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二次根式的乘除
一、内容和内容解析

1．内容

二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。

2．内容解析

二次根式除法法则及商的算术平方根的探究，最简二次根式的提出，为二次根式的运算指明了方向，学习了除法法则后，就有比较丰富的运算法则和公式依据，将一个二次根式化成最简二次根式，是加减运算的基础.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，最简二次根式.

二、目标和目标解析

1．教学目标

（1）利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；

（2）会进行简单的二次根式的除法运算;

 (3) 理解最简二次根式的概念.

2．目标解析

（1）学生能通过运算，类比二次根式的乘法法则，发现并描述二次根式的除法法则；

（2）学生能理解除法法则逆用的意义，结合二次根式的概念、性质、乘除法法则，对简单的二次根式进行运算.

 (3)通过观察二次根式的运算结果，理解最简二次根式的特征，能将二次根式的运算结果化为最简二次根式.

三、教学问题诊断分析

本节内容主要是在做二次根式的除法运算时，分母含根号的处理方式上，学生可能会出现困难或容易失误，在除法运算中，可以先计算后利用商的算术平方根的性质来进行，也可以先利用分式的性质，去掉分母中的根号，再结合乘法法则和积的算术平方根的性质来进行.二次根式的除法与分式的运算类似，如果分子、分母中含有相同的因式，可以直接约去，以简化运算.教学中不能只是列举题型，应以各级各类习题为载体，引导学生把握运算过程，估计运算结果，明确运算方向.

本节课的教学难点为：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.

四、教学过程设计

1．复习提问，探究规律

问题1　二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？

师生活动　学生回答。

【设计意图】让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则．

2．观察思考，理解法则

问题2　教材第8页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？

师生活动　学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：

.

问题3　对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？

师生活动　学生思考，回答。学生能说明根据分数的意义知道，分母不为零就可以了.

【设计意图】学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误.

问题4  对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？

师生活动  学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数.

【设计意图】让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运算.

问题5  对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？

师生活动  学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即.利用该性质可以进行二次根式的化简.

3．例题示范，学会应用

例1  计算： （1）；  （2）；   （3）.

师生活动　提问：你有几种方法去掉分母中的根号？去分母的依据分别是什么？

再提问：第（2）用什么方法计算更简捷？第（3）题根号下含字母在移出根号时应注意什么？

【设计意图】通过具体问题，让学生在实际运算中培养运算能力，训练运算技能，

问题5　你能从例题的解答过程中，总结一下二次根式的运算结果有什么特征吗？

师生活动　学生总结，师生共同补充、完善。要总结出：

（1）这些根式的被开方数都不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

（3）分母中不含根号；

【设计意图】引导学生及时总结，提出最简二次根式的概念，要强调，在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.

问题6　课件展示一组二次根式的计算、化简题.

【设计意图】让学生用总结出的结论进行二次根式的运算.

4．巩固概念，学以致用

例2  教材第9页例7.

师生活动 提问  本题是以长方形面积为背景的数学问题，二次根式的除法运算在此发挥什么作用？

再提问  章引言中的问题现在能解决了吗？

【设计意图】巩固性练习，同时培养学生应用二次根式的乘除运算法则解决实际问题的能力。

5．归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：

（1）除法运算的法则如何？对等式中字母的取值范围有何要求？

（2）你能说明最简二次根式需要满足的条件吗？

6．布置作业：教科书第10页练习第1，2，3题；

教科书习题16.2第10，11题.

五、目标检测设计

1．在、、中，最简二次根式为                .

【设计意图】考查对最简二次根式的概念的理解.

2．化简下列各式为最简二次根式：         ；        .

【设计意图】复习二次根式的运算法则和运算性质.鼓励学生用不同方法进行计算.对于分母含二次根式的处理，要结合整式的乘法公式进行计算.

3．化简：（1）；   （2）.

【设计意图】综合运用二次根式的概念、性质和运算法则进行二次根式的运算.