1.1-锐角三角函数(第2课时).doc

第一章 直角三角形的边角关系
《锐角三角函数（第2课时）》
一、学生知识状况分析
1、学生已经知道的：学生在前一节课学习了有关正切的知识，学会了用直角三角形中两条直角边的关系来描述梯子的倾斜度（即倾斜角的正切）
2、学生想知道的：直角三角形中边与角之间是否还存在着其他的关系呢？是否也能用来刻画梯子的倾斜度呢？
3、学生能自己解决的：探索出直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的的比、邻边与斜边的比是随锐角的大小变化而变化的.
二、教学任务分析
本课是九年级下册第一章第一节的第二课时，是让学生在理解了正切的基础上，进一步通过探究发现直角三角形中直角边与斜边之间存在的关系.同时发现，可以用其它的方式来刻画梯子的倾斜程度，从而拓展了学生的思维和视野.在导学探究过程中，不同学生对问题的理解是不一样的，教师应尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓励学生发表自己的看法，培养学生的逻辑思维能力，培养学生学习数学的自信心.
知识与技能
1、能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.
2、能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.
过程与方法
1、经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
情感与价值观
1、积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学.
2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯.
教学重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系.
教学难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题.
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：探求新知；第三环节：及时检测；第四环节：归类提升；第五环节：总结延伸；第六环节：随堂小测；
第一环节 复习引入
1、如图，Rt△ABC中，tanA = ，tanB= .

2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AC＝10，求BC,AB的长.
3、若梯子与水平面相交的锐角（倾斜角）为∠A，∠A越大，梯子越 ；tanA的值越大，梯子越 .
4、当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其它边之间的比值也确定吗? 可以用其它的方式来表示梯子的倾斜程度吗？
设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），第4题的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望.
第二环节 探求新知
探究活动1：B1
B2
A
C1
C2
如图，请思考：
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是 ；
（2） ；
（3）如果改变B2在斜边上的位置，则 ；
思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________.
它的邻边与斜边的比值呢？
设计意图：1、在相似三角形的情景中，让学生探究发现：当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的对边与斜边的比值也随之确定了.类比学习，可以知道，当直角三角形的一个锐角大小确定时，它的邻边与斜边的比值也是不变的.2、在探究活动中发现的规律，学生能记忆得更加深刻，这比老师帮助总结，学生被动接受和记忆要有用得多.
归纳概念：
1、正弦的定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝________.
2、余弦的定义：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=_ _____.
3、锐角A的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A的三角函数.
温馨提示：
（1）sinA，cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角；
（2）sinA，cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为: sin∠BAC，cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为: sin∠1，cos∠1；
（3）sinA，cosA没有单位，它表示一个比值；
（4）sinA，cosA是一个完整的符号，不表示“sin”,“cos”乘以“A” ；
（5）sinA，cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.
设计意图：1、类比正切的定义，让学生理解正弦和余弦的含义；2、让学生了解：求一个角的三角函数，是指求这个角的正切、正弦和余弦，不是单指某一个值；3、正弦和余弦容易出现一些不规范的表示方法，在这里先进行明确，可以减少日后不必要的错误.
探究活动2：我们知道，梯子的倾斜程度与tanA有关系，tanA越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？是怎样的关系？
设计意图：在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系.
探索发现：（4）梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系：
sinA越大，梯子 ；
cosA越 ，梯子越陡.请大家拿出我们课前准备的模拟墙体和两架模拟梯子：
（1）首先，把两架梯子摆在同一面墙上，使其中一架梯子比较陡。
（2）我们在摆的过程中，要仔细观察，认真思考，探索一下，要想把一个
梯子摆得陡一些，除了与倾斜角的大小有关之外，还与那些因素有关呢？
（3）通过观察，我们可以得到：要想把一个梯子摆得陡一些，与梯子的对边与邻边有关。那么是不是单纯地与倾斜角的对边或邻边有关呢？为了探索这个一般规律，请同学们接着来摆梯子，使其中一架梯子比较陡。这一次，我们要边摆，边度量每个梯子倾斜角的对边与邻边，并计算每个倾斜角的对边与邻边的比值，之后每组填好实验报告。（展示数据及结论）
探究活动3：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=20，sinA=0.6，求BC和cosB.

通过上面的计算，你发现sinA与cosB有什么关系呢? sinB与cosA呢？在其它直角三角形中是不是也一样呢？请举例说明.
小结规律：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于另一个锐角的 .
设计意图：在探究中进一巩固正弦和余弦的定义，同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系，拓展学生的知识储备.
第三环节 及时检测
A
B
C
1、如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，sinA的值（ ）
A、扩大100倍 B、缩小100倍
C、不变 D、不能确定
2、已知∠A，∠B为锐角
(1)若∠A=∠B，则sinA sinB；
(2)若sinA=sinB，则∠A ∠B.
3、如图， ∠C=90°，CD⊥AB，sinB=( )=( )=( )
设计意图：在练习中检验学生对知识的掌握，同时体会在不同的直角三角形中，（如“双垂直模型”），一个锐角的三角函数可以有不同的表示方法，为日后的知识应用打下基础.
第四环节 归类提升
类型一：已知直角三角形两边长，求锐角三角函数值
例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=3，AB=6，求∠B的三个三角函数值.
类型二：利用三角函数值求线段的长度
例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA= ，求AC和AB.

类型三：利用已知三角函数值，求其它三角函数值
例3、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA= ，求cosA、tanB的值.
类型四：求非直角三角形中锐角的三角函数值
例4、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求sinB,cosB,tanB.

设计意图：分类型进行演练，有利于学生掌握思路和方法，由特殊（直角三角形）到一般（非直角三角形），让学生懂得寻找或构造直角三角形是解决三角函数问题的一般思路.
第五环节 总结延伸
1、锐角三角函数定义：sinA= ，cosA= ，tanA= ；
2、温馨提示：
（1）sinA，cosA，tanA， 是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；
（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去“∠”号；
（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位；
（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系；
（5）角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.
3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形.
设计意图：课堂小结，检查学生掌握情况，同时能对知识进行及时梳理，有利于学生归纳和消化，特别对于重要的方法提示和要注意的细节，能再次呈现，使学生印象深刻.
第六环节 随堂小测
1、如图，分别求∠α，∠β的三个三角函数值.
2、在等腰△ABC中， AB=AC=13，BC=10，求sinB,cosB.
3、在△ABC中，AB=5，BC=13，AD是BC边上的高，AD=4.求:CD和sinC.
4、在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是中线，BC=8，CD=5.求sin∠ACD，cos∠ACD和tan∠ACD.

5、在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=13，AD=8，BC=18，求sinB,cosB,tanB.
6、如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD=1/3.求∠A的三个三角函数值.

设计意图：设计各种题型，可以检验学生的方法掌握情况，同时巩固学生的知识，提高学生的运用能力，若时间不允许该部分也可作为课后作业完成.
四、教学反思
好的方面：由于上节课学生学习了三角函数中的正切，所以本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比法教学法，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，很容易就掌握正弦和余弦的概念和意义.同时，探究活动培养和发展了学生的观察、思维能力. 本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.
不足之处：一方面，学生一下子学习了三种三角函数，容易混淆这些定义，写错对应边的比例关系；另一方面，学生对于三角函数是建立在“直角三角形中“这个前提条件理解不深，在解答过程中容易忽略；再一方面，由于经验的缺乏，对于一般的图形中的三角函数问题，学生对于如何构造直角三角形没有很明确的方向和策略，这是需要后面进一步加强的内容.
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