2013年高三数学二轮复习-专题一第二讲-复数、平面向量、程序框图与推理教案-理.doc

第二讲　复数、平面向量、程序框图与推理
研热点（聚焦突破）
类型一 复数
(1)共轭复数
复数z＝a＋bi的共轭复数为z＝a－bi.
(2)复数的模
复数z＝a＋bi的模|z|＝.
(3)复数相等的充要条件
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈ R)．
特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．
[例1]　(1)(2012年高考天津卷)i是虚数单位，复数＝(　　)
A．1－i　　　　　　　B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
(2)(2012年高考江西卷)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z 是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．－2
[解析]　(1)利用复数的乘法、除法法则求解．
＝＝＝1＋i.
(2)利用复数运算法则求解．
∵z＝1＋i，∴z＝1－i，z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
[答案]　(1)C　(2)A

跟踪训练
1．(2012年广州模拟)设复数z1＝1－3i，z2＝3－2i，则 在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为 ＝＝＝，
在复平面内对应的点为(，－)，在第四象限，选D.
答案：D
2．(2012年高考陕西卷)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：直接法．
∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，
而ab＝0时有a＝0或b＝0，
∴由a＝0，b≠0⇒ab＝0，反之不成立．
∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．
答案：B
类型二 平面向量
1．平面向量的线性运算法则
(1)三角形法则；
(2)平行四边形法则．
2．向量共线的条件
存在两非零向量a，b，则
(1)若a，b共线，则存在λ∈R，b＝λa.
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0.
3．向量垂直的条件
(1)已知非零向量a，b，且a与b垂直，则a·b＝0.
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0.
4．夹角与模
(1)设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，则
①cos θ＝；
②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则cos θ＝.
(2)若a＝(x，y)，则|a|＝ .
[例2]　(1)(2012年高考课标全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
(2)(2012年高考江苏卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

[解析]　(1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解．
∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|，
|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.

[答案] (1)3　(2)

跟踪训练
已知A(－3，0)、B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝，且∠AOC＝，
设＝ (∈R)，则的值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝，知|OE|＝|CE|＝2，所以＝＋＝，即＝λ，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.
答案：D

类型三 算法与程序框图
1．算法的三种基本逻辑结构：顺序结构，条件结构，循环结构．
2．循环结构一定包含条件结构．
[例3]　(1)(2012年高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(　　)
A．8 B．18
C．26 D．80

(2)(2012年高考陕西卷)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入(　　)

A．P＝ B．P＝ C．P＝ D．P＝

[解析]　(1)按照循环条件，逐次求解判断．
运行一次后S＝0＋3－30＝2，运行两次后S＝2＋32－3＝8，运行三次后S＝8＋33－32＝26，此时n＝4，输出S.
(2)采用几何概型法．
∵xi，yi为0~1之间的随机数，构成以1为边长的正方形面，
当＋≤1时，点(xi，yi)均落在以原点为圆心，以1为半径且在第一象限的 圆内，当 ＋>1时对应点落在阴影部分中(如图所示)．
∴有，N＝4M－M，π(M＋N)＝4M，π＝ .
[答案]　(1)C　(2)D

跟踪训练
(2012年洛阳模拟)如果执行如图所示的程序框图，则运行结果为(　　)

A． B．－1 C. D．2
解析：第一次循环：s＝，i＝2；
第二次循环：s＝－1，i＝3；
第三次循环：s＝2，i＝4；…易知当i＝2 012时输出s，
因为循环过程中s的值呈周期性变化，周期为3，又2 012＝670×3＋2，
所以运行结果与i＝2时输出的结果一致，故输出s＝.
答案：C

类型四 合情推理
1．类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．
2．归纳推理的一般步骤
(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠．
[例4]　(2012年高考陕西卷)观察下列不等式
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
……
照此规律，第五个不等式为________________．
[解析]　归纳观察法．
观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
∴第五个不等式为
[答案]

跟踪训练
(2012年南昌市一中月考)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a，b，c，则由勾股定理有：a2＋b2＝c2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．

解析：由图可得S1＝OM·ON，S2＝OL·ON，
S3＝OM·OL，
S4＝ML·NL·sin ∠MLN
＝ML·NL·
＝ML·NL·
＝· .
∵OM2＋ON2＝MN2，
OM2＋OL2＝ML2，
OL2＋ON2＝LN2，
∴S4＝，
∴ S＋S＋S＝S.
答案：S＋S＋S＝S.
析典题（预测高考）
高考真题
【真题】　(2012年高考安徽卷)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a· b的最小值是________．
【解析】　利用向量减法的三角形法则及数量积的运算公式求解．
由向量减法的三角形法则知，当a与b共线且反向时，|2a－b|的最大值为3.此时设a＝λb(λ<0)，则|2a－b|＝|2b－b|＝3，
又由a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉，知
当a与b共线且反向时，a·b最小．
有：a·b＝|a|·|b|·cos
＝－＝＝
≥－(当且仅当λ＝－时取“＝”)，
∴a·b的最小值为－.
【答案】　－
【名师点睛】　本题考查了向量减法的三角形法则、数量积的运算公式及利用均值不等式求最值．其解题的关键是将a·b表示为λ的函数，再根据函数结构变形求最值．
考情展望
高考对平面向量的考查灵活多变，多以选择题、填空题形式出现，主要涉及平面向量的线性运算与数量积的运算，有时综合三角不等式、最值等问题
名师押题
【押题】　在边长为1的正三角形ABC中，＝x，＝y，x>0，y>0，且x＋y＝1，则 · 的最大值为(　　)
【解析】　建立如图所示的直角坐标系，则 A(－，0)，B(，0)，C(0，),

设D(x1，0)，E(x2，y2)，

【答案】　D

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