《金版新学案》2012高三数学一轮复习-第二章-第3课时练习-理-新人教A版.doc

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一、选择题
1．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
解析：　由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.
答案：　D
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：　∵f(x)是奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(6)＝－f(4)＝f(2)＝－f(0)＝0.
答案：　B
3．若奇函数f(x)＝3sin x＋c的定义域是[a，b]，则a＋b－c等于(　　)
A．3 B．－3
C．0 D．无法计算
解析：　由于函数f(x)是奇函数，且定义域为[a，b]，所以a＋b＝0，又因为f(0)＝0，得c＝0，于是a＋b－c＝0.
答案：　C
4.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是(　　)
A．y＝x2＋1
B．y＝|x|＋1
C．y＝
D．y＝
解析：　利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．
又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；
y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；
y＝在(－2,0)上为增函数，
y＝在(－2,0)上为减函数，故选C.
答案：　C
5．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f＞0＞f(－)，则方程f(x)＝0的根的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：　因为在(0，＋∞)上函数递减，且f·f(－)＜0，
又f(x)是偶函数，所以f·f()＜0，
因f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，
又因为f(x)是偶函数，则它在(－∞，0)上也有唯一的零点，
故方程f(x)＝0的根有2个．
答案：　C
6．已知函数f(x)为(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(2 009)＋f(2 010)的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：　由f(x)为奇函数得f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)．
又f(x)关于x＝1对称，有f(－x)＝f(x＋2)，
所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)的周期为4.又f(1)＝21－1＝1，f(0)＝20－1＝0，
所以f(2 009)＋f(2 010)＝f(1)＋f(0)＝1，故选D.
答案：　D
二、填空题
7．如果函数g(x)＝是奇函数，则f(x)＝______.
解析：　令x<0，∴－x>0，g(－x)＝－2x－3，
∴g(x)＝2x＋3，∴f(x)＝2x＋3.
答案：　2x＋3
8．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于________．
解析：　由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，
又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，
∴f(7)＝－2.
答案：　－2
9．已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠1}，f(x＋1)为奇函数，当x＜1时，f(x)＝2x2－x＋1，则当x＞1时，f(x)的递减区间是________．
解析：　由f(x＋1)为奇函数得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，
即f(x)＝－f(2－x)．
设x＞1，则2－x＜1，f(2－x)＝2(2－x)2－(2－x)＋1＝2x2－7x＋7，
∴f(x)＝－2x2＋7x－7.
故当x＞1时，f(x)的递减区间为.
答案：　
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．
解析：　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数是偶函数．
当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；
f(－1)－f(1)＝－2a≠0，
∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x2＋.
任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)
＝－
＝(x1＋x2)(x1－x2)＋
＝(x1－x2)
由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1＋x2＞，
所以f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．
11．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)的区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解析：　(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
12．函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
解析：　(1)依题意得
即⇒.
∴f(x)＝.
(2)证明：任取－1＜x1＜x2＜1，
f(x1)－f(x2)＝－
＝
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x1－x2＜0,1＋x＞0,1＋x＞0.
又－1＜x1x2＜1，
∴1－x1x2＞0
∴f(x1)－f(x2)＜0，
∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
(3)f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜.