勾股定理及特殊的直角三角形.doc

第一节 勾股定理

【知识要点】
1．中国传统文化源远流长，你了解“勾股定理”及其逆定理吗？

2．什么样的数组是“勾股数组”呢？你能列出至少五组基本勾股数组吗？

3．能使用两种方法作长为的线段（以例6为例）吗？

暑假邦德学员：你还记得这个表吗？？
3，4，5
5，12，13，
7，24，25
8，15，17
9，40，41

2倍

3倍

4．观察勾股数组的形成规律,你能得出什么结论呢?

例1 求下图中字母所代表的正方形的面积．
A
3600
C
3721
B
a
c
b
C
A
225
64
a
b
c
B

SC= SB=
a= ；b= ；c= ． a= ；b= ；c= ．
从中发现：（1）三个正方形的面积之间有什么关系？
（2）三个正方形围成的直角三角形三边长度之间有什么关系？

【典型例题】
例1 直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，那么这个三角形的面积为多少？

A
C
D
E
B
例2 如图，已知△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9，AC=7，BC=8，求DE的长．

例3 已知△ABC中，AB=AC，AB=6cm，BC=4cm．
求（1）S△ABC； （2）腰AC上的高BE．

B
D
A
C
例4 在钝角三角形ABC中，CB=9cm，AB=17cm，AC=10cm，AD⊥BC的延长线于D，求AD的长．

A
E
D
C
B
例3 如图，四边形ACDE是长方形，它的面积是，CD=3m，AB=5m，∠ABC=，求以BC为直径的半圆的面积（结果保留）。

例5 如图，在点D处有甲、乙二人同时出发，甲沿DA、AB过桥到达点B处，乙沿DC过桥由C点直达点B处．已知DA=6里，AB=6里，DC=2里．假设甲、乙二人速度相同，问甲、乙二人谁先到达点B处？说明理由．

例5 如图所示，在△ABC中，AB=9，AC=6，AD⊥BC于点D，M为AD上任一点，求MB2－MC2的值．

例6 在数轴上用点表示：

例7 如图所示，B点在AC上，且AB:BC=1:2，△ABD和△BCE都是等边三角形，求证：∠EDB=90°

A
B
C
D
E

例8 如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=，CD=6，
求AD的长．

A
B
C
P
例9 如图，已知△ABC中，AB=AC，P是边BC上的一点．求证：AB2=AP2+BP·PC

大显身手
姓名：
成绩：

1．若直角三角形三边长为三个连续偶数，则它的三边长为（ ）
A．2，4，6 B．4，6，8
C．6，8，10 D．8，10，12
2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=48，BC=7，AC边上中线BD的长为（ ）
A．24 B．14
C．25 D．27
3．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB=25，BD=7，DC=18，则AC=（ ）
A．24 B．25
C．30 D．35
4．直角三角形的两边为9和40，则第三边长为（ ）
A．50 B．41
C．31 D．以上答案都不对
7．在△ABC中，∠C=90°，三内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若a=9，b=12，则c= ；若b=7，c=25，则a= .

5．直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm，则连结这两条直角边中点的线段长为（ ）．
A．10cm B．3cm
C．4cm D．5cm
A
C
D
E
B
G
F
6．如图，正方形ABGF和正方形CDEB的面积分别是100和36，则以AC为直径的半圆的面积是（ ）．
A．8 B．16
C．32 D．64

7．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（ ）
A．15° B．30°
C．45° D．60°
8．在△ABC中，∠C=90°，三内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若a=7，b=24，则c= ；若b=60，c=61，则a= .

9．在△ABC中，∠C=90°．
（1）若a=2，b=6，则c= ．

（2）若c=61，b=60，则a= ．
（3）若，，则a= ，b= ．
（4）若a=60，b=144，c=
（5）若a=35，b=120，c=

10．边长为8的等边三角形的面积等于 ．

11．等边三角形一边上的高为12，则它的边长等于 ．

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=8cm，AC=15cm，CD⊥AB，D为垂足，求CD的长．

13．已知直角三角形的两边长为10、6，求另一边长．

14．已知直角三角形周长为24，面积为24，求各边之长．

15．如图，一个古代棺木被探明位于A点地下24米C处，由于A点地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距A点10米远的B点处挖掘，若考古人员要沿最短路线挖到棺木，则需要挖多长的距离？

16．在数轴上用点表示下列各数：，

A
C
B
D
17．如图，在△ABC中，∠C=90º，AD为∠CAB的平分线，交BC于D，BC=4，CD=1.5，求AC的长．

18．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法，如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB'C'D'的位置，连结CC'，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC'D'的面积证明勾股定理：．

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初二数学