图形潜入题润题细无声_浅谈构造几何图形证明代数不等式.pdf

图形潜入题润题细无声 浅谈构造几何图形证明代数不等式于志洪（江苏省泰州市森南新村 栋 室 ）本文通过举例，谈谈如何构造几何图形证明代数不等式，供高中教师和学生教与学时参考构造等边三角形证明不等式例设，是介于与之间的实数 求证：（）（）（）分析本题直接证明非常困难，考虑到左边是两个因式乘积之和的形式，而两因式乘积通常与几何中求图形面积的问题有关，因此考虑构造等边三角形或矩形来解图解构造如图所示的边 长 为 的 等 边 三 角 形 ，分别在 上取，则，连，则 （）槡槡（）同理 槡（），槡（），槡因为 ，所以槡（）槡（）槡（）槡，即（）（）（）构造圆形证明不等式例已知，都是正数，且求证：分析待证的不等式可转化为（）（）若令（），其中，这就使我们联想到相交弦定理，因此，可构造圆来解决图证明如图，以为直径作，在直径 上取点，使，因为，所以不是圆心，过做弦，使 设，由相交弦定理得（），（）又因为有，所以，即（），构造长方形证明不等式例 已知，都是正有理数，求证：槡槡（槡）分析此题初看，似乎无从下手，但仔细观察其整体结构与三角形中三边间关系相似，再观察被开方数结构，容易联想到勾股定理，它们都是直角三角形的斜边，凑在一起就构造出矩形数学教学研究第 卷第期 年月图证明构造如图所示的矩形 ，所以 槡，槡，（）（）槡（槡）根据三角形三边关系定理，得 ，即槡槡（槡）构造正方形证明不等式例已知，均为正数，求证：槡，槡，槡槡（）图分析结论左式可视为三 线 段槡，槡，槡之和，从形式上看与直角三角形勾股定理相符，为此，构造正方形 如图，使，则 槡，槡，槡，（）槡槡（）而 ，故槡槡槡槡（），当且仅当时，等号成立构造梯形证明不等式例已知，均为正数，求证：槡槡证明构造如图所示的梯形，使，由勾股定理得 槡，图槡 因 为梯形 ，所以（）（）槡槡 展开化简得 槡槡 因为 （当 时取等号），所以 槡槡构造长方体证明不等式例已知：，求 证：槡槡槡分析由条件与长方体对角线的性质相似，不妨构造出一个长方体，其长、宽、高分别为，加以证明图证 明如 图 所示，在 长 方 体 中，且槡，设 其对角线相交于，过点作 于，连结，在 中，所以 ，又，槡，所以 槡，在 中，又 有 ，所 以槡同理可得槡，槡，所以槡槡槡第 卷第期 年月数学教学研究构造正方体证明不等式例已 知 锐 角，满 足 ，求证：槡 图证明如图，由已知条件 构 造 正 方 体 ，使，又 设，则易证 槡槡槡槡 构造四面体证明不等式例已知，为正数，求证：槡 槡 槡分析注意到 ，于是我们可以把 槡看成以，为两边，夹角为 的三角形的第三边，从而得到下面证法图证明如图，在平面上任取点，作 ，截，连，则三边的 长分 别 是 槡，槡，槡由 就得要证的不等式综上所述可知：注意构造几何图形证明代数不等式的专题研究，符合新课程改革关于“让学生的思维活跃起来”的理念要求，有利于提高学生的专题总结水平，有利于学生在研究总结的过程中，拓展视野，启迪思维，有利于学生系统灵活地掌握所学的知识内容，对于帮助学生理解课本内容，培养探索精神和创新意识，提高解题水平和发展思维能力，均颇有益处练习设，求证：槡 槡 槡图提示构造如图所示的 四 面 体，设 在 三 面 体 中，且 ，由余弦定理分别求得：槡，槡，槡，在 中，由 即得所证练习已知，均为正实数，且，求证：提示构造如图 所示的圆，在直径 的两侧任作 和 ，使，由勾股定理，知，满足题设条件，根据托勒密定理，得 ，因为 所以 图 图 练习设，求证：槡槡槡 提 示所 证 不 等 式 变 形 为槡槡槡 这 可 认 为 是 点（槡，槡）到直线的距离，但因（槡）（槡），故点数学教学研究第 卷第期 年月在圆（，）上，如图 所示，半径，则槡槡槡，槡槡槡，当时取等号练习已知：，求证：提示如图 所示，矩形 ，设，矩形 ，矩形 ，因为，且，所以（）（），即 图 图 练习同例，略提示构造如图 所示的 和 ，显 然，所 以，又因为，所以练习已知，都是正实数，求证：槡（）（）槡槡图 提示构造边长为的正方形 如图，所以槡（），（）槡，槡，因为 ，所以槡（）（）槡槡练习已知，求证：槡（）槡（）槡（）（）槡槡 提示如图，作长为，宽为的矩形 槡，（）槡（）（）槡，（）槡，而 槡，槡，所以槡（）槡（）槡（）（）槡槡 图 图 练习设，都 是 正 数，满 足，且最大，求证：提示如图，取线段，在 上取点，使，以 为直径作圆，不妨设，作割线，交圆，作 因为 ，即 ，所以，又 ，在 中，即参考文献于志洪，吴春胜构造长方体证明三角不等式数学教学研究，（）（收稿日期：）第 卷第期 年月数学教学研究