2013年普通高等学校全国招生统一考试数学(陕西卷)理科与答案(10).doc

2013年普通高等学校招生全国各省市统一考试数学试卷与答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学解析与答案

第一部分(共50分)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为
(A) [－1,1] (B) (－1,1)
(C) (D)
【答案】D
【解析】的定义域为M=[-1,1],故CRM=,选D
2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时,
输入x
If x≤50 Then
y=0.5 * x
Else
y=25+0.6*(x-50)
End If
输出y
输出y的值为
(A) 25
(B) 30
(C) 31
(D) 61
【答案】C
【解析】故选择C

3. 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】

4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为
(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14
【答案】B
【解析】由题设可知区间[481，720]长度为240，落在区间内的人数为12人。

5. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是

(A) (B)
(C) (D)

【答案】A
【解析】由题设可知矩形ABCD面积为2，曲边形DEBF的面积为故所求概率为，选A.

6. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是
(A) 若, 则 (B) 若, 则
(C) 若, 则 (D) 若, 则
【答案】D
【解析】设若，则，，所以，故A项正确；若，则，所以，故B项正确；若，则，所以，故C项正确；

7. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
【答案】B
【解析】因为，所以由正弦定理得，所以，所以,所以，所以△ABC是直角三角形。
8. 设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为
(A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 15
【答案】A
【解析】，所以
9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是

(A) [15,20] (B) [12,25]
(C) [10,30] (D) [20,30]
【答案】C
【解析】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则，所以y=40-x，又xy≥300，，所以x(40-x)≥300
即，解得10≤x≤30

10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有
(A) [－x] ＝ －[x] (B) [2x] ＝ 2[x]
(C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y]
【答案】D
【解析】取x=25,则[-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2,所以A项错误；[2x]=[5]=[]=2[2.5]=4,所以B项错误；再取y=28，则[x+y]=[5.3]=5,[x]+[y]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以C项错误.
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 双曲线的离心率为, 则m等于 .

【答案】9
【解析】由a2=16，b2=m得c2=16+m，则e=，∴m=9
【考点与方法】本题主要考察了双曲线的标准方程以及离心率，属于容易题，解题的关键在于利用双曲线标准方程c2=a2+b2和离心率的求解公式e=

12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .

【答案】
【解析】由三视图还原为实物图得半个圆锥，其体积为V=.
【考点与方法】本题主要考查了三视图还原为实物图的能力和圆锥的体积公式，属于容易题。

13. 若点(x, y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为 .

【答案】－4
【解析】作出曲线y=与y=2所表示的区域，令2x－y=z，即y=2x－z，作直线y=2x，在封闭区域内平行移动直线y=2x，当经过点（－1，2）时，z取到最小值，此时最小值为－4.
【考点与方法】本题主要考察了线性规划的最值问题，考查画图和转化能力，属于中等题，解题的关键在于画出曲线围成的封闭区域，并把求2x－y的最小值转化为求y=2x－z所表示的直线截距的最大值，通过平移直线y=2x即可求解。

14. 观察下列等式:

…
照此规律, 第n个等式可为 .

【答案】12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·（n∈）
【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1,2,3…n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用（－1）n+1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为（－1）n·，所以第n个式子可为12－22+32－42+…+（－1）n+1n2=（－1）n+1·（n∈）
【考点与方法】本题考查观察和归纳的推理能力，属于中等题。解题的关键在于：1.通过四个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律；2.符号成正负交替出现可以用（－1）n+1表示；3.表达完整性，不要遗漏了n∈

15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a＋b＝1, mn＝2, 则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为 .

【解析】由科尔不等式可得
（am+bn）（bm+an）≥（）2mn（a+b）2=2

B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD＝2DA＝2, 则PE＝ .

【答案】
【解析】已知∠BCE=∠PED=∠BAP ∴PDE∽PEA
∴ 而PD=2DA=2 ∴PA=3
PE2=PA·PD=6 故PE=

C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为 .

【答案】x=，y=， 0 ≤＜
【解析】x2+y2-x=0，（x-）2+y2=，以（）为圆心，为半径，且过原点的圆，它的标准参数方程为x=，y=，0 ≤a＜2，由已知，以过原点的直线倾斜角为参数，则0 ≤＜，所以0 ≤2＜2，所以所求圆的参数方程为x=，y=， 0 ≤＜

三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）
16. (本小题满分12分)
已知向量, 设函数.
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值.
【解析】：
（I）的最小正周期为
（II）∵，∴，∴
故当即时，

当即时，
【命题意图】本题考查三角恒等式，三角函数的性质等基础知识，简单题。

17. (本小题满分12分)
设是公比为q的等比数列.
(Ⅰ) 推导的前n项和公式;
(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列.
【解析】：（I）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和 Sn=a1+ a1q+…. a1qn-1
将（1）式两边分别乘以q得
qSn=a1q+ a1q2+…a1qn
当q≠0时或
当 q=1时， a1= a2=…. an 所以Sn=na
（II）∵q≠1 假设数列{an+1}为等比数列，那么
即或q=1，均与题设矛盾，故数列
吧可能为等比数列。

18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .

(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小.
【解析】：
如图建立空间直角坐标系
由AB=AA1= 可知O（0,0,0），A（1,0,0），B（0,1,0），B1（-1,1,1），C（-1,0,0）
A1（0,0,1）D1（-1，-1,1）
（I） A1c=（-1,0，-1）DB（0,2,0） BB1（-1,0,1）
　即
所以A1c⊥平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ
（ＩＩ）容易求得平面ＯＣＢ１ 的一个法向量 ，平面BB1D1D 的一个法向量为 所求夹角余弦值为 所求夹角的大小为60°

19. (本小题满分12分)
在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为。
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，3.由（Ⅰ）知，观众甲选中3号歌手的概率为
，观众乙选中3号歌手的概率为1－=，则观众丙选中3号歌手的概率也为1－=，则（1－）（1－）=
（1－）+（1－）（1－）=
（1－）+（1－）()=
()=
则的分布列如下：

20. (本小题满分13分)
已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点.
【解析】（Ⅰ）设动圆圆心的坐标为（），则
（4－）+（0－）=，整理得。
所以，所求动圆圆心的轨迹的方程为
（Ⅱ）证明：设直线的方程为，联立得
（其中）0），设，，若轴是的角平分线，则0，即，故直线l的方程为，直线过定点（1，0）

21. (本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;
(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x) 与曲线 公共点的个数.
(Ⅲ) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.
【解析】函数
（Ⅰ）函数，设切点坐标为则，
。
（Ⅱ）令即，设有，所以（1）时，两曲线有2个交点；（2）时，两曲线有1个交点；（3）时，两曲线没有交点。
（Ⅲ）

，令
上式
令，则恒成立
而
故

9