广州市白云区2017年中考一模数学试题及答案.doc

广州市白云区2017年初中毕业班综合测试数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间为120分钟．
注意事项：
1.答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号，再用2B铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
１．－的相反数是（＊）
（Ａ）　　　（Ｂ）２　　　（Ｃ）－０.５　　　（Ｄ）－２
２．下列各种图形中，可以比较大小的是（＊）
（Ａ）两条射线　　（Ｂ）两条直线　　（Ｃ）直线与射线　　（Ｄ）两条线段
３．下列代数式中，是４次单项式的为（＊）
（Ａ）　　（Ｂ）－　　（Ｃ）　　（Ｄ）
４．已知一组数据：５，７，４，８，６，７，２，则它的众数及中位数分别为（＊）
（Ａ）７，８　（Ｂ）７，６　（Ｃ）６，７　（Ｄ）７，４
５．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（＊）
（Ａ）－１＝０　（Ｂ）＝０　（Ｃ）＋４＝０　（Ｄ）－＋３＝０
６．平面内三条直线、、，若⊥，⊥，则直线、的位置关系是（＊）
（Ａ）垂直　　　（Ｂ）平行　　　（Ｃ）相交　　　（Ｄ）以上都不对
７．某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是９３分，其中数学９７分，化学８９分，那么物理成绩是（＊）
A
B
C
D
E
F
O
1
2
图1
（Ａ）９１分　　（Ｂ）９２分　　（Ｃ）９３分　　（Ｄ）９４分
８．如图１，直线ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为点Ｏ，直线ＥＦ经过点Ｏ，若∠１＝２６°，则∠２的度数是（＊）
（Ａ）２６°　　　（Ｂ）６４°
（Ｃ）５４°　　　（Ｄ）以上答案都不对

９．在反比例函数＝的图象上有两点Ａ（，），Ｂ（，），当＜０＜时，有＜，则的取值范围是（＊）
（Ａ）＞０　　　（Ｂ）＜０　　　（Ｃ）＞　　　（Ｄ）＜
α
A
B
C
D
图2
↓
↑
1
１０．如图２，两条宽度都是１的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为（＊）
（Ａ）　　　（Ｂ）　　　（Ｃ）tanα　　　（Ｄ）１

第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
１１．如图３，点Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的边ＡＣ、ＢＣ上的点，ＡＤ＝ＤＥ，ＡＢ＝ＢＥ，∠Ａ＝８０°，则∠ＢＥＤ＝　　＊　　°．
１２．△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ都是锐角，且sinＡ＝cosＢ＝，则△ＡＢＣ是＊　三角形．
１３．若＝，则＝　　＊　　．
１４．已知，如图４，△ＡＢＣ中，∠Ａ＋∠Ｂ＝９０°，ＡＤ＝ＤＢ，ＣＤ＝４，则ＡＢ＝　　＊　　．
１５．化简：＝　　＊　　．
１６．如图５，点Ｃ、Ｄ在线段ＡＢ上，且ＣＤ是等腰直角△ＰＣＤ的底边．当△ＰＤＢ∽△ＡＣＰ时（Ｐ与Ａ、Ｂ与Ｐ分别为对应顶点），∠ＡＰＢ＝　　＊　　°．
A
B
C
D
图4
A
B
C
D
E
图3

C
B
D
P
A
图5

三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
１７．（本小题满分９分）
解方程组：

１８．（本小题满分９分）
如图６，ＡＣ是菱形ＡＢＣＤ的对角线，点Ｅ、Ｆ分别在边ＡＢ、ＡＤ上，且ＢＥ＝ＤＦ．

O
图7
A
B
C
－2
4
求证：△ＡＣＥ≌△ＡＣＦ．
A
B
C
D
E
F
图6

１９．（本小题满分１０分）
在一个纸盒里装有四张除数字以外完全相同卡片，四张卡片上的数字分别为１，２，３，４．先从纸盒里随机取出一张，记下数字为，再从剩下的三张中随机取出一张，记下数字为，这样确定了点Ｐ的坐标（，）．
（１）请你运用画树状图或列表的方法，写出点Ｐ所有可能的坐标；
（２）求点Ｐ（，）在函数＝－＋４图象上的概率．

２０．（本小题满分１０分）
如图７，一条直线分别交轴、轴于Ａ、Ｂ两点，交反比例函数＝（≠０）位于第二象限的一支于Ｃ点，ＯＡ＝ＯＢ＝２．
（１）＝　　＊　　；
（２）求直线所对应的一次函数的解析式；
（３）根据（１）所填的值，直接写出分解因式＋＋７的结果．

２１．（本小题满分１２分）
A
B
C
D
图8
·
E
如图８，△ＡＢＣ中，Ｄ为ＢＣ边上的点，∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ，Ｅ为ＡＢ边的中点．
（１）尺规作图：作∠Ｃ的平分线ＣＦ，交ＡＤ于点Ｆ（保留作图痕迹，不写作法）；
（２）连结ＥＦ，ＥＦ与ＢＣ是什么位置关系？为什么？
（３）若四边形ＢＤＦＥ的面积为９，求△ＡＢＤ的面积．

２２．（本小题满分１２分）
我国实施的“一带一路”战略方针，惠及沿途各国．中欧班列也已融入其中．从我国重庆开往德国的杜伊斯堡班列，全程约１１０２５千米．同样的货物，若用轮船运输，水路路程是铁路路程的１.６倍，水路所用天数是铁路所用天数的３倍，列车平均日速（平均每日行驶的千米数）是轮船平均日速的２倍少４９千米．分别求出列车及轮船的平均日速．

２３．（本小题满分１２分）
如图９，⊙Ｏ的半径ＯＡ⊥ＯＣ，点Ｄ在上，且＝２，ＯＡ＝４．
（１）∠ＣＯＤ＝　　＊　　°；
（２）求弦ＡＤ的长；
（３）Ｐ是半径ＯＣ上一动点，连结ＡＰ、ＰＤ，请求出ＡＰ＋ＰＤ的最小值，并说明理由．
（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）

备用图
图9

２４．（本小题满分１４分）
二次函数＝＋＋的顶点Ｍ是直线＝－和直线＝＋的交点．
（１）若直线＝＋过点Ｄ（０，－３），求Ｍ点的坐标及二次函数＝＋＋的解析式；
（２）试证明无论取任何值，二次函数＝＋＋的图象与直线＝＋总有两个不同的交点；
（３）在（１）的条件下，若二次函数＝＋＋的图象与轴交于点Ｃ，与的右交点为Ａ，试在直线＝－上求异于Ｍ的点Ｐ，使Ｐ在△ＣＭＡ的外接圆上．

２５．（本小题满分１４分）
已知，如图１０，△ＡＢＣ的三条边ＢＣ＝，ＣＡ＝，ＡＢ＝，Ｄ为△ＡＢＣ内一点，且∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＣ＝∠ＣＤＡ＝１２０°，ＤＡ＝，ＤＢ＝，ＤＣ＝．
（１）若∠ＣＢＤ＝１８°，则∠ＢＣＤ＝　　　＊　　　°；
A
B
C
D

图10
（２）将△ＡＣＤ绕点Ａ顺时针方向旋转９０°到△Ａ，画出△Ａ，若∠ＣＡＤ＝２０°，求∠ＣＡ度数；
（３）试画出符合下列条件的正三角形：Ｍ为正三角形内的一点，Ｍ到正三角形三个顶点的距离分别为、、，且正三角形的边长为＋＋，并给予证明．

参考答案及评分建议（2017初三模拟考）
一、选择题
题 号
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
答 案
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ａ

二、填空题
题 号
１１
１２
１３
１４
１５
１６
答 案
８０
直角
６
８
＋＋２
１３５

三、解答题
１７．（本小题满分９分）
解法一（加减消元法）：
①－②，得（＋）－（－）＝－５－７，…………………………３分
即＝－１２，…………………………………………………………………４分
解得＝－２，……………………………………………………………………５分
把＝－２代入②，………………………………………………………………６分
－４×（－２）＝７，…………………………………………………………７分
得＝－１，………………………………………………………………………８分
∴原方程组的解为．……………………………………………………９分
［若用②－①、①×２＋②等，均参照给分］

解法二（代入消元法）：
由①得，＝－－５　　　③，……………………………………………３分
把③式代入②式，…………………………………………………………………４分
得（－－５）－＝７，……………………………………………………５分
解得＝－２，……………………………………………………………………６分
把＝－２代入③式，……………………………………………………………７分
＝－２×（－２）－５＝－１，………………………………………………８分
∴原方程组的解为．……………………………………………………９分
［由②式变形代入，均参照给分］
１８．（本小题满分９分）
证法一：
∵四边形ＡＢＣＤ为菱形，∴ＡＢ＝ＡＤ，∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ，………………２分
又∵ＢＥ＝ＤＦ，∴ＡＢ－ＢＥ＝ＡＤ－ＤＦ，……………………………………４分
即ＡＥ＝ＡＦ．…………………………………………………………………………５分
在△ＡＣＥ和△ＡＣＦ中，
∵，…………………………………………………………………８分
∴△ＡＣＥ≌△ＡＣＦ（ＳＡＳ）．……………………………………………………９分
证法二：
∵四边形ＡＢＣＤ为菱形，∴ＢＣ＝ＤＣ，∠Ｂ＝∠Ｄ，…………………………１分
在△ＢＣＥ和△ＤＣＦ中，
∵，…………………………………………………………………………２分
∴△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（ＳＡＳ），……………………………………………………３分
∴ＣＥ＝ＣＦ．…………………………………………………………………………４分
∵ＡＢ＝ＡＤ，ＢＥ＝ＤＦ，ＡＢ－ＢＥ＝ＡＤ－ＤＦ，…………………………５分
即ＡＥ＝ＡＦ．…………………………………………………………………………６分
在△ＡＣＥ和△ＡＣＦ中，
∵，…………………………………………………………………………８分
∴△ＡＣＥ≌△ＡＣＦ（ＳＳＳ）．……………………………………………………９分

１９．（本小题满分１０分）
解：（１）
树状图如下：
1
2
3
4
2
1
3
4
3
1
2
4

4
1
2
3

……………………………５分

点Ｐ所有可能的坐标有：（１，２），（１，３），（１，４），
（２，１），（２，３），（２，４），（３，１），（３，２），
（３，４），（４，１），（４，２），（４，３）共１２种；……………………７分

列表如下：

（1,2）
（1,3）
（1,4）
（2,1）

（2,3）
……………………………７分
（2,4）
（3,1）
（3,2）

（3,4）
（4,1）
（4,2）
（4,3）

（注：树形图或列表二者取其一）

（２）∵共有１２种等可能的结果，
其中在函数＝－＋４图象上的点有２个（２种），………………………１分
即（１，３），（３，１），
∴点Ｐ（，）在函数＝－＋４图象上的概率为：
Ｐ（点在图象上）＝＝．…………………………………………………３分

２０．（本小题满分１０分）
解：（１）－８；…………………………………………………………………２分
（２）∵ＯＡ＝ＯＢ＝２，∴Ａ、Ｂ点的坐标
分别为Ａ（２，０）、Ｂ（０，２）．……………………………………………２分
设直线所对应的一次函数的解析为＝＋，……………………………３分
分别把Ａ、Ｂ的坐标代入其中，得
，……………………………………………………………………４分
解得，…………………………………………………………………５分
∴一次函数的解析为＝－＋２；
（３）由（１）＝－８，
则＋＋７＝－＋７
＝（－１）（－７）．……………………………………３分

２１．（本小题满分１２分）
解：（１）尺规作图略；…………………………………………………………３分
（２）ＥＦ∥ＢＣ（即ＥＦ平行于ＢＣ）．……………………………………１分
原因如下：如图１，∵∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ，
∴ＡＣ＝ＤＣ（等角对等边），即△ＣＡＤ为等腰三角形；…………………２分
又ＣＦ是顶角∠ＡＣＤ的平分线，由“三线合一”定理，
知ＣＦ是底边ＡＤ的中线，即Ｆ为ＡＤ的中点，……………………………３分
结合Ｅ是ＡＢ的中点，得ＥＦ为△ＡＢＤ的中位线，………………………４分
∴ＥＦ∥ＢＤ，从而ＥＦ∥ＢＣ；……………………………………………５分
（３）由（２）知ＥＦ∥ＢＣ，∴△ＡＥＦ∽△ＡＢＤ，…………………１分
∴，……………………………………………………………２分
又∵ＡＥ＝ＡＢ，∴得，
把Ｓ四边形ＢＤＦＥ＝９代入其中，解得
Ｓ△ＡＥＦ＝３，………………………………………………………………………３分
∴Ｓ△ＡＢＤ＝Ｓ△ＡＥＦ＋Ｓ四边形ＢＤＦＥ＝３＋９＝１２，……………………………４分
即△ＡＢＤ的面积为１２．
A
B
C
D
E
F
图1

２２．（本小题满分１２分）
解：设轮船的日速为千米／日，…………………………………………………１分
由题意，得×３＝，…………………………………………７分
解此分式方程，得＝３９２，……………………………………………………９分
经检验，＝３９２是原分式方程的解，………………………………………１０分
－４９＝７３５．……………………………………………………………１１分
答：列车的速度为７３５千米／日；轮船的速度为３９２千米／日．………１２分

２３．（本小题满分１２分）
解：（１）３０；……………………………………………………………………１分
（２）连结ＯＤ、ＡＤ（如图２）．
∵ＯＡ⊥ＯＣ，∴∠ＡＯＣ＝９０°．∵＝２，
设所对的圆心角∠ＣＯＤ＝，………………………………………………１分
则∠ＡＯＤ＝，…………………………………………………………………２分
由∠ＡＯＤ＋∠ＤＯＣ＝９０°，
得＋＝９０°，∴＝３０°，＝６０°，…………………………３分
即∠ＡＯＤ＝６０°，又∵ＯＡ＝ＯＤ，∴△ＡＯＤ为等边三角形，…………４分
∴ＡＤ＝ＯＡ＝４；…………………………………………………………………５分
（３）过点Ｄ作ＤＥ⊥ＯＣ，交⊙Ｏ于点Ｅ，……………………………………１分
连结ＡＥ，交ＯＣ于点Ｐ（如图３），………………………………………………２分
则此时，ＡＰ＋ＰＤ的值最小．
∵根据圆的对称性，点Ｅ是点Ｄ关于ＯＣ的对称点，
ＯＣ是ＤＥ的垂直平分线，即ＰＤ＝ＰＥ．………………………………………３分
∴ＡＰ＋ＰＤ＝ＡＰ＋ＰＥ＝ＡＥ，
若在ＯＣ上另取一点Ｆ，连结ＡＦ、ＦＤ及ＥＦ，
在△ＡＦＥ中，ＡＦ＋ＦＥ＞ＡＥ，
即ＡＦ＋ＦＥ＞ＡＰ＋ＰＤ，
∴可知ＡＰ＋ＰＤ最小．…………………………………………………………４分
∵∠ＡＥＤ＝∠ＡＯＤ＝３０°，
又∵ＯＡ⊥ＯＣ，ＤＥ⊥ＯＣ，∴ＯＡ∥ＤＥ，
∴∠ＯＡＥ＝∠ＡＥＤ＝３０°．
延长ＡＯ交⊙Ｏ于点Ｂ，连结ＢＥ，∵ＡＢ为直径，
∴△ＡＢＥ为直角三角形．由＝cos∠ＢＡＥ，……………………………５分
得ＡＥ＝ＡＢ·cos３０°＝２×４×＝，……………………………６分
即ＡＰ＋ＰＤ＝，
［也可利用勾股定理求得ＡＥ］

图3
图2

２４．（本小题满分１４分）
解：（１）把Ｄ（０，－３）坐标代入直线＝＋中，
得＝－３，从而得直线＝－３．……………………………………………１分
由Ｍ为直线＝－与直线＝－３的交点，
得，………………………………………………………………………２分
解得，∴得Ｍ点坐标为Ｍ（２，－１）．…………………………………３分
∵Ｍ为二次函数＝＋＋的顶点，∴其对称轴为＝２，
由对称轴公式：＝－，得－＝２，∴＝－４；
由＝－１，得＝－１，得＝３．
∴二次函数＝＋＋的解析式为：＝－４＋３；………………４分
［也可用顶点式求得解析式：由Ｍ（２，－１），
得＝－１，展开得＝－４＋３］
（２）∵Ｍ是直线＝－和＝＋的交点，得，
解得，∴得Ｍ点坐标为Ｍ（－，）．…………………………１分
从而有－＝－和＝，
解得＝；＝＋．…………………………………………………３分
由，得＋（－１）＋－＝０，……………………４分
该一元二次方程根的判别式
⊿＝（－１）２－４（－）
＝（－１）２－４（＋－）＝１＞０，…………………………５分
∴二次函数＝＋＋的图象与直线＝＋总有两个不同的交点；
（３）解法①：
由（１）知，二次函数的解析式为：＝－４＋３，
当＝０时，＝３．∴点Ｃ的坐标为Ｃ（０，３）．……………………………１分
令＝０，即－４＋３＝０，解得＝１，＝３，
∴点Ａ的坐标为Ａ（３，０）．………………………………………………………２分
由勾股定理，得ＡＣ＝３．∵Ｍ点的坐标为Ｍ（２，－１），
过Ｍ点作轴的垂线，垂足的坐标应为（２，０），由勾股定理，
得ＡＭ＝；过Ｍ点作轴的垂线，垂足的坐标应为（０，－１），
由勾股定理，得ＣＭ＝＝＝２．
∵ＡＣ２＋ＡＭ２＝２０＝ＣＭ２，∴△ＣＭＡ是直角三角形，……………………３分
ＣＭ为斜边，∠ＣＡＭ＝９０°．
直线＝－与△ＣＭＡ的外接圆的一个交点为Ｍ，另一个交点为Ｐ，
则∠ＣＰＭ＝９０°．即△ＣＰＭ为Ｒt△．………………………………………４分
设Ｐ点的横坐标为，则Ｐ（，－）．过点Ｐ作轴垂线，
过点Ｍ作轴垂线，两条垂线交于点Ｅ（如图４），则Ｅ（，－１）．
过Ｐ作ＰＦ⊥轴于点Ｆ，则Ｆ（０，－）．
在Ｒt△ＰＥＭ中，ＰＭ２＝ＰＥ２＋ＥＭ２
＝（－＋１）２＋（２－）２＝－５＋５．
在Ｒt△ＰＣＦ中，ＰＣ２＝ＰＦ２＋ＣＦ２＝＋（３＋）２
＝＋３＋９．在Ｒt△ＰＣＭ中，ＰＣ２＋ＰＭ２＝ＣＭ２，
得＋３＋９＋－５＋５＝２０，
化简整理得５－４－１２＝０，解得＝２，＝－．
当＝２时，＝－１，即为Ｍ点的横、纵坐标．
∴P点的横坐标为－，纵坐标为．
x
y
F
E
M
P
C
O
A
D
图4
∴Ｐ（－，）．……………………………………………………………………５分

解法②［运用现行高中基本知识（解析几何）：线段中点公式及两点间距离公式］：
设线段ＣＭ的中点（即△ＣＭＡ内接圆的圆心）为Ｈ，则由线段中点公式，可求出Ｈ的坐标为Ｈ（１，１）．∵点Ｐ在⊙Ｈ上，∴点Ｐ到圆心Ｈ的距离等于半径．
设点Ｐ的坐标为：Ｐ（，－），由两点间的距离公式，得ＰＨ的长度为：
，从而有：＝，即
＝５，化简，整理，得化简整理得５－４－１２＝０，解得＝２，＝－．当＝２时，＝－１，即为Ｍ点的横、纵坐标．
∴P点的横坐标为－，纵坐标为．
∴Ｐ（－，）．
［对该解法，可相应给分］

２５．（本小题满分１４分）
解：（１）４２；……………………………………………………………………１分
（２）画图如下（如图５）．………………………………………………………３分
∵∠ＤＡ＝９０°，∠ＣＡＤ＝２０°，
∴∠ＣＡ＝∠ＤＡ－∠ＣＡＤ＝９０°－２０°＝７０°；…………５分
A
B
C
D

图5

（３）画图如下：将△ＢＤＣ绕点Ｂ按逆时针方向旋转６０°…………………２分
到△ＢＥＦ的位置（如图６）．
连结ＤＥ，ＣＦ，这样可知△ＢＤＥ和△ＢＣＦ均为等边三角形，
从而ＤＥ＝，ＣＦ＝．
∵∠ＡＤＢ＝１２０°，∠ＢＤＥ＝６０°，即∠ＡＤＥ＝１８０°，
则Ａ、Ｄ、Ｅ三点共线（即该三点在同一条直线上）．……………………………３分
同理，∵∠ＢＥＦ＝∠ＢＤＣ＝１２０°，∠ＢＥＤ＝６０°，
即∠ＤＥＦ＝１８０°，则Ｄ、Ｅ、Ｆ三点共线，
∴Ａ、Ｄ、Ｅ、Ｆ四点均在一条直线上．…………………………………………４分
∵ＥＦ＝ＤＣ＝，∴线段ＡＦ＝＋＋．
以线段ＡＦ为边在点Ｂ一侧作等边△ＡＦＧ（图６），……………………………５分
则△ＡＦＧ即为符合条件的等边三角形，其中的点Ｂ即为点Ｍ．…………………６分
正三角形的边长为＋＋已证，ＢＡ＝，ＢＦ＝ＢＣ＝，
下面再证ＢＧ＝．
∵∠ＣＦＢ＝∠ＡＦＧ＝６０°，
即∠１＋∠ＥＦＢ＝∠２＋∠ＥＦＢ＝６０°，∴∠１＝∠２．
在△ＡＦＣ和△ＧＦＢ中，∵ＦＡ＝ＦＧ，∠１＝∠２，ＦＣ＝ＦＢ，
∴△ＡＦＣ≌△ＧＦＢ（ＳＡＳ），
∴ＡＣ＝ＧＢ，即ＢＧ＝ＣＡ＝．
从而点Ｂ（Ｍ）到等边△ＡＦＧ三个顶点的距离分别为、、，
且其边长为＋＋．………………………………………………………………８分
［注：把△ＡＤＢ绕点Ａ按逆时针方向旋转６０°，
把△ＣＤＡ绕点Ｃ按逆时针方向旋转６０°，
把△ＡＤＣ绕点Ａ按顺时针方向旋转６０°，
把△ＢＣＤ绕点Ｃ按顺时针方向旋转６０°等
均可证得，方法类似］

A
B
C
D

E
F
G
图6
1
2