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二次函数
知识点归纳
1、二次函数的定义
　　一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次函数系数、一次项系数和常数项．
2、二次函数的自变量的取值范围
　　（1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数．如二次函数y=2x2－x＋1，y=－x2＋2，它们的自变量x的取值范围为全体实数．
　　（2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
　　如圆的面积S与圆的半径r的关系式S=πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r>0，这里r不能小于或等于0．
3、回顾学过的函数
　　一次函数y=kx＋b(k≠0)，其中包括正比例函数y=kx(k≠0)，反比例函数(k≠0)，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)，这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系．
例题讲解
例1、下列函数中哪些是二次函数？
①y=3x2；②；③y=－x(3＋x)；④y=ax2＋bx＋c(x为自变量)．
答案：①③是二次函数．
变式练习1
下列函数中，不是二次函数的是（　）
A．　　　　　　B．y=(x＋1)(x－1)
C．y=－x2－2x＋1　　　　　　　　D．y=(x－1)2－x2
答：A为y=2x2－，B为y=x2－1，D为y=x2－2x＋1－x2=－2x＋1，故D不是二次函数．
例2、当k为何值时，函数为二次函数？
解：
由二次函数定义得
由①得k=±1；
由②得k≠1，∴k=－1，
∴当k=－1时，为二次函数．
变式练习2
若为二次函数，则m=____________．
答：m=2．∵，∴m=2．
例3、把一根长为40cm的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为xcm，它的面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围为____________．
解：
∵长方形的一边长为xcm，则另一边长为(20－x)cm，
∴面积y=x(20－x)=－x2＋20x．
依题意，
∴0<x<20．
故两个空分别填y=－x2＋20x，0<x<20．
变式练习3
　　一个正方形的边长为3cm，它的边长减少xcm后，得到的正方形的面积为ycm2，则y与x之间的函数关系式为____________，自变量x的取值范围是____________．
答：y=(3－x)2=x2－6x＋9，0≤x<3．
变式练习4
　　用长为8m的铝合金条做成如图所示的矩形窗框，设横档长为xm，窗户的透光面积为ym2，则（1）y与x的函数关系式为____________；
　　（2）自变量x的取值范围是____________；
　　（3）当x分别取1，，2时，y的值分别为____________．

答：

课后练习
一、填空题
1、二次函数y=x2－2x＋1中，二次项系数为____________，一次项系数为____________，常数项为____________．
2、一个圆柱的高等于底面半径r，则它的侧面积S与r的函数关系式为____________，它是____________函数．
3、n个老同学聚会，每两人之间握手一次，则所有握手次数m与人数n之间的关系式为____________．
4、若函数y=ax2－2x＋1(a为常数)为一次函数，则a=____________．
[答案] 答案：
　　1、1　　　－2　　1
　　2、S=2πr2　　　二次
　　3、
4、0
二、选择题
5、下列函数是二次函数的是（　）
A．y=－x2　　　　　　　　B．y=2x
C．　　　　　　　 D．y=2(x－1)2－2x2
6、若 为二次函数，则m的值为（　）
A．　　　　　B．m=3
C．m=－1　　　　　　　　D．m=3或－1
7、函数y=mx2＋nx＋p(m，n，p为常数)是二次函数的条件是（　）
A．m·n·p≠0　　　　　B．m＋n＋p≠0
C．m≠0　　　　　　　　D．n≠0，或p≠0
8、下列函数中一定是二次函数的是（　）
A．y=(k＋1)x2　　　　　B．y=(k－1)x2
C．y=(k2＋1)x2　　　　 D．y=(k＋1)2x2
A/B/C/C
三、综合题
9、已知正方形的周长为C(cm)，面积为S(cm2)．
（1）求S与C之间的函数关系式；
（2）它是什么函数，自变量C的取值范围是什么？
[答案] 9、解：（1）；
（2）它是二次函数，C>0．
10、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，经市场调查发现，每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少售3箱．
　　（1）求平均每天销量y（箱）与售价x（元/箱）之间的关系式；
　　（2）求该批发商每天的销售利润w(元)与售价x(元/箱)之间的函数关系式；
　　（3）求当每箱售价为60元时，平均每天所获利润为多少元？
[答案] 10、解：（1）y=90－(x－50)·3=－3x＋240；
　　（2）w=(x－40)[90－(x－50)·3]=－3x2＋360x－9600；
　　（3）当x=60时，w=－3×602＋360×60－9600=1200(元)．

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