2019届普通高等学校招生全国统一考试数学模拟.doc

2019届普通高等学校招生全国统一考试模拟卷
文科数学
本卷满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则(　　)
A.A⫋B B.B⫋A C.A=B D.A∩B=⌀
2.复数z=-3+i2+i的共轭复数是(　　)
A.2+i B.2-I C.-1+i D.-1-i
3.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=12x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为(　　)
A.-1 B.0 C.12 D.1
4.设F1、F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为(　　)
A.12 B.23 C.34 D.45
5.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是(　　)
A.(1-3,2) B.(0,2) C.(3-1,2) D.(0,1+3)
6.如果执行如图的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,aN,输出A,B,则(　　)

A.A+B为a1,a2,…,aN的和
B.A+B2为a1,a2,…,aN的算术平均数
C.A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数
D.A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(　　)

A.6 B.9 C.12 D.18
8.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为2,则此球的体积为(　　)
A.6π B.43π C.46π D.63π
9.已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=(　　)
A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4
10.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=43,则C的实轴长为(　　)
A.2 B.22 C.4 D.8
11.当0<x≤12时,4x<logax,则a的取值范围是(　　)
A.0,22 B.22,1 C.(1,2) D.(2,2)
12.数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为(　　)
A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为　　　　. 
14.等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=　　　　. 
15.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=　　　　. 
16.设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　. 
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=3asin C-ccos A.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为3,求b,c.

18.(本小题满分12分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;
(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10

(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;
(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.

19.(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=12AA1,D是棱AA1的中点.
(Ⅰ)证明:平面BDC1⊥平面BDC;
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

20.(本小题满分12分)
设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(Ⅰ)若∠BFD=90°,△ABD的面积为42,求p的值及圆F的方程;
(Ⅱ)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.

21.(本小题满分12分)
设函数f(x)=ex-ax-2.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0,求k的最大值.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)
选修4—1:几何证明选讲
如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:
(Ⅰ)CD=BC;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD.

23.(本小题满分10分)
选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是x=2cosφ,y=3sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为2,π3.
(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;
(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.

24.(本小题满分10分)
选修4—5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

答案详解
一、选择题
1.B　A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则B⫋A,故选B.
评析　本题考查了集合的关系以及二次不等式的解法.
2.D　z=-3+i2+i=(-3+i)(2-i)(2+i)(2-i)=-5+5i5=-1+i,z=-1-i,故选D.
评析　本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.
3.D　所有点均在直线上,则样本相关系数最大即为1,故选D.
评析　本题考查了线性回归,掌握线性回归系数的含义是解题关键,本题易错选C.
4.C　设直线x=32a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=32a-c,∴32a-c=12×2c,e=ca=34,故选C.
评析　本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要.
5.A　由题意知区域为△ABC(不含边界).

当直线-x+y-z=0过点C(1+3,2)时,zmin=1-3;
当过点B(1,3)时,zmax=2.故选A.
评析　本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的思想.正确理解直线的斜率、截距的几何意义是求解的关键.
6.C　不妨令N=3,a1<a2<a3,则有k=1,A=a1,B=a1;x=a2,A=a2;x=a3,A=a3,故输出A=a3,B=a1,选C.
评析　本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.
7.B　由三视图可得,该几何体为三棱锥S-ABC,其中底面△ABC为等腰三角形,底边AC=6,AC边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=13×12×6×3×3=9.故选B.

评析　本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.
8.B　如图,设平面α截球O所得圆的圆心为O1,则|OO1|=2,|O1A|=1,∴球的半径R=|OA|=2+1=3.
∴球的体积V=43πR3=43π.故选B.

评析　本题考查了球的基础知识,利用勾股定理求球的半径是关键.
9.A　由题意得2πω=254π-π4,∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),则π4+φ=kπ+π2(k∈Z),φ=kπ+π4(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=π4,故选A.
评析　本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.
10.C　由题意可得A(-4,23).
∵点A在双曲线x2-y2=a2上,∴16-12=a2,a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.

评析　本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.
11.B　易知0<a<1,则函数y=4x与y=logax的大致图象如图,则只需满足loga12>2,解得a>22,故选B.

评析　本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.
12.D　当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1,
当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,
∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,∴a2k-1=a2k+3,
∴a1=a5=…=a61.
∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)=30×(3+119)2=30×61=1 830.
评析　本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.
二、填空题
13.答案　y=4x-3
解析　y'=3ln x+1+x·3x=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.
评析　本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.
14.答案　-2
解析　由S3+3S2=0得4a1+4a2+a3=0,有4+4q+q2=0,解得q=-2.
评析　本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.
15.答案　32
解析　把|2a-b|=10两边平方得4|a|2-4|a|·|b|·cos 45°+|b|2=10.
∵|a|=1,∴|b|2-22|b|-6=0.
∴|b|=32或|b|=-2(舍去).
评析　本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为数量问题是求解的关键.
16.答案　2
解析　f(x)=x2+1+2x+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,令g(x)=2x+sinxx2+1,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.
评析　本题考查了函数性质的应用,运用了奇函数的值域关于原点对称的特征,考查了转化与化归的思想方法.
三、解答题
17.解析　(Ⅰ)由c=3asin C-c·cos A及正弦定理得3·sin A·sin C-cos A·sin C-sin C=0.
由于sin C≠0,所以sinA-π6=12.
又0<A<π,故A=π3.
(Ⅱ)△ABC的面积S=12bcsin A=3,故bc=4.
而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.
解得b=c=2.
评析　本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想,灵活利用正、余弦定理是求解关键,正确的转化是本题的难点.
18.解析　(Ⅰ)当日需求量n≥17时,利润y=85.
当日需求量n<17时,利润y=10n-85.
所以y关于n的函数解析式为
y=10n-85,　　n<17,85,n≥17(n∈N).
(Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为1100(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4.
(ii)利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.
评析　本题考查概率统计,考查运用样本频率估计总体概率及运算求解能力.
19.解析　(Ⅰ)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.
由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.
又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.
又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.
(Ⅱ)设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1.
由题意得V1=13×1+22×1×1=12.
又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.
故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.
评析　本题考查了线面垂直的判定,考查了体积问题,同时考查了空间想象能力,属中档难度.
20.解析　(Ⅰ)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=2p.
由抛物线定义可知A到l的距离d=|FA|=2p.
因为△ABD的面积为42,所以12|BD|·d=42,即12·2p·2p=42,
解得p=-2(舍去),p=2.
所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8.
(Ⅱ)因为A,B,F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.
由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,
所以∠ABD=30°,m的斜率为33或-33.
当m的斜率为33时,由已知可设n:y=33x+b,代入x2=2py得x2-233px-2pb=0.
由于n与C只有一个公共点,故Δ=43p2+8pb=0.
解得b=-p6.
因为m的截距b1=p2,|b1||b|=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.
当m的斜率为-33时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.
评析　本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.
21.解析　(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=ex-a.
若a≤0,则f '(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,
所以, f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增.
(Ⅱ)由于a=1,所以(x-k)f '(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.
故当x>0时,(x-k)f '(x)+x+1>0等价于k<x+1ex-1+x(x>0).①
令g(x)=x+1ex-1+x,则g'(x)=-xex-1(ex-1)2+1=ex(ex-x-2)(ex-1)2.
由(Ⅰ)知,函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).
当x∈(0,α)时,g'(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α).
又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).
由于①式等价于k<g(α),故整数k的最大值为2.
评析　本题考查了函数与导数的综合应用,判断出导数的零点范围是求解第(Ⅱ)问的关键.
22.证明　(Ⅰ)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.
又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CD=AF.
因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.

(Ⅱ)因为FG∥BC,故GB=CF.
由(Ⅰ)可知BD=CF,所以GB=BD.
而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.
评析　本题考查了直线和圆的位置关系,处理好平行的关系是关键.
23.解析　(Ⅰ)由已知可得A2cosπ3,2sinπ3,
B2cosπ3+π2,2sinπ3+π2,
C2cosπ3+π,2sinπ3+π,
D2cosπ3+3π2,2sinπ3+3π2,
即A(1,3),B(-3,1),C(-1,-3),D(3,-1).
(Ⅱ)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].
评析　本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法,正确“互化”是关键,难点是建立函数S=f(φ).
24.解析　(Ⅰ)当a=-3时,
f(x)=-2x+5,　　　x≤2,1,2<x<3,2x-5,x≥3.
当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;
当2<x<3时, f(x)≥3无解;
当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.
(Ⅱ)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.
当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|
⇔4-x-(2-x)≥|x+a|
⇔-2-a≤x≤2-a.
由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[-3,0].
评析　本题考查了含绝对值不等式的解法,运用零点法分类讨论解含绝对值的不等式,考查了运算求解能力.