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惠州市2013届高三第二次调研考试试题
数 学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1.已知复数 (为虚数单位），则在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.集合，若，则实数的值为（ ）
A．或 B． C．或 D．
3.等差数列的前项和为，且 则公差等于（ ）
A．1 B． C． D．3
4.已知向量，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5.集合， 中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）

A. B. C. D.
第6题图
6.如图所示的算法流程图中, 若则的值等于（ ）
A.8 B.9 C. D.
7.已知两条不同直线和及平面，则直线的一个充分条件是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
8.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A.－2 B.2 C.－4 D.4
9.已知点到直线的距离相等，则实数的值等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
10. 已知函数，若有，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
2
第11题图
11.甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 ．
12.给出命题：
①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；
②两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；
③两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面；
④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。
上述命题中，真命题的序号是 ．

13.若函数的有3个零点，则 ．
第15题图
14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为，则点到这条直线的距离为 ．
15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆的半径为，则圆心到的距离为　　　　　　　．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）设函数的图象经过点．
（1）求的解析式，并求函数的最小正周期．
（2）若且，求的值。

17．（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，产品的等级系数越大表明产品的质量越好.现从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品，为不合格品．
（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）从样本的一等品中随机抽取件，求所抽得件产品等级系数都是的概率．

第18题图
18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧棱底面, 为的中点, .
(1) 求证：平面；
(2) 若，求三棱锥的体积。

19.（本小题满分14分）已知动圆过定点，且与直线相切.
(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；
(2) 是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分14分）已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项的和为，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记,求证：；
（3）求数列的前项和．

21．（本小题满分14分）设函数且是定义域为的奇函数．
（1）求值；
（2）若，试判断函数单调性，并求使不等式恒成立的取值范围；
（3）若，且在上的最小值为，求的值．
惠州市2013届高三第二次调研考试数学
文科数学答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
C
B
B
D
C
A
1．【解析】,所以对应的点在复平面的第二象限, 故选B．
2．【解析】由可知或,故选A．
3．【解析】且.故选C
4.【解析】，由得，解得,故选C
5.【解析】选C 分K=2m，K=2m+1两种情况讨论可得结果.
6.【解析】故,故选 B.
7.【解析】选B 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
8.【解析】选D 椭圆的右焦点为F（2,0）
9.【解析】选C
10.【解析】选A, 由题可知，，若有则，即，解得。
二、填空题
11.64 12. ①③ 13. 4 14. 15．
11.【解析】由图可知甲得分的中位数为36，乙得分中位数为28，故和为64.
12.【解析】②两条异面直线可以平行于同一个平面; ③若，这与a,b为异面直线矛盾；④两条异面直线在同一个面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线.
13.【解析】数形结合作出函数的图像,再作出y=a的图像观察即得.
14.【解析】化极坐标方程为直角坐标及A,再数形结合可得.
15.【解析】先用切割线定理求出的长度,然后距离
三、解答题
16．解：（1）函数的图象经过点
， …………………….2分
…………………….3分
函数的最小正周期 ……………………4分
（2）………6分
又因为
…………………………………………………………9分
………12分
17．解：（1）由样本数据知，
30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件. ……………………3分
∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为, ……4分
二等品的频率为，故估计该厂产品的二等品率为, ……………………5分
三等品的频率为，故估计该厂产品的三等品率为．………………………6分
（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的有3件，…7分
记等级系数为7的3件产品分别为、、，等级系数为8的3件产品分别为、、,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为： ,,，，，,, ,,，,,, 共15种， …………10分
记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件，
则包含的基本事件有 共3种， ………11分
故所求的概率. ……………………12分
18. 解：（1）证明: 连接,设与相交于点,连接,…… 1分
∵ 四边形是平行四边形,∴点为的中点. …… 3分
O
∵为的中点，
∴为△的中位线, ∴ . …… 5分
∵平面,平面,
∴平面. …… 7分
（2）∵三棱柱，∴侧棱，
又∵底面∴侧棱，
故为三棱锥的高，，…… 10分
…… 12分
…… 14分
19. 解：（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线垂足为，
由题意知： ………………2分
即动点到定点与到定直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点,为准线，
∴动圆圆心的轨迹方程为 …………5分
（2）若直线的斜率不存在，则与抛物线C相切，只有一个交点，不合题意；
若直线的斜率为0，则与抛物线C相交，只有一个交点，不合题意；………………………………………………6分
故设直线的方程为
由得 ………8分
， 且………9分
设，，则，…11分
由，即 ，，
于是，…12分
即，解得 …………13分
∴ 直线存在，其方程为即 ………………14分
20.解：（1）∵，是方程的两根，且数列的公差>0，
∴=5，=9，公差∴………3分
又当=1时，有
当
∴数列{}是首项，公比等比数列，
∴ …………6分
（2）由（1）知 …………8分
∴
∴ …………………………10分
（3），设数列的前项和为，
（1）
(2) ………………12分
得：
化简得： ………………………14分
21．解：(1)∵是定义域为R的奇函数，
∴…… 1分
∴…… 2分
（2）
，……3分
而在R上单调递减，在R上单调递增，
故判断在R上单调递减，……4分
不等式化为，，
恒成立，，解得……8分
（3），，即，
或（舍去）……9分

令，
由（1）可知为增函数，，……11分
令 ()………12分
若，当时，………… 13分
若，当时，舍去
综上可知…14分