第二章圆锥曲线与方程(3).doc

第六讲　圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线中的定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，它是解析法的应用，数形结合思想方法的良好体现.圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线与三角、函数与方程、不等式、数列、平面向量等知识的横向联系也是本节知识的重点内容.解决本类问题的分析思想与方法是可循的，重要的是要善于掌握圆锥曲线知识间的横向与纵向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.
解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.
(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.
(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.
［特别提醒］
1．要注重基础，掌握好基础知识、基本题型、基本方法，多做一些选择题与填空题，尽是不出现“看起来题会，做起来不对，出考场后悔”的现象；
2．重视对数学思想、方法的训练、归纳与提炼，达到优化解题思路、简化解题过程的效果；
3．以方程形式给定的直线与圆锥曲线的方程，对直线与圆锥曲线相交问题利用韦达定理整体处理，能起到简化解题的运算量；
4．在圆锥曲线的变化过程中，引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及之间构成函数关系，运用函数思想处理这类问题较为方便；
5．由于圆锥曲线都具有对称性，因此可以使分散的条件相对集中，减少一些变量与未知量，也可起到简化计算，促使问题的解决；
6．要从学科的整体高度来考虑问题，在知识网络交汇点上思考问题，对于综合题型、应用题型和探索题型应给予高度的重视。
[基础闯关]
1．动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必经过定点（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．设为椭圆左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于两点，当四边形面积最大时，的值等于（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
3．（2006年全国卷II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 (　　)
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
4．（2006年安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于两点，是坐标原点，则的面积等于　　　　　　　。
6．已知点是椭圆上的动点，是椭圆的焦点，则的取值范围是　　　　　　　　。
[典例精析]

Q
P
N
M
F
O

例1．(2005年全国卷II)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．
［剖析］求出四边形的面积的表达式，转化为函数的单调性进行讨论。
［解］解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1
将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0
设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则

从而
亦即
(1)当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得
故四边形面积
令=得
∵=≥2,当=±1时=2，S=且S是以为自变量的增函数
∴
②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。∴S=|PQ||MN|=2
综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。
［警示］由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。
［变式训练］：

例2．如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||
(1)求f(m)的解析式；
(2)求f(m)的最值.
［剖析］第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简.第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法.
［解］(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1，∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0).
故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.
∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)
考虑方程组,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)
整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0
Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2
∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=.
又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上
∴|AB|=|xB－xA|==(xB－xA)·,|CD|=(xD－xC)
∴||AB|－|CD||=|xB－xA+xD－xC|=|(xB+xC)－(xA+xD)|
又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0
∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·=||·= (2≤m≤5)
故f(m)=，m∈［2,5］.
(2)由f(m)=，可知f(m)=
又2－≤2－≤2－
∴f(m)∈［］
故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5.
［警示］本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.
［变式训练］
2．已知抛物线C：y2=4x.
(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
(2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.

例3．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）

［剖析］对于实际问题，建系设点，写出方程，然后再求最值。

［解］解法一（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），
椭圆方程为.
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3米.
（2）由椭圆方程，得

故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
[解二]由椭圆方程，得 于是

得以下同解一.
［警示］考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解
［变式训练］
3. 舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹 设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发射炮弹的方位角和仰角应是多少？

例4．如图所示，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆的右焦点的直线，合交于点，设与椭圆的两个交点为，当椭圆的离心率变化时，求的最大值及取得最大值时椭圆的离心率的值。
y
x
l2
l1
M
B
P
N
A
F
O
［剖析］本题求解分为两步，首先通过引入参变量，建立与离心率的函数关系，其次利用点在右准线上，及椭圆的第二定义，建立与的函数关系，利用的范围求出的取值范围。
［解］设的半焦距为，不妨设
由得，故点在椭圆的右准线上。
设点内分有向线段的比为，由定比分点坐标公式求得点的坐标为.点在椭圆上，将点的坐标代入椭圆方程，整理得：
，两边同时除以，
由得：
当且仅当，即时，。
分别过点作椭圆的右准线的垂线，垂足分别为.
设，可得
，同理有

又，.
又(为的内分点)，
由，即，得
的最大值为，此时椭圆的离心率为.
［警示］本题是利用了转化思想求有关圆锥曲线问题中参数的取值范围问题，这类问题常用的处理方法有：(1)不等式(组)的知识，根据题意结合图形列出所要讨论的参数适合的不等式(组)，通过解这个不等式(组)得出参数的取值范围；(2)转化为求函数的值域，把所要讨论的参数作为一个变量，另一个适当的参数作为自变量来表示这个变量，从而建立函数关系，再通过讨论这个函数的值域求出参数的取值范围。
［变式训练］
4．（2006年江西卷）如图，椭圆Q：（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点
（1）求点P的轨迹H的方程；
（2）在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0<q£ ），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？

例5．（2005年山东卷）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（I）求动圆圆心的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

［剖析］利用抛物线的定义，根与系数的关系来寻找数量关系进行求解。
［解］（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；
（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①
（1）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点
（2）当时，由，得==
将①式代入上式整理化简可得：，所以，
此时，直线的方程可表示为即
所以直线恒过定点
所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.

［警示］直线与圆锥曲线综合的题目，主要是利用根与系数的关系来对找数量关系，从代数角度看转化为一个一元二次方程与一个二元二次方程组成的方程组的研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论系数与判别式，如能数形结合，借助于图形的直观性来处理，将会使问题变得简单，对于动态问题，要注意“动中求静”。
［变式训练］
5．（2006年南京）已知点A（1，0），B（0，1），C（1，1）和动点P（x，y）满足的等差中项.
（1）求P点的轨迹方程；
（2）设P点的轨迹为曲线C1按向量平移后得到曲线C2，曲线C2上不同的两点M，N的连线交y轴于点Q（0，b），如果∠MON（O为坐标原点）为锐角，求实数b的取值范围;
（3）在（2）的条件下，如果b=2时，曲线C2在点M和N处的切线的交点为R，求证：R在一条定直线上.

例6．（2006年辽宁卷）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为

(I) 证明线段是圆的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。
［剖析］
［解］【解析】(I)证法一:

整理得:
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即，整理得:
故线段是圆的直径
证法二:

整理得: ……..(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上，则
去分母得:
点满足上方程,展开并将(1)代入得:
，故线段是圆的直径
证明3:
，整理得: ，
……(1)
以线段AB为直径的圆的方程为：
展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则
，
又因，，
，

所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

当y=p时,d有最小值,由题设得，.
解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则
，
又因，，
，

所以圆心的轨迹方程为
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则
因为x-2y+2=0与无公共点,
所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为，从而将(2)代入(3)得

解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

又因，，
，

当时,d有最小值,由题设得，.
［警示］本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.
［变式训练］
6．(2005年全国卷Ⅰ)已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。

[能力提升]
1．已知点在抛物线上，为坐标原点，如果，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（　　　）
A．　　　　　B．　　　C．　D．
2．设u,v∈R，且|u|≤,v＞0,则(u－v)2+()2的最小值为( )
A 4 B 2 C 8 D 2
3．（2006年福建联考）2005年10月。我国载人航天飞船“神六”飞行获得圆满成功。已知“神六”飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200公里、350公里。设地球的半径为R公里，则此时飞船轨道的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．（2005年天津卷）从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)| |x|<11且|y|<9}内的椭圆个数为（　　）
A．43 B． 72 C． 86 D． 90

5．（2005年山东卷）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

6．（2006年江苏苏南八校）已知点P是抛物线上的动点，定点A（0，－1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是 .
7．一辆卡车高3米，宽1 6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小整数值是　　　　　　　
8．（2005年山东卷）设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率.
9．（2005年江西卷）以下同个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线有相同的焦点.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）

10．（2006年北京朝阳区）已知椭圆的中心在坐标原点O，一条准线的方程是，过椭圆的左焦点F，且方向向量为的直线l交椭圆于A、B两点，AB的中点为M。
（I）求直线OM的斜率（用a、b表示）；
（II）直线AB与OM的夹角为α，当时，求椭圆的方程。

11. 如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求λ的取值范围

12. （2007年常州）设,常数a＞0,定义运算“：”；
“：”.
(1)若x≥0,求动点P( x, )的轨迹C的方程；
(2)已知直线l: y =+1与（1）中的轨迹C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，
若= 8,试求a的值；
(3)P(x,y)是平面上任意一点,定义d1(P)=,d2(P)= ,在轨迹C上是否存在两点A1,A2,使其满足d1(Ak)=(k=1,2),若存在，请求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.

[仿真训练]
一． 选择题
1. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是( )
（A） 　　　　　（B） 　　　　（C） 　　　（D）
2．命题p：若a、b∈R， |a|+|b|>1 则 |a+b|>1．
命题q：等轴双曲线中．
则以上两个命题中（　　）
（A）“p或q”为假 （B）“p且q”为真 （C）p真q假 （D）p假q真

3．设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点．若，则＝
（A）或． (B)． (C)． (D)．
4．已知椭圆，则它的离心率与准线方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5．若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是( )
A B C D
6．若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为( )
A． B. C. D.

7．已知二面角的平面角为，PA，PB，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱的距离为别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的

A B C D
8．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积是（　　　）
A．12　　　　　　　　B．14　　　　　　C．16　　　　　　D．18
9．（2006年湖北联考）无论m为任何实数，直线与双曲线 (b>0)恒有公共点，则双曲线C的离心率e的取值范围是　　　　　　　　（　　　）
A．(1,+∞) B． C． D．(2,+∞)
10．（2006年江南十校）已知椭圆有相同的焦点（－c，0）和（c，0），若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知点，又是曲线上的点，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
12．若方程表示椭圆，则的取值范围是
（A）． (B) ．
(C) ． (D) ．
二．填空题
13．若直线与抛物线的两个交点都在第二象，则k的取值范围是______________.
14．已知抛物线上两点关于直线对称，且，那么的值为______________________.
15．若焦点在轴上的椭圆上有一点，使它与两焦点的连线互相垂直，则正数的取值范围是_______________
16．为抛物线上的一个动点，连结原点与动点，以为边作正方形，则动点的轨迹方程为　　　　　　　　。
三．解答题
17．(2007年海南样题)已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，－3）
（1）求椭圆C的方程；
（2）若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ且点P的坐标为（），求点Q的坐标。

18．(2007年山东省样题)（I）已知椭圆C的方程是，设斜率为的直线，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M. 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；
（Ⅱ）利用（I）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.

19．（2006年上海春卷）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

20．已知双曲线两焦点，其中为的焦点，两点A (-3,2) B (1,2)都在双曲线上，
（1）求点的坐标；
（2）求点的轨迹方程；
（3）若直线与的轨迹方程有且只有一个公共点，求实数 t的取值范围。

21．（2006年江苏卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，－2），点C满足 、
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于，求双曲线实轴长的取值范围.

22．（2006年上海市高三调研卷）在等差数列中，＝－14，－＝－14，其中是数列的前项之和，曲线的方程是＋＝1，直线的方程是
＝＋3．
（1）求数列的通项公式；（2）判断与的位置关系；
（3）当直线与曲线相交于不同的两点，时，令＝，求的最小值．