山西省太原五中2012-2013学年高二数学10月月考试题-理-新人教A版.doc

太 原 五 中
2012—2013学年度第一学期月考（10月）
高 二 数 学（理）
一、选择题：本大题共10小题．每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．答案填在答卷纸上.
1.在空间，下列命题正确的是
A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行
2.如右图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为
A． B. C. D.
3．已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的命题个数是
①；
②若
③；
④
A．1 B．2 C．3 D．4
4.一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为
A．12 B． C． D．6
5.在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是
A． B． C．（0，） D．
6.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1角为60°
7.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是 的中点，则所成的角的余弦值为
A． B． C． D．
8.如图在正三棱锥A-BCD中， E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD的体积是

9.一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面积与体积分别为
A、 B、 C、 D、
10.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在答卷纸上.
11.已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若++= m,则实数m= .
12.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为
13.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为

14.如图，设是棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有个顶点；②有条棱；③有个面；④表面积为；⑤体积为．其中正确的结论是____________．（要求填上所有正确结论的序号）

太 原 五 中
2012—2013学年度第一学期月考（10月）
高二数学答卷纸（理）
一、选择题 （每小题3分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题（每小题4分）

11. ；12. ； 13. ； 14.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分10分）
如图，在三棱锥中，底面， 点，分别在棱上，且
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值；

16.(本小题10分)如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，A
B
E
F
C
D
A
.
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求点A到平面FBD的距离.

17.(本题满分10分)
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.
（1） 求异面直线AF与BG所成的角的大小；
（2） 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值

18. （本小题满分12分）
如图,在梯形中,∥,,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.
M
F
E
C
D
B
A
(1)求证:平面BCF⊥平面ACFE;
(2)当为何值时,∥平面?证明你的结论;

19.(本小题12分)如图， 、分别是正四棱柱上、下底面的中
心，是的中点，.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心?
D
A1
D1
C1
B1
E1
B
A
C
P

太 原 五 中
2012—2013学年度月考
高二数学答案
一、选择题 （每小题3分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
C
A
D
C
B
C
C
二、填空题（每小题4分）
11. 3 ；12. ； 13. ； 14. ①②⑤
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分10分）
如图，在三棱锥中，底面，
点，分别在棱上，且
（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值；
【解法1】（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，
∴，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP为等腰直角三角形，∴，
∴在Rt△ABC中，，∴.
∴在Rt△ADE中，，
∴与平面所成的角的正弦值为
【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，
设，由已知可得
.
（Ⅰ）∵，
∴，∴BC⊥AP.
又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点，
∴，
∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵，
∴.
∴与平面所成的角的正弦值为
16.(本题满分10分)
如图，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，.
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求点A到平面FBD的距离.

A
B
E
F
C
D
A

解法1：由得,故AD2=AC2+CD2，,,所以CD⊥CA
以CD为x轴,CA为y轴,以CE为z轴建立空间坐标系，
（1）C(0,0,0),D(1,0,0),A(0,,0),F(0, ,),B(-1,,0),
,, ,
（2）,
由,可得,
点A到平面FBD的距离为d,

解法2 ：（1）由得,故BC2=AC2+AB2，,,所以AC⊥AB
因为ACEF是矩形，AC⊥AF，所以AC⊥平面ABF,故AC⊥BF
（2）由，得
17. (本题满分10分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.
（3） 求异面直线AF与BG所成的角的大小；
（4） 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值.
（5） 解 由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz
由平面几何知识知：AD＝4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ),
C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1)
(1)＝(1,0,1),＝(－1,1,1)
∴·＝0，
∴AF与BG所成角为 .
(2) 可证明AD⊥平面APB，
∴平面APB的法向量为n＝(0,1,0)
设平面CPD的法向量为m＝(1，y，z)
由 Þ
故m＝(1,1,2)
∵cos<m,n>＝
∴平面APB与平面CPD所成的锐二面角的余弦值为.
18. （本小题满分10分）
如图,在梯形中,∥,,M
F
E
C
D
B
A
,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.
(1)求证:平面BCF⊥平面ACFE;
(2)当为何值时,∥平面?证明你的结论;
（Ⅰ）在梯形中，，
四边形是等腰梯形，
且

又平面平面，交线为，
平面
∴平面BCF⊥平面ACFE;
（Ⅱ）解法一、当时，平面，
在梯形中，设，连接，则 ，而，
，四边形是平行四边形，
又平面，平面平面
解法二：当时，平面，
由（Ⅰ）知，以点为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
x
D
y
z
C
O
F
B
A
E
则，，，，
，
平面，
平面与、共面，

也等价于存在实数、，使，
设.
，
又，，

从而要使得：成立，
需，解得
当时，平面
18.(本小题12分)
19.(本小题12分)D
A1
D1
C1
B1
E1
B
A
C
P

如图， 、分别是正四棱柱上、下底面的中
心，是的中点，.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心?

以点为原点，直线所在直线分别为轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，
则得、、、、
(Ⅰ)证明 由上得、、
，设得

解得， ∴
， ∴∥平面

（Ⅱ）解 由(Ⅰ)知的重心为，则，

若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得
∴当时，在平面内的射影恰好为的重心.

14
用心 爱心 专心