数学:11探索勾股定理同步练习北师大版八级上 .doc
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第一章 勾股定理 参考例题 [例1]如下图所示,△ABC中,AB=15 cm,AC=24 cm,∠A=60°,求BC的长. 分析:△ABC是一般三角形,若要求出BC的长,只能将BC置于一个直角三角形中. 解:过点C作CD⊥AB于点D 在Rt△ACD中,∠A=60° ∠ACD=90°-60°=30° AD=AC=12(cm) CD2=AC2-AD2=242-122=432, DB=AB-AD=15-12=3. 在Rt△BCD中, BC2=DB2+CD2=32+432=441 BC=21 cm. 评注:本题不是直角三角形,而要解答它必须构造出直角三角形,用勾股定理来解. [例2]如下图,A、B两点都与平面镜相距4米,且A、B两点相距6米,一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点. 求B点到入射点的距离. 分析:此题要用到勾股定理,全等三角形,轴对称及物理上的光的反射的知识. 解:作出B点关于CD的对称点B′,连结AB′,交CD于点O,则O点就是光的入射点. 因为B′D=DB. 所以B′D=AC. ∠B′DO=∠OCA=90°, ∠B′=∠CAO 所以△B′DO≌△ACO(SSS) 则OC=OD=AB=×6=3米. 连结OB,在Rt△ODB中,OD2+BD2=OB2 所以OB2=32+42=52,即OB=5(米). 所以点B到入射点的距离为5米. 评注:这是以光的反射为背景的一道综合题,涉及到许多几何知识,由此可见,数学是学习物理的基础. 1.探索勾股定理(一) 在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗? 它的意思是说:如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位,那么它的斜边的长一定是5个长度单位,而且3、4、5这三个数有这样的关系:32+42=52. (1)请你动动脑筋,能否验证这个事实呢?该如何考虑呢? (2)请你观察下列图形,直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7,BC=4,请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72? 测验评价等级: A B C ,我对测验结果(满意、一般、不满意) 参考答案 (1)边长的平方即以此边长为边的正方形的面积,故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形,如右图:AC=4,BC=3, S正方形ABED=S正方形FCGH-4SRt△ABC =(3+4)2-4××3×4=72-24=25 即AB2=25,又AC=4,BC=3, AC2+BC2=42+32=25 ∴AB2=AC2+BC2 (2)如图(图见题干中图) S正方形ABED=S正方形KLCJ-4SRt△ABC=(4+7)2-4××4×7=121-56=65=42+72 2.探索勾股定理(二) 下图甲是任意一个直角三角形ABC,它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形,放在边长为a+b的正方形内. ①图乙和图丙中(1)(2)(3)是否为正方形?为什么? ②图中(1)(2)(3)的面积分别是多少? ③图中(1)(2)的面积之和是多少? ④图中(1)(2)的面积之和与正方形(3)的面积有什么关系?为什么? 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗? 测验评价等级:A B C,我对测验结果(满意、一般、不满意) 参考答案 ①图乙、图丙中(1)(2)(3)都是正方形.易得(1)是以a为边长的正方形,(2)是以b为边长的正方形,(3)的四条边长都是c,且每个角都是直角,所以(3)是以c为边长的正方形. ②图中(1)的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2. ③图中(1)(2)面积之和为a2+b2. ④图中(1)(2)面积之和等于(3)的面积. 因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形,它们面积相等,(1)(2)的面积之和与(3)的面积都等于(a+b)2减去四个Rt△ABC的面积. 由此可得:任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即勾股定理. 2.探索勾股定理(二) 班级:________ 姓名:________ (1)某养殖厂有一个长2米、宽的矩形栅栏,现在要在相对角的顶点间加固一条木板,则木板的长应取米. (2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼,其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行,另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行,它们离开港口一个半小时后相距海里. (3)如图1:隔湖有两点A、B,为了测得A、B两点间的距离,从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C,若测得CA=50 m,CB=40 m,那么A、B两点间的距离是_________. 图1 12 cm和10 cm,求这个三角形的面积. 3.在△ABC中,∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm (1)求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长. (2)求斜边被分成的两部分AD和BD的长. :要修建一个育苗棚,棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜,试求需要多少平方米塑料薄膜? 5.如图3,已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长. 测验评价结果:_____________;对自己想说的一句话是:______________________. 参考答案 1.(1)2.5 (2)30 (3)30米 2.如图:等边△ABC中BC=12 cm,AB=AC=10 cm 作AD⊥BC,垂足为D,则D为BC中点,BD=CD=6 cm 在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2=102-62=64 ∴AD=8 cm ∴S△ABD=BC·AD=×12×8=48(cm2) 3.解:(1)∵△ABC中,∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm ∴AB2=AC2+BC222 ∴AB=3.5 cm ∵S△ABC=AC·BC=AB·CD ∴AC·BC=AB·CD ∴CD===1.68(cm) (2)在Rt△ACD中,由勾股定理得: AD2+CD2=AC2 ∴AD2=AC2-CD222 =(2.1+1.68)(2.1-1.68) =3.78×0.42=2×1.89×2 =22 ∴AD=2×3×0.21=1.26(cm) ∴BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24(cm) 4.解:在直角三角形中,由勾股定理可得:直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是:3×12=36(m2) 5.解:根据题意得:Rt△ADE≌Rt△AEF ∴∠AFE=90°,AF=10 cm,EF=DE 设CE=x cm,则DE=EF=CD-CE=8-x 在Rt△ABF中由勾股定理得: AB2+BF2=AF2,即82+BF2=102, ∴BF=6 cm ∴CF=BC-BF=10-6=4(cm) 在Rt△ECF中由勾股定理可得: EF2=CE2+CF2,即(8-x)2=x2+42 ∴64-16x+x2=x2+16 ∴x=3(cm),即CE=3 cm- 配套讲稿:
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