陕西省师大附中2011-2012学年高二数学下学期期末试题-理.doc

陕西师大附中2011-2012学年度第二学期
期末高二年级考试数学试题
一、 选择题：（共10个小题，每小题4分；在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项代号填入答题卡对应符号栏内）
1.已知集合,,则 （ ）
(A)(0,2) (B) {0,1,2} (C) (D) [0,2]
2．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是 ( )
A． B． C． D．
3.已知向量，，若向量满足，，则向量
( )
A. B. C. D.
4.复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （ ）
A．第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5. 下列命题中，真命题是 ( 　)
A. 存在; B. 任意;
C. 存在; D. 任意
6．设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则的值为 （ ）
A．2 B． C． D．
7．设是两条不重合的直线，是两个不同的平面，则下列命题中错误的是 ( )
A．若，,则
B．若是内任意一条直线，，则
C．若，，则 k`$#s5u
D．若，，则
8.在在中，，则边上的高为 （ ）
A. B. C. D.
9．设函数，则
A．在单调递增，其图象关于直线对称
B．在单调递增，其图象关于直线对称
C．在单调递减，其图象关于直线对称
D．在单调递减，其图象关于直线对称
10．直线与圆的位置关系是 （ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
二、填空题（共四个小题，每小题4分）
11.已知函数过（1， 2）点，若数列的前n项和为，则的值为_________.
12.若将逐项展开得，则出现的概率为，出现的概率为，如果将逐项展开，那么出现的概率为 .
13.对于三次函数（），定义：设是函数的导数的导数，若方程＝0有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为_____；
14.三棱锥的三视图如下（尺寸的长度单位为）．则这个三棱锥的体积为 _________;
正视图
侧视图
俯视图
3 1
2 2
3
2

（第14题图）

k`$#s5u

陕西师大附中2011-2012学年度第二学期
期末高二年级考试数学答题纸
一、选择题(本题共10小题，每题4分，共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案

二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
题号
11
12
13
14
答案

三、解答题
15．(本题满分10分)如图所示,已知的终边所在直线上的一点的坐标为,的终边在第一象限且与单位圆的交点的纵坐标为.
⑴求的值；
⑵若,,求.

k`$#s5u

16. (本题满分10分)
设数列是公比大于1的等比数列,为其前项和,已知=7且、、成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求的表达式.

17．（本小题满分10分）
学校在高二开设了当代战争风云、投资理财、汽车模拟驾驶与保养、硬笔书法共4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生。
（I）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（II）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（III）求投资理财选修课被这3名学生选择的人数的数学期望。

k`$#s5u

18. (本题满分12分)
如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点。
（1）求证：平面BED平面SAB；
（2）求平面BED与平面SBC夹角的大小。

19.（本小题满分12分）
已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．
（1）若直线的斜率为1求的面积；
（2）证明：直线的斜率互为相反数；；

20. (本题满分12分)
已知函数．
（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；
（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．
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陕西师大附中2011-2012学年度第二学期
期末高二年级考试数学试题参考答案
一、选择题(本题共10小题，每题4分，共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
B
A
D
B
D
B
二、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）
题号
11
12
13
14
答案

(, 1)

三、解答题
15．(本题满分10分)
如图所示,已知的终边所在直线上的一点的坐标为,的终边在第一象限且与单位圆的交点的纵坐标为.
⑴求的值；
⑵若,,求.
解：⑴由三角函数的定义知
又由三角函数线知,
∵为第一象限角,∴, k`$#s5u

∴. ……5分
⑵∵,,∴.
又,,∴. …7分
∴.
由,,得,
∴. ……10分
16. (本题满分10分)
设数列是公比大于1的等比数列,为其前项和,已知=7且、、成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求的表达式.
解：（1）由得，k`$#s5u

设公比为q,,
q>1得
（2）是首项为，公比为8，项数为n+8项的等比数列，

17．（本小题满分10分）
学校在高二开设了当代战争风云、投资理财、汽车模拟驾驶与保养、硬笔书法共4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生。
（I）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；
（II）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（III）求投资理财选修课被这3名学生选择的人数的数学期望。
解析：(Ⅰ)3名学生选择了3门不同的选修课的概率为
----------2分
　(Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为
-----------5分
(Ⅲ) 设投资理财选修课被这3名学生选择的人数为，则＝0,1,2,3 -----------6分
P(＝0)＝　　　 P(＝1)＝
P(＝2)＝　　 P(＝3)＝

0
1
2
3
P

的分布列是

k`$#s5u

18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点。
（1）求证：平面BED平面SAB；
（2）求平面BED与平面SBC夹角的大小。
解：（Ⅰ）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．
∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB． …4分
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系D—xyz，不妨设AD＝2，则
D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，
C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．
＝(2，，0)，＝(1，0，1)，
＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．
设m＝(x1，y1，z1)是面BED的一个法向量，则
即
因此可取m＝(－1，，1)．…8分 设n＝(x2，y2，z2)是面SBC的一个法向量，则
即
因此可取n＝(0，，1)． …10分
cosám，nñ＝＝＝，
故平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为30°．…12分
19.（本小题满分12分）
已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．
（1）若的面积为求直线的方程；
（2）证明：直线的斜率互为相反数；
解.（1）设直线的方程为．
由 可得 ．
设，则．-------3分
∴
又

得 ----------6分
（2）设直线的斜率为由（1）及直线的斜率
．----10分
又当垂直于轴时，点关于轴对称，显然．
综上，． ----------12分
20. （本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；
（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．
k`$#s5u
解：（Ⅰ）当时，，其定义域是 ………1分
………………………2分
令，即，解得或．
，∴ 舍去． ………………………4分
当时，；当时，．
∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减
∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．
当时，，即．
∴ 函数只有一个零点． ……6分
（Ⅱ）显然函数的定义域为
∴ 8分
①当时，在区间
上为增函数，不合题意………9分
②当时，等价于，
即 此时的单调递减区间为．
依题意，得解之得． ……10分
当时，等价于，即
此时的单调递减区间为，
∴ 得 ………………………11分
综上，实数的取值范围是 ………12分
法二：
①当时，
在区间上为增函数，不合题意
②当时，要使函数在区间上是减函数，
只需在区间上恒成立，
只要恒成立，
解得或
综上，实数的取值范围是。k`$#s5u

11