第28课时 锐角三角函数(1).doc

第28课时 直角三角形
B
C
A
【基础知识梳理】
1、直角三角形的性质
①角的关系：直角三角形，两锐角_____________。
②边的关系(勾股定理)：直角三角形中两直角边的______等于_________。
③直角三角形中30°所对的直角边等于________。
④直角三角形中，斜边的中线等于_____________。
⑤直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于________。
⑥面积 ；
2、直角三角形的判别
① 有一个角是_______的三角形是直角三角形。
②有两角___________的三角形是__________________。
③勾股定理的逆定理：如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的_______，那么这个三角形是直角三角形。
④如果三角形一边上的________等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C=90°，
①∠A的正弦=；∠A的余弦= ,
∠A的正切=(注：三角函数值是一个比值．)
②三角函数的关系
a 、互为余角的三角函数关系．
sin（90○－A）=cosA， cos（90○－A）=sin A
b、 同角的三角函数关系．
平方关系：sin2 A+cos2A=l 倒数关系：tanA•tanB=1
③特殊角锐角的三角函数值．
三角函数
30°
45°
60°

【基础诊断】
1、（2012广州市，7题3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）
A. B. C. D.
2、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ).
A. 7,24,25 B. 3,4,5 C. 3,4,5 D. 4,7,8
3、把Rt△ABC的三边都扩大十倍，关于锐角A的正弦值：甲同学说扩大十倍；乙同学说不变；丙同学说缩小十倍.那么你认为正确的说法应是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 都不正确
4、（2012·哈尔滨，5题3分）在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是( )．
(A) (B) (C) (D)
5、在△ABC中,若,则∠C的度数为( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
【精典例题】
例1、（2012山东省荷泽市，16(2),6）(2)如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标.

【点拨】在平面直角坐标系中，求点的坐标实质就是求这个点到两轴的距离，也就是求线段的长，求线段的就是利用勾股定理、三角函数或相似三角形的对应边成比例.
例2、（2012山东省青岛市，14，3）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
【点拨】本题考查圆柱的侧面展开图为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，据“两点之间线段最短”得出结果．“化曲面为平面”，利用勾股定理解决．要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18 cm.
C
B
A
例3题图

例3、（2012四川内江，11，3题）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【点拨】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．
【自测训练】
A— 基础训练
一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）
1、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图8所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要（ C ）
A、元 B、元 C、元 D、元
2、下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(　 　)
A．1,2,3 　　B．2,3,4 C．3,4,5 　 　D．4,5,6
3、（2012，黔东南州，6题，3分）如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A、（2，0） B、（） C、（） D、（）
4、( 2012年浙江省宁波市,8,3)Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB=,则BC的长为（ ）
（A）4 (B)2 (C) (D)
B
C
A

5、（2009年浙江省湖州市）如图，在中，90°，，，则下列结论正确的是（ ）
A．　B．　C．　 　D．
二、填空题
6、（2012浙江省湖州市，5题3分）在Rt△ABC中，∠ACB=900，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是_________________
7、(2009·贵阳中考）已知直角三角形的两条边长为3和4，则第三边的长为______.
8、 2sin60°－cos30°·tan45°的结果为_________________
=_________________
9、点M(tan60°，－cos60°）关于x轴的对称点M′的坐标是________
10、在△ABC中，∠A为锐角，已知 cos(90°－A）=，sin(90°－B）=，则△ABC一定
是________三角形。
三、解答题
11、如图所示，一根长2a的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
(1)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；
(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．
．
12、如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于 E点，EC=1，∠B=30°，求菱形ABCD的周长．

13、在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝12，BC＝5。
（1）求AB的长；
（2）求sinA、cosA的值；
（3）求的值；
（4）比较sinA、cosB的大小。

B—提升训练
一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）．
1、（2012贵州贵阳，8，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直
平分线DE交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1,则EF的长（ ）
A.3 B.2　 C. 　　D.1
2、一架长25 dm的梯子，斜立在竖直角墙上，这时梯足距墙底端7 dm，如果梯子的顶端沿墙下滑4 dm，那么梯足将滑出(　 　)
A．9 dm 　　B．15 dm C．5 dm 　　D．8 dm
3、在 △ABC中，已知∠C＝90°，sinB=0.6，则cosA的值是（ ）

4、(2011·荆州)如图所示1，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm， 高为5 cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.
5、 直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图2那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
图1 6
8
C
E
A
B
D
图2

二、填空题
6．(2011·新疆)如图3所示，△ABC是等边三角形，AB＝4 cm，则BC边上的高AD等于________ cm.

图3 图4 图5 图6
7.如图4，在平面直角坐标系中，已知A(3，0)点B(0，－4),则cos∠OAB等于__________。
8．( 2012年四川省巴中市,15,3)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系+|a-b|=0,则△ABC的形状为______。
9、(2012四川省南充市，14，4分) 如图5，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是_____________cm.
10、(2012贵州黔西南州，18，3分)如图6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，
CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为______________。
三、解答题
11．（2012安徽，10，4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）

12．(2012贵州六盘水，23，12分)，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C,测得∠CAD=30°；小丽沿河岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度.

13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，点D在AC上，∠BDC=60°，
AD=l，求BD、DC的长．

【08—12济南】
1、（2012济南市，14题3分）计算：= .
2、（2012济南市，9题3分）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值（ ）
A、 B、 C、 D、3
3、（2009济南市，15题3分）如图∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．

4、（2008济南市，16题3分）如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是　　　　　　　　．
5、（2012，13题3分）如图，∠MON=900，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1。运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）
A
B
C
N
O
第9题图
M
A
B
C
D
E
16题
A、 B、 C、 D、

6、（2010济南市，9题3分）如图所示，正方形ABCD中，对角线D
AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cos∠OMN的值为（ ）
A． B． C． D．1

答案提示：
【基础诊断】
1、A 2、B 3、B 4、D 5、D
【精典例题】
例1、 1、E（4，8）D（0，5）
解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴，
在中，,,
,. 在中，，又,,
,.
例2、15 解：将圆柱展开，AB= 例3、B
【自测训练】
A—基础训练
一、选择题 1、C 2、C 3、C 4、A 5、D
二、填空题：6、5 7、5或 8、 ; 9、(，) 10、直角
11、（1）不发生变化，理由是：连接OP，∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a ∴OP= AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a．
（2）设OA=x，OB=y,∴，又∵且≥2xy，即≤，
∴≤，当且仅当x=y=，即木棍滑动到使OA=OB时，的面积最大是。
12、设BE的长度为x, 则 △ABE中有：cosB=BE/AB =>AB=BE/cos30° AB=x/cos30°BC=BE+1
∵ABCD 是菱形， ∴有AB=BC=CD=DAx/cos30°=x+1 方程解得x=2√3+3∴BC=2√3+3+1=2√3+4
∴菱形ABCD的周长=4BC=4（2√3+4）=8√3+16
13、分析：在Rt△ABC中，已知两直角边长求斜边长可应用勾股定理，再利用两直角边长与斜边长的比分别求出sinA、cosA的大小，从而便可以计算出的大小，即可比较sinA与cosB的大小。
答案：（1）AB＝13； （2）sinA＝，cosA＝；
（3）； （4）sinA＝cosB
B—提升训练
一、选择题 1、B 2、B 3、D 4、13 5、C
二、填空题：6、 7、 8、等腰直角三角形 9、 10、
11、解答：解：如下图，，

12、 解：过点C作CE⊥AD于点E，由题意得，AB=30m，∠CAD=30°，∠CBD=60°，
故可得∠ACB=∠CAB=30°，即可得AB=BC=30m，设BE=x，在Rt△BCE中，可得CE= ，
又∵BC2=BE2+CE2，即900=x2+3x2，解得：x=15，即可得CE= m．

13、BD=, DC=
【08—12济南】
1、-3 2、A 3、 4、4 5、A（提示：取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解．） 6、B
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