)
所以有42－2×4－m＝0，解得m＝8.
此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意，
故实数m的值为8.(14分)

12．(2012·南昌模拟)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解　由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝[0,3]，∴∴m＝2.
(2)∁RB＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}，∵A⊆∁RB，
∴m－2＞3或m＋2＜－1，即m＞5或m＜－3.
所以实数m的取值范围是{m|m＞5，或m＜－3}．