常微分方程习题(14).doc

常微分期末试卷(20)

一． 填空
1． 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。
2． 称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x),则经过变换 ，可化为伯努利方程。
3．若（x）为毕卡逼近序列的极限，则有 （x）—
。
4．若（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的n 个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程 。
5．若（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为 。
6．如果A(t)是n×n矩阵，f(t)是n维列向量，则它们在 atb上满足
时，方程组 xˊ= A(t) x+ f(t)满足初始条件x（t）=的解在atb上存在唯一。
7．若（t）和（t）都是xˊ= A(t) x的 基解矩阵，则（t）与（t）具有关系：
。
8．若（t）是常系数线性方程组的 基解矩阵,则该方程满足初始条件的解=_____________________
9.满足 _________________________________________的点（），称为方程组的奇点。
10．当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部__________________________ 时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _______________________ 。
二．计算题（60分）
1．

2．

3．求方程经过（0，0）的第三次近似解

4．

5．若试求方程组的解并求expAt

6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.

三.证明题(10分)
设及连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.

答案
一. 填空
1.
2. 3.
4. 5. 6． A(t) f(t)连续
7． 8。
9．中X(x,y)=0,Y(x,y)=0 10.为0 稳定中心
二．计算题
1． 解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得
所以解为
即另外y=0也是解
2． 解：方程可化为令则有（*）
（*）两边对y求导：
即由得即将y代入（*）即方程的 含参数形式的通解为： p为参数
又由得代入（*）得：也是方程的解 3．解：
4． 线性方程的特征方程故特征根
是特征单根，原方程有特解代入原方程A=- B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程 B=0
所以原方程的解为
5． 解：解得此时 k=1

由公式expAt= 得

6． 解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则
因为=1+1 0故有唯一零解（0，0）
由得故（3，-2）为稳定焦点。
三．证明题
证明：1 若该方程为线性方程则有（*）此方程有积分因子 只与x有关
2 若该方程有只与x有关的积分因子则 为恰当方程,从而 其中于是方程化为
即方程为一阶线性方程.-