2012高三数学一轮复习-立体几何(Ⅱ)单元练习题.doc

高三数学单元练习题：立体几何（Ⅱ）
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）.
1．一条直线与一个平面所成的角等于，另一直线与这个平面所成的角是. 则这两条直
线的位置关系 （ ）
A．必定相交 B．平行 C．必定异面 D．不可能平行
2．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1∶3，则锥
体被截面所分成的两部分的体积之比为 （　 ）
A．1∶ B．1∶9　　 C．1∶　 D．1∶
3．正方体中，、、分别是、、的中点．那么，正
方体的过、、的截面图形是 （ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
4．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为 （ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
5．对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是 （ ）
A．如果、n是异面直线，那么
B．如果、n是异面直线，那么相交
C．如果、n共面，那么
D．如果、n共面，那么
6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，长为定值的线段EF在棱AB上移动（EF<a），
若P是A1D1上的定点，Q是C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积是 （ ）
A．有最小值的一个变量 B．有最大值的一个变量
C．没有最值的一个变量 D．是一个常量
7．已知平面所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、
所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有 （ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
8．如图所示，在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细线AM、
BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行
于横梁，木条中点为O，若木条绕O的铅垂线旋转60°，则木条
比原来升高了（　　）
A．10cm　　 B．5cm　　 C．10cm　　 D．5cm
9．如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的
边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各
面）是（ ）
A．258 B．234
C．222 D．210
10．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好
都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面
运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
11．底面边长为a，高为h的正三棱锥内接一个正四棱柱（此时正四棱柱上底面有两个顶点在同一个侧面内），此棱柱体积的最大值 （ ）
A． B．
C． D．
12．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （ ）
A． B．2+ C．4+ D．

第Ⅱ卷

二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.
13．某地球仪上北纬纬线的长度为，该地球仪的半径是__________cm，表面积是______________cm2.
14．如图，矩形ABCD中，DC=，AD=1，在DC上截取DE=1，
将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
第15题图
A1
在AC上时，二面角D1—AE—B的平面角的余弦值
是 .
15．多面体上位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，
正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的
同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距
离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的
一个，则P到平面的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为______________.
B1
A1
D
A
F
E
C
C1
B
（写出所有正确结论的编号）
16．如图，在透明材料制成的长方体容器ABCD—A1B1C1D1内灌注
一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜根据
倾斜度的不同，有下列命题：
（1）水的部分始终呈棱柱形；
（2）水面四边形EFGH的面积不会改变；
（3）棱A1D1始终与水面EFGH平行；
（4）当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值。
其中所有正确命题的序号是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本 大题共6个大题，共74分）.
17．（12分）在平面α内有△ABC，在平面α外有点S，斜线SA⊥AC，SB⊥BC，且斜线SA、SB与平面α所成角相等.
（I）求证：AC=BC；
（II）又设点S到α的距离为4cm，AC⊥BC且AB=6cm，求S与AB的距离.
18．（12分）平面EFGH分别平行空间四边形ABCD中的CD与AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（I）求证EFGH为矩形；
（II）点E在什么位置，SEFGH最大?
19．（12分）设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=
∠DBC=120°. 求：
（I）直线AD与平面BCD所成角的大小；
（II）异面直线AD与BC所成的角的大小；
（III）二面角A－BD－C的平面角正切值大小.

20．（12分）如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E—BC—A正切值的大小.

P
B
C
A
D

21．（12分）
如图，四棱锥P—ABCD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD
（I）证明：侧面PAB⊥侧面PBC；
（II）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；
（III）求直线AB与平面PCD的距离．

22．（14分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC=AB=a（如图9－7－12
（1）），将△ADC沿AC折起，使D到D′，记面ACD′为α，面ABC为β，面BCD′为.
（I）若二面角α－AC－β为直二面角（如图9－7－12（2）），求二面角β－BC－的大小；
（II）若二面角α－AC－β为60°（如图9－7－12（3）），求三棱锥D′一ABC的体积．

参考答案（3）

一、选择题
1．D；2．D；3．D；4．C；5．C；6．D；7．D；8．A；9．C；10．B；11．B；12．B；
二、填空题
13．，；14．；15．①③④⑤；16．①③④；
三、解答题
17．（1）证明：过S作SO⊥面ABC于O

S到AB的距离为=5cm.

又∵AB⊥CDEF⊥FGEFGH为矩形.
（2）AG=x，AC=m，
，GH=x
GF=（m－x）
SEFGH=GH·GF=x·（m－x）
=（mx－x2）= （－x2+mx－+）=［－（x－）2+］
当x=时，SEFGH最大=

19．解：（1）如图9－7－3所示，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，则AH⊥平面DBC，连结DH，故∠ADH为直线AD与平面BCD所成的角.
由题设知，△AHB≌△DHB，则DH⊥BH，AH=DH.
∴∠ADH=45°为所求.
（2）∵BC⊥DH，且DH为AD在平面BCD上的射影，
∴BC⊥AD，故AD与BC所成的角为90°.
（3）过H作HR⊥BD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知AR⊥BD，故∠ARH为
二面角A－BD－C的平面角的补角.
设BC=a，则由题设得AH=DH=，BH=，BD=BC=a.
在△HDB中，求得HR=.∴tan∠ARH==2.
故二面角A－BD－C的正切值大小为－2.
20．若以BC为直径的球面与线段PD有交点E，由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆，则必有BE⊥CE，因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点。
设BC的中点为O（即球心），再取AD的中点M，易知OM⊥平面PAD，作ME⊥PD交PD于点E，连结OE，则OE⊥PD，所以OE即为点O到直线PD的距离，又因为OD＞OC，OP＞OA＞OB，点P，D在球O外，所以要使以BC为直径的球与线段PD有交点，只要使OE≤OC（设OC=OB=R）即可。
由于△DEM∽△DAP，可求得ME= ， 所以OE2=9+ 令OE2≤R2，
即9+ ≤R2 ，解之得R≥2；
所以AD=2R≥4，所以AD的取值范围[ 4，+∞，

当且仅当AD= 4时，点E在线段PD上惟一存在，此时易求得二面角E—BC—A的平面角正切值为。
21．（I）证明：在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD侧面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥侧面PAB 又∵BC侧面PBC
∴侧面PAB⊥侧面PBC）
（II）解：取AB中点E，连结PE、CE
又∵△PAB是等边三角形 ∴PE⊥AB
又∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD
∴∠PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角

在Rt△PEC中，∠PCE=45°为所求
（Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD
∵CD侧面PCD，AB侧面PCD，∴AB//侧面PCD
取CD中点F，连EF、PF，则EF⊥AB
又∵PE⊥AB ∴AB⊥平面PEF 又∵AB//CD
∴CD⊥平面PEF ∴平面PCD⊥平面PEF
作EG⊥PF，垂足为G，则EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=为所求.
22．解：（1）在直角梯形ABCD中，由已知△DAC为等腰直角三角形，∴AC=a，∠CAB=45°.
由AB=2a，可推得BC=AC=a，∴AC⊥BC.
取AC的中点E，连结D′E，如图9－7－13，则D′E⊥AC.

∵二面角α－AC－β为直二面角，∴D′E⊥β.
又∵BC平面β，∴BC⊥D′E. ∴BC⊥α.而D′Cα，∴BC⊥D′C.
∴∠D′CA为二面角β－BC－的平面角.
由于∠D′CA=45°，∴二面角β－BC－为45°.
（2）如图9－7－14，取AC的中点E，连结D′E，再过D′作D′O⊥β，垂足为O，连结O E.∵AC⊥D′E，∴AC⊥OE.∴∠D′EO为二面角α－AC－β的平面角.∴∠D′EO=60°.在Rt△D′OE中，D′E=AC=a，D′O=D′E·sin60°=S△ABC·D′O=×
AC·BC·D′O=×××=.
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用心 爱心 专心