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几何画板在代数及解析几何中的应用案例

《几何画板》是从国外引进的教育软件，目前已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一，因为其学习入门容易并且操作简单，而且有着强大的图形、图象和动画功能，能在“形”与“数”之间自由转换，能方便地建立“可见形式”与“抽象形式”之间的关系，增大了数学被直接感知的可能，从而为改善数学的教学方式提供了极大的便利，本文我将结合具体教学案例重点介绍几何画板在高中数学代数、解析几何两方面的应用。

一、几何画板在代数中的应用。
几何画板在代数中的应用，主要通过《必修一》第二章《基本初等函数》来予以演示。
(一)、对数函数教学实例
本节课，新课标要求我们先通过描点法探究 和 两个函数，再探究“对于选取不同的底数a，在同一个直角坐标系中作出相应的函数图像，观察图像，发现它们的共同特征”。如果我们采取过去“一黑到底”的教学模式，估计一节课的时间就只能够画图了，而且还不能清晰的展示出对数函数的特征。或许老师索性不探究，直接给出对数的相应的性质，但这样就丧失了新课改的精神，使学生失去了学习的主动性和探究问题的能力。

我们利用描点法画出 和 的函数图像（图表1）

（图表 1）

图表2：改变 中a的值，让学生观察当a值改变时，图像的变化情况，并提出相关问题，让学生带着问题思考。
1、当0<a<1时和当a>1时函数的单调性相同吗？
2、不管a取何值，图像是否经过同一点？
3、在a的值不断增大的过程中，函数图像是如何变化的呢？
带着问题，学生观看图表2的演示，从图像的变化痕迹中整体把握对数函数的相关性质。
（图表2）
本节课，学生很容易观察到:
1、当0<a<1时，函数在（0，+∞）上单调递减；当a>1时，在（0，+∞）上单调递增，并且发现对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R。
2、恒过（1，0）点。
3、在第一象限内，底数越大，图像按顺时针方向旋转。
通过图形的动态演示，一举多得，使学生能够对对数函数有个整体的了解，并且能够对知识形成深刻的印象，解决日常教学中的难点问题，比如第三问。

（二）、互为反函数的两个函数图像关于y=x对称的教学实例
新课标要求学生们掌握同底的对数函数和指数函数互为反函数，并了解互为反函数的两个函数图像关于y=x对称。本节课亦可以借助几何画板，化抽象为直观，化静止为运动。如图表3，点p的运动，说明了两个函数图像关于y=x对称，而a的改变，说明了只要指数函数和对数函数同底，那么它们的图像就关于y=x对称，进一步说明了它们互为反函数。

（图表 2）
（三）、指数函数、对数函数、幂函数对比教学实例
学习贵在对比，只有把概念区分清楚，才能避免在做题时出错。例如，图表4，可以让学生观察在第一象限，指数函数 、 对数函数 、
幂函数 随着c、b、a的取值的不同，三个函数的变化情况。通过对比学习，进一步掌握三个函数的性质。

（图表 3）
从上面的三个教学实例中可以看出，几何画板可以使我们的课堂更加形象化，化抽象为直观，化静止为运动。但几何画板的应用不仅止于此。在代数中，多种函数图像、三角函数图像的变换、甚至是在不等式、数列也可以应用，在此就不赘述了。

二、几何画板在解析几何中的应用。

几何画板在解析几何中的应用，我主要通过《选修1-1》第二章《圆锥曲线与方程》的第一节《椭圆》的具体案例来予以演示。

（一）椭圆定义的探究
在新教材中，对于椭圆定义的探究——取一条细绳，把它的两端固定在板上的两点F1、F2，用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形。
这个探究可以利用实际演示，也可以利用几何画板。实际演示效果固然很好， 但需要相应的道具辅助，在信息技术不断发展的今天，我们也可以利用信息技术工具——几何画板来探究。
1、图表5——拖动M点，即可形成椭圆。从图中可以看到，不管怎么变，始终有|MF|+|MF’|=2a=6.19厘米
期间，可以让学生亲自拖动，体会椭圆的形成过程！无形中，更加说明了解析几何里面的一个思想，曲线是动点的运动轨迹。学生对于求动点轨迹类型的题目会有了一个动态的理解，也不会感到陌生了。

（图表5）
（二）椭圆离心率的探究
椭圆的离心率是椭圆简单几何性质中的一个重要性质，应用广泛。本节课我采用一种新的教学策略——形象类比+几何画板动态演示。过程如下
教师：说起离心率，先说说我们的老朋友圆，圆是曲线界最完美的图形，因为它只有一个心，每天一心一意的快乐！而椭圆呢，除了一个中心外，还有两个焦点，就像我们人类，除了一颗心以外，还有两个心房，一个住着快乐，一个住着悲伤，所以椭圆也有自己的喜怒哀乐，越圆越快乐，越扁越悲伤，那么有没有一个量来刻画椭圆的扁平程度呢？会不会两个心房即两个焦点的距离距离椭圆的中心越近，椭圆越圆呢?（图表6）。

（图表 6）
利用几何画板动态演示椭圆扁平变化。
（1）、长轴长保持不变，改变焦点到中心的距离，即改变c的值，发现椭圆有什么变化？

（图表7）

（图表 8）
从图表7、8的动画演示过程中，引导学生发现，长轴长2a不变，改变c的值，c越小椭圆越圆。
（2）、焦距保持不变，改变a的值，发现椭圆有什么变化？（学生思考）
（图表 9）

（图表 10）
从图表9、10的动画演示过程中，引导学生发现，c保持不变，a的值越大，椭圆越圆。
教师可适时引出离心率的概念，学生继续观察指出e越小椭圆较圆，反之较扁， 特别当c=0 即e=0时变成了圆，（即e 大则扁， e 小则圆，特别 e=0 时为圆）如

（图表 4）
因此离心率是一个刻画椭圆圆扁程度的量。（此处是难点，教学中借助动画演示，结合教师启发引导，帮助学生理解离心率的定义及离心率对椭圆形状的影响）
通过上面几个案例，我们看出了几何画板在动画、追踪、轨迹等功能，弥补了传统教学的许多不足，可以让学生在动态的研究中启发直觉思维，使学生不再是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有真实感的去把握它，理解它，很多数学问题也可以得到及时验证。更使的原来枯燥的数学知识以学生喜欢的方式呈现出来，能够为学生留下更为深刻的印象，从而大大提高课堂效率，所以在以后解析几何的教学中，研究运用几何画板轨迹功能、开展探究性学习，设计相应的课件并进行应用。相信可以取到较良好的教学效果。愿我们大家都可以在信息化的今天熟练掌握信息技术，在专业成长的路上走的更快更远！