北京市西城区高三数学上学期期末考试试题-文-新人教B版.doc

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷
高三数学（文科）
2013.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，则（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】，所以，即，选B.
2．复数（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
【解析】,选A.
3．执行如图所示的程序框图，则输出（ ）

（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，不满足条件，输出，选C.
4．函数的零点个数为（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】B
【解析】由，得，令，在坐标系中作出两个函数的图象，由图象可知交点为一个，即函数的零点个数为1个，选B.
5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为直角梯形ABCD.其中,所以四棱锥的体积为，选C.
6．过点作圆的两条切线，，为切点，则（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】设切线斜率为，则切线方程为，即，圆心到直线的距离，即，所以，，,所以，选D
7．设等比数列的公比为，前项和为．则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，显然不成立。由得，即，所以。若，则，满足。当时，满足，但，所以“”是“”的充分而不必要条件，选A.
8．已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：
①； ②； ③．
其中，具有性质的函数的序号是（ ）
（A）① （B）③ （C）①② （D）②③
【答案】B
【解析】由题意可知当时，恒成立，若对，有。①若，则由得，平方得，所以不存在常数，使横成立。所以①不具有性质P. ②若，由得，整理，所以不存在常数，对，有成立，所以②不具有性质P。③若，则由得由，整理得，所以当只要，则成立，所以③具有性质P，所以具有性质的函数的序号是③。选B
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知向量，．若向量与共线，则实数______．
【答案】
【解析】因为向量与共线，所以，解得。
10．平行四边形中，为的中点．若在平行四边形内部随机取一点，
则点取自△内部的概率为______．
【答案】
【解析】,根据几何概型可知点取自△内部的概率为，其中为平行四边形底面的高。
11．双曲线的渐近线方程为______；离心率为______．
【答案】，；
【解析】由双曲线的标准方程可知，，所以，。所以双曲线的渐近线方程为，离心率。

12．若函数是奇函数，则______．
【答案】
【解析】因为函数为奇函数，所以，即。
13．已知函数，其中．当时，的值域是______；若的值域是，则的取值范围是______．
【答案】，
【解析】若，则，此时，即的值域是。
若，则，因为当或时，，所以要使的值域是，则有，，即的取值范围是。
14．设函数，集合，且．在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为______．
【答案】
【解析】因为，所以由得，即，它表示以为圆心，半径为的圆面。由得，即，整理得，即或，显然的交点为，且两直线垂直，所以对应平面区域为二分之一个圆周的面积，所以集合所表示的区域的面积为，如图：
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△中，内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求△的面积．

16．（本小题满分13分）
为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至之间．将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．
（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；
（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．

17．（本小题满分14分）
如图，直三棱柱中，，，，分别
为，的中点．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）求证：// 平面；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．

18．（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）若是的一个极值点，求的值；
（Ⅱ）求的单调区间．

19．（本小题满分14分）
如图，，是椭圆的两个顶点．，直线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线平行于，与轴分别交于点，与椭圆相交于．证明：△的面积等于△的面积．

20．（本小题满分13分）
如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且．记为所有这样的数表构成的集合．
对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令．
（Ⅰ）对如下数表，求的值；

（Ⅱ）证明：存在，使得，其中；
（Ⅲ）给定为奇数，对于所有的，证明：．

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2013.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B； 2．A； 3．C； 4．B； 5．C； 6．D； 7．A； 8．B．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．； 10．； 11．，；
12．； 13．，； 14．．
注：11、13题第一空2分，第二空3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由已知得 ， ………………2分
即 ．
解得 ，或． ………………4分
因为 ，故舍去． ………………5分
所以 ． ………………6分
（Ⅱ）解：由余弦定理得 ． ………………8分
将，代入上式，整理得．
因为 ，
所以 ． ………………11分
所以 △的面积． ………………13分

16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第，，组的学生人数之比为． …………2分
所以，每组抽取的人数分别为：
第组：；第组：；第组：．
所以从，，组应依次抽取名学生，名学生，名学生． ………………5分
（Ⅱ）解：记第组的位同学为，，；第组的位同学为，；第组的位同学为． ………………6分
则从位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：
，共种可能． ………………10分
其中，
这11种情形符合2名学生不在同一组的要求． ………………12分
故所求概率为． ………………13分

17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连接．
因为 是直三棱柱，
所以 平面， ………………1分
所以 ． ………………2分
因为 ， 所以 平面． ………………3分
因为 ，，
所以 ． ………………4分
（Ⅱ）证明：取中点，连接，． ………………5分
在△中，因为 为中点，所以，．
在矩形中，因为 为中点，所以，．
所以 ，．
所以 四边形为平行四边形，所以 ． ………………7分
因为 平面，平面， ………………8分
所以 // 平面． ………………9分
（Ⅲ）解：线段上存在点，且为中点时，有平面． ………11分
证明如下：连接．
在正方形中易证 ．
又平面，所以 ，从而平面．…………12分
所以 ． ………………13分
同理可得 ，所以平面．
故线段上存在点，使得平面． ………………14分

18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：． ………………2分
依题意，令，得 ． ………………4分
经检验，时符合题意． ………………5分（Ⅱ）解：① 当时，．
故的单调减区间为，；无单调增区间． ………………6分
② 当时，．
令，得，． ………………8分
和的情况如下：

↘

↗

↘
故的单调减区间为，；单调增区间为．
………………11分
③ 当时，的定义域为．
因为在上恒成立，
故的单调减区间为，，；无单调增区间．
………………13分

19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，得 ………………2分
解得 ，． ………………3分
所以 椭圆的方程为． ………………4分
（Ⅱ）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，
整理得
． ………………6分
设，．
所以 ………………8分
证法一：记△的面积是，△的面积是．
由，，
则． ………………10分
因为 ，
所以 ， ………………13分
从而． ………………14分
证法二：记△的面积是，△的面积是．
则线段的中点重合． ………………10分
因为 ，
所以 ，．
故线段的中点为．
因为 ，，
所以 线段的中点坐标亦为． ………………13分
从而． ………………14分

20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：，；，，
所以． ………………3分
（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表：，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
将数表中的由变为，得到数表，显然．
依此类推，将数表中的由变为，得到数表．
即数表满足：，其余．
所以 ，．
所以 ，其中．……………7分
【注：数表不唯一】
（Ⅲ）证明：用反证法．
假设存在，其中为奇数，使得．
因为， ，
所以，，，，，，，这个数中有个，个．
令．
一方面，由于这个数中有个，个，从而． ①
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而． ②
①、②相互矛盾，从而不存在，使得．
即为奇数时，必有． ………………13分

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