应用泛函分析教案1.doc

第二章 度量空间
§2.1 度量空间的进一步例子
教学内容(或课题)：
目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等.
教学过程：
一 复习度量空间的概念
设是个集合，若对于，都有唯一确定的实数与之对应，且满足
，=0;
+对都成立， 则称(，)为度量空间或距离空间，中的元素称为点，条件称为三点不等式.
欧氏空间 对中任意两点和，规定距离为 =.
空间 表闭区间上实值(或复值)连续函数的全体.对中任意两点，定义=.
（空间 记=.
设，，定义 =.
二 度量空间的进一步例子
例1 设是任意非空集合，对于，令
=
容易验证 ，=0; +对都成立. 称(，)为离散的度量空间. 由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为度量空间.
例2 序列空间
令表示实数列(或复数列)的全体，对，，令 =. 显然右边的级数总是收敛的. 易知，且=0. 即满足条件.
对，先证 +.
实因令 ()，则因为，所以函数 在上单调递增. 又因为 ，所以有
=++.
再令 ，，，则 . 由上述已证的不等式，得
+.
由此推得 +对都成立. 故按成一度量空间.
例3 有界函数空间
设是一个给定的集合，令表示上有界实值(或复值)函数的全体. ，定义 =.显然，且=0成立，即满足条件.又，有 ++
所以 +. 即满足条件. 特别当时，=.
例4可测函数空间
设为上实值(或复值)的Lebesgue可测函数的全体，为Lebesgue测度，若，对任意两个可测函数及，由于，故不等式左边为上可积函数. 令
=.
若把中两个几乎处处相等的函数视为中同一个元素，则0且=0 ，即满足条件. 其次(参考例2)
==+=+，对都成立. 即 满足条件. 故按上述距离成为度量空间.
作业 205. 2. 4.
作业提示 2. 与例2处理方法类似.
4.利用 当时的递增性.

§2.2(1) 度量空间中的极限

教学内容(或课题)：
目的要求： 掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义.
教学过程：
设为度量空间，是距离，定义
=
为的以为半径的开球，亦称为的邻域.
例1 设是离散的度量空间，是距离，则
=
仿§2.2-§2.3，设是度量空间中的一个子集，是中一点若存在的某一邻域，s.t. ，则称为的内点. 若是的内点，则称为的外点. 若内既有的点又有非的点，则称为的边界点. 若内都含有无穷多个属于的点，则称为的聚点. 的全体聚点所成集合称为的导集，记为. 称为的闭包，记为. 若的每一点都是的内点，则称为开集. 若，则称为闭集.
例2在欧氏空间中，记为全体有理数点的集合，为全体无理数点的集合.则集合及均无内点，均无外点; 既是又是的界点，既是又是的聚点; 既是又是的导集，既是又是的闭包; 、既非开集又非闭集. 若如同例1，将集合离散化，则都是的内点，都是的内点，因此、在离散空间中均为开集; 、均无界点; 之外点集合为，之外点集合为; 、均无聚点，因此，，，，故、均为闭集.
设是中点列，若，s.t.
()
则称是收敛点列，是点列的极限.
收敛点列的极限是唯一的. 实因若设既牧敛于又收敛，则因为 ，而有 =0. 所以=.
附注 ()式换个表达方式：=. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有
距离是和的连续函数.
证明 ++ -+;
++ -
+. 所以|-|+
例3 设为一度量空间，令
=， =. 问 =?
答 在空间中，必有=. 在离散度量空间中，当时，=，=，此时. 毕.
设是度量空间中的点集，定义.
=
为点集的直径. 若=，则称为中的有界集(等价于固定，，，为某正数，则为有界集).
中的收敛点列是有界集. 实因，设
，则数列收敛于0,故，s.t.有. 所以，有 +
.
中的闭集可以用点列极限来定义： 为闭集 中任何收敛点列的极限都在中，即若，，，则.
具体空间中点列收敛的具体意义：
1. 欧氏空间 =，，为中的点列，=， =. 对每个，有 .
2. 设，，则 = 在一致收敛于.
3. 序列空间 设=，，及=分别是中的点列及点，则 依坐标收敛于. 实因，若对每个有，则因收敛，所以，s.t. . 因为对每个，存在，s.t.当时. 令，当时，成立. 所以当时，成立=++=.所以
反之，若，即=.又因为，有，所以当时，0所以 ，，s.t. 当时，成立 . 所以. 所以，有.
4. 可测函数空间 设，，则因=，有 . 实因，若，则，有 . (不妨设)，取，则. 今对这样取定的及，因，故，s.t. 当时，成立. 所以 =+++=. 所以. 所以.
反之，若，即. 对，由于. 所以，即.
以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之后，都可以统一在度量空间的极限概念之中.
作业 205. 5.
作业提示 均匀收敛即一致收敛. 证明大意如同“序列空间”，并利用 =.

§2.2(2) 度量空间中的稠密集 可分空间
教学内容(或课题)：
目的要求： 掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念，能正确使用这两个概念.
教学过程：
Th 设是度量空间的一个子集，则集合 是个开集，且.
证明 设，则，s.t. . 所以. ，其中-，则(-)+=. 所以. 所以是之内点. 所以是开集.
又证 以中每一点为心作半径的邻域，所有这些邻域的并集就是集合.
每个邻域都是开集，任意个开集之并仍为开集，故为开集.
至于是很显然的. 证毕.
附注 当时，得到是之闭包未必是. 例如=. ==，但.
205.6. 设，证明度量空间中的集为中的闭集，而集
为开集 为闭集.
证明 设且在中.则当时，对，有=0. 令，得时，. 所以. 所以是闭集.
“” 设为闭集，，则 (当). 因在连续，所以(当). 取：0-，则对，有 . 所以+. 所以当++(-)=
所以. 所以为开集.
“” 设为开集. 设，且. 取点：=，则，令得，.因为，故只有. 不妨设=(=-时同法可证之). 因为为开集，所以，s.t. =.
，因为，所以点+. 因为=，所以对上述且，存在，s.t.， 所以-. 所以+=.
但由方框，应有，与+=相互矛盾. 这就证明了. 故为闭集. 证毕.
Def 1 设是度量空间，和是的两个子集，令表示的闭包，若，则称集在集中稠密，当=时，称为的一个稠密子集. 若有一个可列的稠密子集，则称是可分空间.
例1 维欧氏空间是可分空间. 事实上，座标为有理数的点的全体是的可列稠密子集.
设是闭区间全体有理数集合，是全体无理数集合. 在中，因为，，所以在中稠，在中稠. 因为，，所以和都在中稠密. 若=视为的子空间，则是可分空间.
例2 离散距离空间可分 是可列集.
实因在中没有稠密的真子集(因中任何一个真子集的闭集还是这个真子集本身)，所以中唯一的稠密子集只有本身，因此可分的充要条件为是可列集.
例3 令表示有界实(或复)数列全体. 对中，=，定义=.
显然0 且=0 =0 对，都有=0 对，都有 .
其次设=. 因为，都有 ++. 所以+.即+. 所以按成为度量空间.
往证是不可分空间.
令表示中坐标取值为0或1的点的全体，则与二进位小数一一对应，所以有连续统的基数，对中任意的两个不同点，有=1. 若可分，则中存在可列稠密子集，设为. 对中每一点，作球，则是一族的两两不相交的球，总数有不可列个. 但由于在中稠密，所以每个中至少含有中的一点，这与是可列集矛盾. 证毕.
作业： 205. 3.7.8.9.
作业解答： 3. 令=,则是开集且. 因为，所以=. 因是闭集，所以=，即=.
7. 取：0. 作开集 = 和=，则，. 又，，，，有 ++. 所以 ----=0. 所以. 所以与必不相交.
又证不相交 若，则存在和，，,s.t. . 于是 0++. 矛盾. 所以 =.
8. ，令= 则集合=含有不可数个元素，，、且时，=1. 若可分，则中存在可列的稠密子集，记为. 对中每一点，作球，则是一族两两不相交的球，总数有不可列个. 但由于在中稠密，所以每个中至少含有中的点，这与是可列集矛盾. 故不可分.
9. 因为 可分，所以存在稠密子集=. 对于每个.存在. 因为在中稠密，所以可在中取出中一点. 取有理数：，所以，且所有至多可列个，包含它的开集至多可选出可列个. 证毕.

§2.3 连续映照
教学内容(或课题)：
目的要求： 掌握连续映照概念，掌握连续映照的充要条件，学会使用连续映照概念和连续映照充要条件处理与连续映照的实际问题.
教学过程：
Def 1 设=，=是两个度量空间，是到中的映照：= =. ，若0，0，s.t. 且，都有，则称在连续：
用邻域来描述在连续：对的每一个-邻域，必存在的某个-邻域，s.t. (表在作用之下的像集).
也可以用极限来定义映照的连续性，基于
Th 1 设是度量空间到度量空间中的映照：， 则在连续 当时，必有.
证明 “” 设在连续，则0，0，s.t. 且，都有. 因为，所以，s.t.当时，有. 所以. 所以.
“” 反证法. 若在不连续，则0，s.t. 0，，虽然，但是. 特别取=，则有，s.t.当时，有. 即时，有. 与假设矛盾.证毕.
若映照在的每一点都连续，则称是上的连续映照. 称集合()为集合在映照下的原像.简记为.
用开集刻划连续映照，就是
Th 2 度量空间到中的映照是上的连续映照 任意开集，是中的开集.
证明 “” 设是连续映照，是中开集. 若=，则是中开集. 若，则，令=，则. 由于是开集，所以存在邻域
. 由的连续性，存在邻域，s.t.
. 从而 . 所以是的内点. 因为是任意的，所以是中的开集.
“” 设中每个开集的原像是开集. ，则是中的开集. 又，所以是的内点，所以存在邻域. 所以，所以在连续. 又是任意的，所以是上的连续映照. 证毕.
利用=，又有
Th 度量空间到中的映照是上的连续映照 任意闭集，是中的闭集.
证明 “” 设是上的连续映照，又设，是闭集，则是开集. 由Th2, 是开集. 但=，故是中的闭集.
“” 且是闭集，则是开集. 由=，及中任何闭集的总是中的闭集，得中任何开集的原像总是开集，由Th2, 是上的连续映照. 证毕.
206.10. 设为距离空间，为中的子集. 令=, . 证明是上的连续函数.
证明 ，，，s.t.. ，因为 +，所以 +， 所以 -
, 所以-，所以
-. 同理 -.所以||=
|-|0().
所以是上的连续映照(Th 1).
作业： 206. 11. 12. 13.
作业解答： 11. 先证 0. 否则0，，，s.t. . 令=，则，，s.t. ,令，由于是二元连续函数，故得=0(是的聚点，是的聚点，聚点存在). 因此=与=相矛盾，故=0.
取：0，再令=，=，则与均为开集. 下证与都不相交. 若不然设，则++. 与相矛盾. 故任意二邻域不相交，从而=.
12. 取开集. 因为是到中的连续映照, 所以是开集. 因为是到中的连续映照，所以是开集. 即是开集. 所以 是到中的连续映照.
13. 由Th或由=和Th2推得.
附注 区间及均为闭集.

§2.4 压缩映象原理及其应用

本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具。
随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动点。例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach压缩映象定理。
定义（压缩映象）
设T是度量空间X到X中的映照，如果对都有（是常数）则称T是X上的一个压缩映照。
从几何上说：压缩映照即点x和y经过映照T后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的倍）

定理1（Banach压缩映照原理）1922年
（Banach 1892-1945 波兰数学家）
设（X,d）是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映照，则丅有唯一的不动点。即的使
证：任取令
（此即解方程的逐次迭代法）
先证是Cauchy点列
① ①  先考虑相邻两点的距离
②再考虑任意两点的距离
当n>m时

=
=
是Cauchy点列
是完备度量空间,使
下证x为不动点

再证不动点唯一
若还有,使
则
因 必须
注:①定理条件(a)X完备,(b)缺一不可，反例如下
(a)若X不完备,则定理不成立
例如:令X=(0,1),用欧氏距离,
则
但不动点
(b)定理不成立
例如:令 X=R用欧氏距离
则 但显然T无不动点。
②若将空间X条件加强为紧距空间，则压缩因子条件可放宽为1，即可改为

限于我们的学时，我们只介绍一下Banach压缩映象原理的简单应用。
定理2（隐函数存在定理）
设在带状区域上处处连续，处处有关于y的偏导数,且如果存在常数m,M，适合.则方程f在闭区间上有唯一的连续函数,使。
证：（在中考虑映照，若其为压缩映照，则有不动点）
在完备度量空间中作映照,显然,对由连续函数的运算性质有。
是到自身的一个映照
下证是压缩的.
即证 ,任取由微分中值定理,存在,使

令 则 ,故
取最大值
映照T是压缩的.由Banach压缩映象定理
在上有唯一的不动点使
显然这个不动点适合
注：① 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Banach压缩映照定理解题的一般方法。
② ②  此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数.

下面我们介绍Banach不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用--Picard定理.
定理3：（Picard定理 Cauchy--Peano微分方程解的存在唯一性定理）
（Picard 法国人 1856—1941 Peano意大利人1858--1932）
设在矩形上连续,设又在R上关于x満足Lipschitz（德国人 1832--1903）条件,即存在常数k使对有 ,那么方程在区间上有唯一的满足初始条件的连续函数解.其中
证：设表示在区间上的连续函数全体。
对成完备度量空间。又令表示中满足条件的连续函数全体所成的子空间。显然闭,因而也是完备度量空间.
令
如果 当 时,
而 是R上的二元连续函数,映照中积分有意义。
又对一切
故T是到的一个映照

下证是压缩的。
由Lipschitz条件,对中的任意两点
有

令 ,则由 有 .
则 故T是压缩的。
由Banach压缩映象定理,T在中有唯一的不动点.
即 使
即 且
即 是满足初值条件的连续解。
再证唯一性。
如果 也是 满足 的连续解.
那么 因而
而且也是T的不动点.而T的不动点是唯一的.
故
有唯一解。
注：题设条件中Lipschitz条件的要求是十分强的，它保证了解的唯一性。实际上満足Lipschtz条件即为一致收敛。因而可在积分号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广义解，即只要求满足积分方程 则题设条件可大大放宽：只要 有界,即可利用Lebesgue控制收敛定理得到广义解。
注意到Banach压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：即只要任取 令 则解 .且在Banach不动点定理的证明中,有 .即此式给出了用逼近解的误差估计式。

补充：Brouwer不动点是定理与Schauder不动点定理简介
鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支，下面我们简单介绍Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理及其简单应用。
一、Brouwer不动点定理及其应用：
（一）Brouwer不动点定理
（Brouwer：荷兰人 1881-1966）

定义（凸集）：
X为一集,若 则称A为X的凸子集。
定理1（Brouwer不动点定理）：
设为 的有界闭凸集，连续,则 使.
证：1、若 证明如下：不妨设
作辅助函数 显然在 上连续.
从而变成证明 使 即可.
显然:否则 则0为f之不动点; 否则则1为f之不动点:
(证毕)由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得使 证毕。
2、若 ,其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点定理及其应用》,或一般常微分方程教材的附录。
3、注意到Brouwer不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些条件可以减弱。
下面我们讨论Brouwer不动点定理的应用。
（二）证明代数基本定理：

代数基本定理：
复系数一元n次方程 至少有一个复根。
证：令
作辅助函数
考虑闭圆盘：
显然 c为有界闭凸集，且连续（只要考虑z=1连续即可，而这是显然的。）。下证 将c映入c:
当 时

当 时

=
将 c映入 c. 由Brouwer不动点定理
使
使 证毕
（三）证明Perrou定理：
Perrou定理：
矩阵 使 .
即：正矩阵一定存在正特征值和特征向量。
证：设 ,令 为标准单纯形，则 .
作映照 显然为连续映照.
下面先证 将 映入 .
注意到 .
则 由Brouwer不动点定理
使 即 .
令 则有 .
下证 的每个分量 严挌大于零.
由 的第i个分量方程为

正矩阵一定存在正特征值和特征向量。

（四）Rother证明定理：
Brouwer定理条件可以减弱，作为Brouwer不动点定理的推广，下面我们证明Rother定理。
Rother定理：
为单位球，在 上连续,且当 时,使 .
证：作辅助函数
则 连续,且 .
作 ,则F在上连续,且将映入.
由 Brouwer不动点定理,F有不动点.
即 ,使得 .
下证此 为 之不动点.
若
若 先用反证法证明 .
若 ,则
矛盾,.
从而 故 f有不动点. 证毕
Brouwer不动点定理有着十分广泛的应用，由于时间关系，我们就不再多谈。对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点理论及其应用》。
我们可以进一步将Brouwer不动点定理推广到无穷维空间—这就是Schauder不动点定理。
二、Schauder不动点定理：
（Schauder:1899-1940）
首先我们注意到度量空间中：紧集列紧闭集（致密闭集），在拓扑空间中：紧集任意开复盖都有有限复盖之集。
Schauder不动点定理：
紧凸集到自身的连续映照必有不动点。
证：（略）
Schauder不动点定理的应用（略）。
我们还可以将Schauder不动点定理再推广到多值映照得到Kakutani不动点定理。

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