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磁化吸积盘的不稳定性研究
周爱萍
（山东理工大学理学院，山东淄博,255049）
摘要: 从磁流体动力学方程组出发，用微扰法得到的色散方程中含有环向磁场。利用全新的反常黏滞和反常阻抗，数值计算结果表明，只有竖直方向的弱磁场才可以引发一种单调不稳定性。磁场对黏性吸积盘表现为非稳因素，增长率随磁场的增强而增大，且最大增长率大于理想情况下的值。垂向磁场足够强时，单调不稳定性不会出现。
关键词：天体物理学，不稳定性，吸积盘，磁场，反常黏滞
中图分类号： P142 文献标识码：A
Study on the Instability of Magnetized Accretion Disks
ZHOU Ai-ping
(School of science, Shandong University of Technology, Shandong Zibo,255049)
Abstract:Starting from the MHD equations, the dispersion formula including azimuthal magnetic field is derived from the perturbation method. Using the new anomalous viscosity and new anomalous resistivity, the numerical result shows that only the vertical magnetic field can involve a kind of monotonic instability. The magnetic field acts as a factor of instability for the viscous accretion disk. The growth rate grows as the magnetic field strengthenes, furthermore, the maximal growth rate is bigger than that of the ideal case. The monotonic instability will not emerge if the vertical magnetic field is strong enough.
Key words: astrophysics, instability, accretion disks, magnetic field, anomalous viscosity
1引言
在吸积盘理论中，磁场起着重要的作用。由于众多天体周围都存在磁场，因此研究磁场对吸积盘不稳定性的影响是很有意义的。Balbus和Hawley运用局部微扰分析得出：在弱磁场情况下，吸积盘对轴对称扰动存在一种单调不稳定性，而且这种单调不稳定性与环向磁场的大小无关[1]。汪定雄等人在不考虑黏滞律的条件下，讨论了弱磁化等温薄吸积盘的轴对称脉动不稳定性，结果表明：随着磁场的增大，不稳定的单调模式变得更加不稳定[2]。
众所周知，天体物理吸积盘是具有反常黏滞的流体盘，盘内物质的黏性至少比通常物质高8个数量级，但上述的不稳定性研究是基于无黏性理想流体盘（）的分析，未考虑吸积盘的反常黏滞。在以前讨论有磁吸积盘的工作中，只考虑了垂向磁场，没有考虑环向磁场的影响[3]。本文仍基于李晓卿[4]等人给出的反常黏滞、反常阻抗，运用局部微扰分析吸积盘的不稳定性。反常阻抗是来自于等离子体中荷电粒子遭受到低频磁流的散射，通常它是一种低频的直流(dc)电阻抗，其表达式为
（1）
其中，为不稳定性的阈，、为感兴趣问题中的基准密度和温度.下面，简单介绍一下磁黏滞系数的得出过程. 自生的间歇磁流引起的磁黏滞力是

其中自生磁流的麦氏应力张量为

这个应力在每单位时间内对体积元所做的功为.由于黏滞耗散，功转化为热，使体元内的熵增加，

式中．这意味着广义流“”与广义力“”有线性关系[5]：

或者

式中；是间歇流的磁黏滞系数，也就是反常黏滞:（对不求和）.对于吸积盘，中成分是主项，因而的主分量是

在此情况下，得到磁流体动力学黏滞[4]
（2）

2基本方程和色散方程
描述磁化薄吸积盘的方程可以表示为
（3）
（4）
（5）
（6）
其中，是质量密度，是速度，是压强， 是引力势，为磁感应强度，是阻抗，是单位体积的黏滞力，其表达式如下：

这里，为黏滞系数。假定，，，，，，的轴对称扰动形式为：

且假设未扰动量, 。对于局域性分析，利用WKB近似，把，，，代入(1)—(4),可以得到：
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
. （14）
其中，. ，、分别为波矢量的径向分量和垂向分量.（7）—（14）式所构成的线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零，经过计算得到如下色散方程：

=0 （15）
式中，，，。如果，方程（15）可化简为
（16）
此乃Balbus和Hawley得到的理想吸积盘的色散方程[5]，方程中未出现，不稳定性与环向磁场的大小无关。
3数值计算
对色散方程只能求数值解，，定义，，，，，，，，，，，得到色散方程的无量纲化形式

，
计算中，取，，，，, ,对于年轻恒星周围吸积盘，【7】，所以，,为吸积盘内边界半径，又因，计算中取， ，为了讨论磁场对吸积盘不稳定性的影响，、取两组不同的值，进行数值计算，结果如图1所示。图2给出时，取不同值时的增长率分布。图3为只存在环向磁场时的增长率分布图。
图1.增长率随波数的分布，点线对应,实线对应
Fig.1 Distribution of growth rate with wave number, the dot line and solid line respectively corresponds to and .

图2.取不同值时的增长率分布（）
Fig.2 Growth rate distribution corresponds to different value of （）

图3.时的增长率分布
Fig.3 Distribution of growth rate in the case

4讨论
本文利用微扰法首先给出色散方程，通过数值计算，得到增长率在磁场取不同值时随波数的分布图。由图1可以看出，磁场对吸积盘表现为非稳因素，在值一定时，磁场越强，增长率越大，这与汪定雄等人得到的结论相同【2】，但增长率的分布图不同。图2中，在垂直磁场取某一定值时，随的增大而增大，所以说，环向磁场会影响吸积盘的不稳定性。如取，得到的最大为，大于Balbus和Hawley得到的理想吸积盘的最大增长率【6】。但增大到一定程度时，的值趋于稳定，不再变化。如果取，，得到的（图3），即环向磁场不会引发不稳定性。当足够大时，无法得到的实数解，单调不稳定性消失。也就是说，只有竖直方向的弱磁场才可以引发不稳定性【8】。
早期的工作表明，理想吸积盘的不稳定性与环向磁场无关，这一结论从方程（16）中很容易得到。然而，吸积盘是具有反常黏性的天体物理盘，它与无黏性理想旋转流体盘有实质的不同。本文基于黏性吸积盘的分析得到，环向磁场不会引发单调不稳定性，但这种不稳定性确与环向磁场的大小有关系，且随着环向磁场的增大，不稳定性不会消失。
参考文献：
[1]Steven A. Balbus, John F. Hawley. APJ,1991,376：214-222.
[2] 汪定雄，杨兰田，吴少平.天体物理学报，1997，17（4）：563-568.
[3]Zhou Ai-Ping, Li Xiao-Qing. Chin.Phys.Lett,2004,21:584-587.
[4]Li X Q, Zhang H. A&A, 2002, 390: 767—777.
[5]Lifshitz E M, Pitaevskii L P. Physical Kinetics.Oxford: Pergamon Press, 1981, 27.
[6] Steven A. Balbus, John F. Hawley. APJ,1992,392:662-666.
[7]Beckwith S.V.W.. Theory of Accretion Disks-2.Dordrecht：Kluwer Aca. Pub.,1994;1-18.
[8]Velikhov E P. Sov. Phys. JETP, 1959, 9:995-998.
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