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第一章 有理数总复习
一、知识归纳：
1、数轴是一条规定了原点、方向、长度单位的直线。
有了数轴，任何一个有理数都可以用它上面的一个确定的点来表示。在数的研究上它起着重要的作用。它使数和最简单的图形——直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在关系，因此它是数形结合的基础。但要注意数轴上的所有点并不是都有有理数和它对应。
借助于数轴上点的位置关系可以比较有理数的大小，法则是：在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。
2、相反数是指只有符号不同的两个数。零的相反数是零。互为相反的两个数位于数轴上原点的两边，离开原点的距离相等。
有了相反数的概念后，有理数的减法运算就可以转化为加法运算。
3、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。显然有：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
对于任何有理数a，都有≥0。
4、倒数可以这样理解:如果a与b是非零的有理数,并且有a×b=1，我们就说a与b互为倒数。
有了倒数的概念后，有理数的除法运算就可以转化为乘法运算。
5、有理数的大小比较：
（1）正数都大于零，负数都小于零，即负数＜零＜正数；
（2）两个正数，绝对值大的数较大；
（3）两个负数，绝对值大的数反而小；
（4）在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的大；
6、科学记数法：是指任何数记成a×10n的形式，其中用式子表示|a|的范围是0＜|a|＜10。
7、近似数与精确度：
近似数：一个与实际数很接近的数，称为近似数；
精确度：右边最后一位数所在的位数，就是精确到的数位。
二、有理数的运算法则
1、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。由此可得，互为相反数的两数相加的0；三个数相加先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。
2、有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。注意：一切加法和减法运算都可以统一成加法运算。
3、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数同零相乘都得零。
4、有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数都得零。
5、有理数混合运算的顺序：有理数混合运算中，先算乘方，再算乘除，最后算加减。运算中，如果有括号，就先算括号里面的。、
6、有理数的运算律：
交换律：a＋b=b＋a , ab=ba.结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c) , (ab)c=a(bc).
乘法对加法的分配律：a(b＋c)=ab＋ac.
三、值得注意的几个问题
1、数的范围扩大到有理数后，一定要注意考虑负数。如不能认为“最小的整数是零”。
2、有理数都可以用数轴上的点表示；但数轴上的点不都表示有理数。
3、单独的一个数或字母，省略的指数是“1”，而不是零。
4、对负数或分数进行乘方运算要注意加括号。如当a=-3时，a2=(-3)2=9；而不是a2=-32=-9。
5、有理数的运算要特别注意符号。

基础回顾与练习
有理数

一、【正负数】 有理数的分类：★☆▲
_____________统称整数，试举例说明。
_____________统称分数，试举例说明。
有理数

____________统称有理数。

[基础练习]
1☆把下列各数填在相应额大括号内：
1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7
·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；
·负有理数集｛ …｝；·负整数集｛ …｝；
·自然数集｛ …｝；·正分数集｛ …｝
·负分数集｛ …｝
2☆某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。
二、【数轴】 规定了 、 、 的直线，叫数轴
[基础练习]
1.☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
2.☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。
4，-|-2|，　-4.5，　1，　0
3.下列语句中正确的是（　 ）
A.数轴上的点只能表示整数　 B.数轴上的点只能表示分数　
C.数轴上的点只能表示有理数　 D.所有有理数都可以用数轴上的点表示出来
4.★ ①比－3大的负整数是_______；　
②已知ｍ是整数且-4<m<3，则ｍ为_______________。
③有理数中，最大的负整数是 ，最小的正整数是 。最大的非正数是 。　
④与原点的 距离为三个单位的点有 个，他们分别表示的有理数是 和 。
5.★★在数轴上点A表示-4,如果把原点O向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A表示的数是( ) A.-5， B.-4 C.-3 D.-2
三、【相反数】的概念
像2和-2、-5和5、2.5和-2.5这样，只有 不同的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是 。一般地：若a为任一有理数，则a的相反数为-a
相反数的相关性质：
1.相反数的几何意义：
表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。
2.互为相反数的两个数，和为0。
[基础练习]
1.☆-5的相反数是 ；-（-8）的相反数是 ；- [+（-6）]=
0的相反数是 ； a的相反数是 ；的相反数的倒数是_ _
2.☆若a和b是互为相反数，则a+b=（ ）
A.-2a B.2b C.0 D.任意有理数
3.★(1)如果a=-13，那么-a=______；
(2)如果-a=-5.4，那么a=______；
(3)如果-x=-6，那么x=______；(4)-x=9，那么x=______.
4.★★已知a、b都是有理数，且|a|=a，|b|=-b、，则ab是（    ）
A．负数；    B.正数；       C.负数或零；       D.非负数
【任一个有理数a的绝值】用式子表示就是：
（1）当a是正数（即a>0）时，
∣a∣= ；
（2）当a是负数（即a<0）时，
∣a∣= ；
（3）当a=0时，∣a∣= .
四、【绝对值】一般地，数轴上表示数a
的点与原点的 叫做数a的绝对值，
记作∣a∣.
一个正数的绝对值是 ；
一个负数的绝对值是它的 ；
0的绝对值是 .

[基础练习]
1.☆—2的绝对值表示它离开原点的距离是 个单位，记作 .
2.☆ |-8|= 。 -|-5|= 。 绝对值等于4的数是______。
3.☆绝对值等于其相反数的数一定是（ ） A．负数B．正数 C．负数或零D．正数或零
4.★，则x= ；，则x=
5.★如果，则a的取值范围是（ ）A．a＞O B．a≥O C．a≤O D．a＜O．
6.★★如果，则= ，= ．
7.★★绝对值不大于11的整数有（ ）A．11个 B．12个 C．22个 D．23个
五、【有理数的运算】
有理数加减法法则·
先定符号，再计算，同号相加不变号；异号相加“大”减“小”，符号跟着“大数”跑；
减负加正不混淆。有理数乘除法法则·同号得 ，异号得 ，绝对值相乘（除）。
求几个相同因数的积的运算，叫做有理数的乘方。即：an=aa…a(有n个a)
[基础练习]
1☆从运算上看式子aｎ，可以读作　　　　　　　；从结果上看式子aｎ可以读作　　　　　　.
2★ 33= ；= ；-52= ；22的平方是 ；
3★下列各式正确的是（ ）
A.-52=(-5)2 B.(-1)2013=-2013 C.(-1)2013-(-1)=0 D.(-1)99-1=0
4★★下列说法正确的是（ ）
A.如果，那么 B.如果，那么
C.如果，那么 D.如果，那么
5★在2+32×（－6）这个算式中，存在着 种运算.请你们讨论、交流，上面这个式子应该先算 、再算 、最后算 .
6▲有理数的运算：
① ②

③ ④

⑤ ⑥

⑦ ⑧

⑨ ⑩

7★★已知，求的值。

8★★某大楼地上共有12层，地下共有4层，每层高2.8米，请用正负数表示这栋楼每层的楼层号，某人乘电梯从地下3层升至地上7层，电梯一共上了多少米？

五、【科学记数法】【近似数及精确度】
把一个大于10的数记成a ×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数)，叫做科学记数法.
[基础练习]
1☆用科学记数数表示：1305000000= ；-1020= .
2☆水星和太阳的平均距离约为57900000 km用科学记数法表示为 .
3★120万用科学记数法应写成 ；2.4万的原数是 .
4★近似数3.5万精确到 位;5★近似数0.4062精确到 ，
6★5.47×105精确到 位;7★.3.4030×105精确到千位是 .
8★★某数有四舍五入得到3.240，那么原来的数一定介于 和 之间.

9★★用四舍五入法求30951的近似值（精确到百位），结果是 .