吴望一《流体力学》第二章部份习题参考答案.doc

吴望一《流体力学》第二章部份习题参考答案

一、基本概念
1．连续介质假设适用条件：
在研究流体的宏观运动时，如果所研究问题的空间尺度远远大于分子平均间距，例如研究河流、空气流动等；或者在研究流体与其他物体（固体）的相互作用时，物体的尺度要远远大于分子平均间距，例如水绕流桥墩、飞机在空中的飞行（空气绕流飞机）。
若不满足上述要求，连续介质假设不再适用。如在分析空间飞行器和高层稀薄大气的相互作用时，飞行器尺度与空气分子平均自由程尺度相当。此时单个分子运动的微观行为对宏观运动有直接的影响，分子运动论才是解决问题的正确方法。
2．（1）不可；（2）可以，因为地球直径远大于稀薄空气分子平均间距，同时与地球发生相互作用的是大量空气分子。
3．流体密度在压强和温度变化时会发生改变，这个性质被称作流体的可压缩性。流体力学中谈到流体可压缩还是不可压缩一般要结合具体流动。如果流动过程中，压力和温度变化较小，流体密度的变化可以忽略，就可以认为流体不可压缩。随高度的增加而减少只能说明密度的空间分布非均匀。判断流体是否不可压缩要看速度场的散度。空气上升运动属可压缩流动，小区域内的水平运动一般是不可压缩运动。
4．没有， 没有， 不是。
5 三个式子的物理意义分别是：流体加速度为零；流动是定常的；流动是均匀的。
6 欧拉观点：，拉格朗日观点：
7 1），2），3)
8 不能。要想由唯一确定还需要速度场的边界条件和初始条件。
9 物理意义分别为：初始坐标为的质点在任意时刻的速度；任意时刻场内任意点处的速度。
10 1），3）
11 见讲义。
12 分别是迹线和脉线。
13 两者皆不是。该曲线可视为从某点流出的质点在某一时刻的位置连线，即脉线。
14 同一时刻刚体上各点的角速度相同，但流体内各涡度一般不同。
该流动流体为团的角速度：
二 流线与迹线，加速度
1（1）
，
轨迹微分方程组：
积分即可得轨迹。
流线微分方程：。积分可得流线方程。
（2）流线微分方程：，
积分可得流线方程，其中为常数。
（3）流线微分方程：，即 ，积分得。
（4）流线微分方程：，积分得。
（5）由可得 ， 故流线方程为射线 。
（6）流线微分方程：，积分得，是任意常数。
（7）流线微分方程：，积分得，是任意常数。
（8）流线微分方程：，积分得，是任意常数。
将代入确定常数，可得过该点的流线方程。
（9）流线微分方程：，积分得。
满足上述方程（），因而是一条流线。
（10），即球面上流体质点没有法向速度，可知该球面是流面。
（11）流线微分方程：，积分可得，是任意常数。
将代入确定常数即可得所求流线方程。
迹线微分方程：，积分得到。将初始条件代入确定积分常数，即得所求迹线。
（12）迹线微分方程组：，
积分得到迹线族：，其中、、为积分常数。
附积分公式：方程的解为
流线微分方程：，
积分得流线族：，其中、为积分常数。
（13）设初始时刻在处的流体质点时刻到达处，于是有
。
积分得到该流体质点运动方程：，初始条件代入确定常数值，最后得到拉氏表述的运动方程：
。
速度拉格朗日表述：。
2（1）此流动由于速度只有分量，即速度方向沿射线方向，所以迹线和流线都是射线（）。
（2）流线与迹线重合的充要条件为速度场方向定常。
3速度方向与两曲面公切线方向平行。因为分别沿曲面的法向，故沿两曲面公切线方向，即流线方向。
速度大小是流线上各点位置的函数，而流线上各点的位置由两曲面方程组成的方程组确定，因而速度大小是和的函数。
4（1）由知，。将代入迹线方程确定到达该位置的时刻，然后将该时刻代入加速度表达式即得解。
（2），
将该点位置坐标和给定时刻代入即得所求加速度。
三运动类型判别
1（1）纯剪切流动，，有旋。
流线为一组平行于轴的直线。
（2）单一方向均匀流动，，无旋。
流线为一组平行于轴的直线。
（3）刚性圆周运动，，有旋。
流线：，即，为常数。
（4），有旋
流线：，即
3（1）（a）

可见速度场定常。
（b），故不可压缩。
（c)，无旋。
4（1）流体做非定常运动；（2）流体做定常运动
同一流动在不同参照系中有不同特征。
五 其他
（1）证：若流管中存在与流线垂直的横截面，在该横截面上取面元，则在的边界周线上各点速度方向平行该截面的法向，因此垂直于周线上各点的切向，于是有。
根据Stokes定理
，即。
考虑到的法向平行于方向，因此可知在该截面的任一点上有。
2. 速度场给定如下（本题中黑体字代表矢量）
（1），其中
（2），其中为球坐标中方向的单位矢量。
求通过以原点为中心，半径为R的球面S的流体体积流量。
解：考虑半径为的球面，其上的面积微元为，其中为面积微元的外法线单位矢量，通过该球面的体积流量为
（1），故求得
（2）因与垂直，， 故