直线与圆MicrosoftWord文档.doc

直线与圆
直线：
一、 基础知识：
1、斜率倾斜角：

2直线的位置关系：
平行、相交
，
：
：
3、距离：；
二、典型题型：
例1、斜率倾斜角问题：
设点，若直线与线段ＡＢ有交点，则的取值范围是__________
变：已知过原点且与线段AB（AC）有交点的直线的斜率倾斜角的范围
巩固练习：
1、 直线y=xcosα+1(α∈R)的倾斜角的取值范围是______
2、 直线的倾斜角的取值范围是______
例2、求直线方程：
1、（注意解题中的漏洞）（1）过P（1,2）点的直线与原点的距离为1的直线方程；
（2）过P（1,2）点且在坐标轴上的截距相等的直线方程；
2、（设而不求、先设后求）
（1）经过原点O的直线与直线分别相交于A,B，且O为线段AB的中点，求直线的方程
（2）已知直线都经过P(2，3)点，且,求经过AB点的直线方程
巩固练习：
1、（2012江苏高考）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，
点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，
F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程： 。[来源:Zxxk.Com]
【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想。
事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。
答案:.
3、 将直线绕其与的交点旋转所得的直线方程。
例3、位置关系问题：
1、 利用位置关系求参数：
已直线与直线垂直，则的值为____________
直线与直线平行，则___________
2、 利用关系求方程
已知正方形的一条边所在的直线方程为，其中心的坐标为，求其余三边所在的直线方程。

巩固练习：
例4、对称问题
1、 求对称
已知直线，求
（1） 直线关于点(3，2)对称的直线方程；
（2）直线关于直线对称的直线方程。
2、对称的运用：
1、（光路）自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切
（1）求光线和反射光线所在的直线方程．
（2）光线自到切点所经过的路程
2、（最值）1、已知A(8, 6), B(2, －2)，在直线3x－y+2=0上有点P，可使|PA|+|PB|最小，则点P坐标为
变：已知点A(1, 3), B(5, －2)，在x轴上取点P，使||PA|－|PB||最大，则点P坐标为 .
变：函数y=的最小值为

巩固练习：

1、如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．

[答案]　2
[解析]　点P关于直线AB的对称点是(4,2)，关于直线OB的对称点是(－2,0)，从而所求路程为＝2.
2、三条直线构成一个三角形，则的范围是______________________
3、已知圆,M,N分别为上的动点，P为轴上的动点，则的最小值为__________
例5、定点定值
已知直线
（1）当直线在坐标坐标轴上的截距相等时，求的值
（2）当直线不过第一象限时，求的取值范围
巩固练习：
已知直线和直线与两坐标轴围成四边形，则使得四边形面积最小的的值为__________
圆：
一、 基础知识：
1、圆的定义、方程
三种圆、三种方程
2、位置关系：点、直线、圆
3、定点定值、最值范围
二、典型例题：
（一）定义：三种圆
例1、已知直线，且对于上任意一点，恒为锐角，则实数的范围为_______
例2、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在上.[来源:数理化网]
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;[来源:]
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
x
y
A
l
O

【答案】解:(1)由得圆心C为(3,2),∵圆的半径为
∴圆的方程为:
显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为,即
∴∴∴∴或者
∴所求圆C的切线方程为:或者即或者
(2)解:∵圆的圆心在在直线上,所以,设圆心C为(a,2a-4)
则圆的方程为:
又∵∴设M为(x,y)则整理得:设为圆D
∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即:圆C和圆D有交点 [来源:]
∴
由得
由得 [来源:]
终上所述,的取值范围为:
巩固练习：
1、若，则的最大值
2、已知圆，点，直线.⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；
⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足
条件的点的坐标.

解：⑴设所求直线方程为，即，
直线与圆相切，∴，得，∴所求直线方程为 ---------5分
⑵方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；
当为圆与轴右交点时，，
依题意，，解得，（舍去），或。 ------------------------------8分
下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数。
设，则， ∴，
从而为常数。 ------------------------------15分
方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，
∴，将代入得，，即对恒成立， ---------------------------8分
∴，解得或（舍去），
所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。 ---------------------15分
（二）圆的方程：
基础知识：标准方程、一般方程、参数方程、圆系方程
典型例题：
例1、待定系数法法求圆的方程（已知点、弦、切线、弧、圆心角、两圆相切等如何翻译成方程）
已知圆满足下列条件①截y轴所得的弦长为2，②被x轴分成两段弧的弧长的比为3：1，③圆心到直线的距离为，求这个圆的方程
变题：1、求与x轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为的圆的方程。
2、 圆经过两点，且在坐标轴上的四个截距之和为2，求圆的方程
3、求经过三点的圆的方程。（能覆盖三角形OAB的面积最小圆的方程）
例2、几何法求圆的方程
求经过点，且和圆相切于点的圆的方程
变：经过两点，圆心在直线上的圆的方程
例3、运用圆系求圆的方程
求经过直线：2＋＋4＝０与圆Ｃ：＋2－4＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．
变：求经过圆与圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程
例4、利用轨求方程
已知P为圆上的任意一点O为坐标原点，且，求Q点的轨迹方程
巩固练习：
1、 过点可以向圆引两条切线，则的范围为_________
2、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为
3、已知P向圆引的切线的夹角为，求P点的轨迹方程
4、已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值．
分析：设、两点的坐标为、，则由，可得，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为，由直线与圆的方程构造以为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出的值，从而使问题得以解决．
解法一：设点、的坐标为、．一方面，由，得
，即，也即：．　　　①
另一方面，、是方程组的实数解，即、是方程　　　　②
的两个根．
∴，．　③
又、在直线上，
∴．
将③代入，得．　　④
将③、④代入①，解得，代入方程②，检验成立，
∴．
解法二：由直线方程可得，代入圆的方程，有
，
整理，得．
由于，故可得
．
∴，是上述方程两根．故．得
，解得．
经检验可知为所求．
（三）位置关系：
基础知识：
1、 点与圆、
2、直线与圆：三种关系、弦长公式、切线长公式
3、圆与圆五种关系
典型例题：
例1、 点与圆：
1、直线与圆恒有公共点，则的范围为_____
2、已知圆O的半径为1，PA,PB为该圆的两条切线，则的最小值为_______
3、（本小题满分12分）已知圆M：2x2+2y2－8x－8y－1＝0和直线l：x+y－9＝0过直线 上一点A作△ABC，使∠BAC=45°，AB过圆心M，且B，C在圆M上。
⑴当A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
⑵求点A的横坐标的取值范围。
巩固练习：
1、已知,直线存在点P使得为钝角，则
的范围为______
2、已知圆，过x轴上的点存在一直线与圆M相交于A,B，且满足PA=AB，则点P的横坐标的范围为_________
变：已知过总存在直线与圆依次相交于A,B两点，使得对于平面中的任意一点Q,满足，则的取值范围为_____
例2、 直线与圆：
1、（切线问题）已知圆，过点向圆作切线，切点为A,B，
（1）求直线PA,PB的方程
（2）求过P点切线的长
（3）求直线AB的方程，AB的长
2、（利用位置关系求值求范围问题）
直线经过点，其斜率为k，直线与圆相交于A，B，
（1） 若，求的值
（2） 若，求的范围
（3） 若，求k的值
巩固练习：
1、【2012高考江苏12】（5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ▲ ．
【答案】。
2、若圆上有且仅有两个点到直线4x－3y－2=0的距离为1，则半径r的取值范围是 （ ）
A.（４，6）　　 Ｂ.［４，６）　　 Ｃ.（４，６］　　 Ｄ.［４，６］
答案 A
3、若圆上至少有三个不同的点到直线的
距离为,则直线的倾斜角的取值范围是：A． B． C． D．
▲解：圆整理为，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，
∴ ，∴ ，∴ ，，∴ ，直线的倾斜角的取值范围是，选B.
4、在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线
上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】
5、若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是_______
例3、圆与圆：
典型例题：
例1、（已知圆判断关系）已知圆与圆相交于A,B
（1）求直线AB的方程
（2）求
（3）判断公切线的条数
例2、（圆系的运用）已知圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值．

例3、（利用位置关系求参数的范围）
（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14分.如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在上.[来源:数理化网]
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;[来源:]
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
x
y
A
l
O

巩固练习：
1、(09四川)若圆与圆相交于A,B，且两圆在A点处的的切线互相垂直，则AB的长度为__________
2、
（四）最值范围问题：
典型例题：
例1、圆为约束条件的问题
已知为圆上任意一点，则的最大值__________，的最大值_____，的最大值______，到直线的最大距离_______的范围________
变：已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．

变：已知，，点在圆上运动，则的最小值是
例2、设P为直线上的点，过点P作圆的切线PA,PB
（1）求PA的最小值；
（2）求四边形PAOB面积的最小值。
变：（2009临沂一模）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为_______
例3、已知圆C：， 过点做两条互相垂直的直线，交圆C与E、F两点，交圆C与G、H两点，
C
A
E
F
G
H
x
y
O
M
N
（1）EF+GH的最大值．
(2) 求四边形EGFH面积的最大值．
【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用将EF+GH转化，难点是转化后要利
用基本不等式的相关知识点．
解：（1）令圆心C到弦EF的距离为，到弦GH的距离为，则
EF+GH，又，
由：
（当且仅当取等号）
故EF+GH
（2）∵，
∴
（当且仅当取等号）
巩固练习：
1、 过点向圆作切线，则的最小值为_______
2、 已知圆与分别交于，为圆在第一象限的弧上的点，则四边形面积的最大值为_______
3、 过点的直线与圆相交于两点，则三角形面积的最大值为_________
4、 若，且，则的最小值为_______-
5、 在平面直角坐标系中，已知圆，点在圆上，且，则的范围为________
（五）、定点定值问题：
典型例题：
例1、定点问题：
已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为．（1）若，试求点的坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

解：（1）设，由题可知，所以，解之得：故所求点的坐标为或．　………………4分
（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，　　　…………6分
解得，或，
故所求直线的方程为：或．………………………8分
（3）设，的中点，因为是圆的切线
所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，
故其方程为：……………………………10分
化简得：，此式是关于的恒等式，
故解得或
变：已知圆，点，直线.⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；
⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足
条件的点的坐标.

解：⑴设所求直线方程为，即，
直线与圆相切，∴，得，∴所求直线方程为 ---------5分
⑵方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；
当为圆与轴右交点时，，
依题意，，解得，（舍去），或。 ------------------------------8分
下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数。
设，则， ∴，
从而为常数。 ------------------------------15分
方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，
∴，将代入得，，即对恒成立， ---------------------------8分
∴，解得或（舍去），
所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。 ---------------------15分
变2：已知圆O的方程为且与圆O相切。
（1） 求直线的方程；
（2） 设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点，直线QM交直线于点。求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。

解析：（1）∵直线过点，且与圆：相切，
设直线的方程为，即，　…………………………2分
则圆心到直线的距离为，解得，
∴直线的方程为，即． …… …………………4分
（2）对于圆方程,令，得,即．又直线过点且与轴垂直，∴直线方程为，设，则直线方程为
解方程组,得同理可得,……………… 10分
∴以为直径的圆的方程为，
又，∴整理得，……………………… 12分
若圆经过定点，只需令，从而有，解得，
∴圆总经过定点坐标为． …………………………………………… 14分

例2、定值问题：
已知过点A（0，1），且方向向量为，相交于M、N两点.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：；
（3）若O为坐标原点，且.
解 （1）

由
.

.
变：已知过点,且与:关于直线对称.
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)设为上的一个动点,求的最小值；
(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.

解:(Ⅰ)设圆心,则,解得…………(3分)
则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)
(Ⅱ)设,则,且
==,…………………………(7分)
所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)
(Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,
, 由,得 ………(11分)
因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得
同理,,
所以=
所以,直线和一定平行……………………………………(15分)

（六）运用题：
典型例题：
1、有一种大型商品， 、 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离 地的运费是 地的运费的3倍．已知 、 两地距离为10公里，顾客选择 地或 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求 、 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
2、