均匀带电薄圆盘的电势及等势面.pdf

教学研究均匀带电薄圆盘的电势及等势面程昌林?王?慧?李业凤(电子科技大学物理电子学院,四川 成都?610054)(收稿日期:2002-04-27)摘?要?根据电势的叠加原理,导出了均匀带电薄圆盘电势的级数表达式,并进而给出了等势面方程.关键词?薄圆盘;电势;级数解;等势面POTENTIAL OF A UNIFORMLY CHARGED DISCAND ITS EQUIPOTENTIAL SURFACESCheng Changlin?Wang Hui?Li Yefeng(University of Electrical Science and Technology of China,Chengdu,Sichuan 610054)Abstract?We obtain the series solution of the potential of a uniformly charged disc and itsequipotential surfaces using the superposition theorem.Key Words?disc;potential;series solution;equipotential surfaces1?引言在大学物理静电场内容的教学中,均匀带电薄圆盘作为一个典型的带电模型,常常需要求其周围空间的电场.由于寻找普遍解析解的困难,目前教材上的内容,通常只局限于求过其圆心的轴线上的解.近年来,寻找普遍解的问题已受到同行们的关注.他们或者在用积分方程表示其电势和电场解的同时,还用计算机对其进行数值计算 1;或者通过数学物理方法,用 Legendre 多项式表示其电势 2.然而,寻找更易于理解的数学表达式,常常是学生们问及,也是我们非常关心的问题.本文先利用点电荷电势的公式及叠加原理,导出均匀带电细圆环周围空间电势的级数解,再通过电势叠加原理,得到均匀带电薄圆盘电势的级数解.此外,还求出了均匀带电薄圆盘的等势面方程.2?均匀带电细圆环的电势如图 1,设均匀带电细圆环半径为 R,其电荷线密度为?.由对称性可知:其电势必以z 轴对称。因此,只要求得 xOz 平面内电势,则整个空间电势便可知.图中 dl 线段电荷在P 点电势为:6物理与工程?Vol.12?No.5?2002?程昌林(1944?):男,硕士,重庆人,副教授,现主要从事大学物理教学.图1dUP=14?0?dlr=14?0?Rd?x2+z2+R2-2xRcos?=C?A2?d?1-Bcos?(1)式中,C=12?0;A=Rx2+z2+R2;B=2xRx2+z2+R2.将细圆环视为点电荷的集合,由电势叠加原理,在空间P 点处电势为:UP=C?A2?2?0d?1-Bcos?=C?A?20d?1-Bcos?+?2d?1-Bcos?=C?A?20d?1-Bcos?+?20d?1+Bsin?=C?A?2011-Bcos?+11+Bsin?d?(2)其中,?=?-?2.利用幂级数(1?x)-12=1?12x+1?32?4x2?1?3?52?4?6x3+1?3?5?72?4?6?8x4?,|x|1UP=C?A?201+B2cos?+1?32?4B2cos2?+1?3?52?4?6B3cos3?+?+1-B2sin?+1?32?4B2sin2?-1?3?52?4?6B3sin3?+?d?=C?A?202+G1B(cos?-sin?)+G2B2+G3B3(cos3?-sin3?)+G4B4(cos4?+sin4?)+G5B5(cos5?-sin5?)+?+GnBn(cosn?+(-1)nsinn?)+?d?(3)式中,G1=12;G2=3?14?2;G3=5?3?16?4?2;G4=7?5?3?18?6?4?2Gn=(2n-1)?(2n-3)?3?12n?(2n-2)?4?2n 为正整数.且|B|1,即 P 点不应在环上.对(3)式积分,得到:Up=C?A?22+2?12G2B2+34G4B4+5?36?4G6B6+7?5?38?6?4G8B8+?+n-1n?n-3n-2?34GnBn+?=C?A?22+2M2B2+M4B4+M6B6+M8B8+?+MnBn+?(4)这里,M2=12G2;M4=34G4;M6=5?36?4G6;M8=7?5?38?6?4G8;Mn=(n-1)?(n-3)?3n?(n-2)?4Gnn 为正偶数.同样|B|R0)(8)则变量 b 和z 的关系有:z2=y2-R20-1b2(9)将(9)式乘以 b2后与(8)式相加,得到:x2C20+z2C0?1+b22=1(10)式中,C0=(y2-R20)(1+b2)-1,(10)式为长轴在 x 轴,短轴在 z 轴的椭圆.考虑到均匀带电圆盘电场以 z 轴对称,则其等势面方程为x2+y2C20+z2C0?1+b22=1(11)此为长轴位于 xOy 面内,短轴位于 z 轴的旋转椭球面.5?讨论(1)根据静电场中场强与电势的关系,E=-?U,不难从公式(6)求出空间中除圆盘上点外的任一点的场强.同时,当 P 点位于圆盘对称轴,z 轴(x=0)上时,电场有解析解:E=Ez=?2?01-zz2+R20.这和现行大学物理教材结果是一致的 3.(下转第 20页)8物理与工程?Vol.12?No.5?2002?量),?p?=ma2?,又 因?p?=-?H?=-m?2a2sin?,故得小环相对运动微分方程为?+?2sin?=0相对运动的变分原理为?t2t1Ldt=0(13)其中的 L 必须用由(10)式表示的相对运动的拉格朗日函数.作为应用举例再解上例?L=ma2?+ma2?-ma2?2sin?=ddt(ma2?)-ddt(ma2?)?-ma2?2sin?=ddt(ma2?)-(ma2?+ma2?2sin?)?t2t1?Ldt=(ma2?)|t2t1-?t2t1(ma2?+ma2?2sin?)?dt=-?t2t1(ma2?+ma2?2sin?)?dt=0因为除两端点外,?0,所以有ma2?+ma2?2sin?=0即?+?2sin?=04?小结在矢量力学中,由于矢量的绝对微商和相对微商不相等,使得从惯性系运动方程导出的非惯性系相对运动方程形式不同.而在分析力学中,由于标量对时间的绝对微商和相对微商相等,使得惯性系动力学与非惯性系相对运动动力学方程有着相同的形式,但仍要注意惯性与非惯性系的区别.用相对运动的动力学方程求解某些相对运动问题较惯性系一般方法来得方便,这是由于其中拉格朗日函数中的动能是非惯性系中的相对动能.而惯性系方法中的动能是相对惯性系的动能,表达式复杂,不易推导,优点是不引入惯性力.限于篇幅,文中例题只给出非惯性系相对运动的解法.最后指出,非惯性系受理想完整约束有势(包括有势惯性力)力学系统的动力学方程与惯性系中的动力学方程等价.参?考?文?献 1?程达三等.非惯性系拉格朗日函数 J .大学物理,1986,(12)2?周衍柏.理论力学 M .北京:高等教育出版社,1985.284 285 3?刘荣万.相对运动能量积分 J .大学物理,1995,(1)(上接第 8 页)(2)对于圆盘上的点的电势,可参看参考文献 1 的方法进行计算.(3)在导出等势面方程(10)或(11)的时候,我们定义了一个新的变量 b.如前所述,这个变量的定义是由公式(6)等势所要求的.在该公式中,电势的值取决于 y 和x2.如果电势只由 y 决定,则等势面必为球面,然而由于 x2的函数也同时影响电势的值,因而在电势相等的情况下,z 轴上的电势要小于x 轴上的电势.而这个差值,显然应和 x2成倒数的函数有关.所以 b 是与电势值及等势面长短轴有关的一个新的量.等势面方程的正确性,还可通过下述情形得到验证.随着我们研究的等势面离圆盘中心愈远,即 x 愈大,则 b 值愈小,由公式(11),等势面方程的短轴与长轴差别减小,旋转椭球由扁逐渐变圆.当研究的等势面离圆盘中心足够远时,b 趋于 0,等势面近似为球面.这相当于圆盘电荷集中于圆心的点电荷的情形.参?考?文?献1?赵宝明,张继生.均匀带电圆盘的电势及场强分布.鞍山钢铁学院学报,1997,(4):32 332?吴崇试.均匀带电圆盘的静电势问题.大学物理,2000,(11):1 43?张三慧主编.大学物理学?第三册?电磁学.北京:清华大学出版社,199920物理与工程?Vol.12?No.5?2002?