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中位数的统计意义及计算方法

教学内容：P105—106，例4、例5
例4通过解决“用什么数表示第3组同学的掷沙包水平比较合适”这一问题，引出了中位数的概念。在第一学段，学生已知道用平均数来描述一组数据的总体情况比较方便和适用，但平均数与一组数据中的每个数据都有直接的关系，任意一个数据大小的变化都会对平均数值产生影响。例如本例，因为个别数据偏大，导致平均数不能很好地反映第3组同学掷沙包的一般水平。由此矛盾，就要求我们寻找新的统计量来“弥补”平均数在描述某些数据组时的不足，从而很自然地引入中位数的概念。
例5呈现了几名男生的跳远成绩，并从平均数和中位数两个角度对该数据组进行了分析，结果表明用中位数代表这组成绩的一般水平更合适。针对给定的一组数据，判断某个统计量优劣的标准就是该统计量是否包含了数据组足够多的信息量，是否很好地反映了该组数据的大部分特征，也即该统计量蕴涵了更多的有关该组数据的信息。对例5而言，7名男生跳远成绩的平均数是2.96，中位数是2.89，分析发现有5名男生的成绩都低于平均值，从而说明在这里用平均数来代表该组成绩不太合适，应选用中位数。为让学生更完整地掌握求给定一组数据的中位数的方法，在本例最后，有意将原数据组的7个数据变成了8个，以向学生介绍当一组数据有偶数个数据时中位数的求法。
教学目的：
1. 了解中位数学习的必要性。
2. 知道中位数的含义，特别是其统计意义。
3. 区分中位数与平均数各自的特点和适用范围。
4. 通过对中位数的学习，体会中为数在统计学上的作用。
重点难点：
1. 理解中位数在统计学上的意义，学会求中位数的方法。
2. 体会“平均数”“中位数”各自的特点。
3. 教学时应注意结合学生以熟悉的平均数对比教学，以帮助学生弄清中位数和平均数的联系和区别。
教学方法： 
教学例4时，应把握好以下几个层次：一是引入中位数的必要性；二是定义中位数的概念时，要突出中位数的统计意义；三是阐明中位数与平均数各自的特点和适用范围。
    首先，教师可出示统计表，提出问题：你们觉得第3组同学掷沙包的一般水平应该是多少呢？ 学生可能会估计他们的一般成绩在23～25米之间，然后再让学生算出该组数据的平均数是27.7，从而发现与他们的估计有较大出入，引起学生的认知冲突，然后引导学生发现大多数同学的成绩都低于平均值，说明用平均数来表示第3组同学掷沙包的一般水平不太合适，由此引出中位数。
    教学时应把中位数特点讲清楚，让学生明白：把一组数据按大小顺序排列后，最中间的数据就是中位数，它的优点是不受偏大或偏小数据的影响。如在本例中，因为有两个同学的成绩太高，严重偏离了大多数同学的水平，这时用中位数来表示第3组同学掷沙包的一般水平就比较合适。在教学怎样求中位数时，要强调 “中位”是相对一组数据的数值大小顺序而言的，计算中位数前首先应将该组数据按照大小顺序进行排列，再找出处于最中间位置的数据。
教学例5时，先出示五（2）班7名男生的跳远成绩统计表，让学生根据统计表说说用什么数来代表该组数据比较合适，引导学生从已经学过的两个统计量的角度进行思考。在学生计算中位数时，本例与例4不同之处是统计表中7个数据还没有按大小顺序排列，故应先调整统计表中各数据的位置，使之有序排列，然后再仿例4进行计算。可让学生通过小组讨论的形式来分析平均数和中位数的特点，并引导他们结合本例的实际情况，以做出合理的选择。
学法指导：通过学习，要认识到平均数与中位数都是反映一组数据集中趋势的统计量，但针对具体的一组数据来说，则应根据数据组中各个数据的分布情况，合理选择适当的统计量。如当一组数据中某些数据严重偏大或偏小时，就最好选用中位数来表示该组数据的一般水平。
学生活动：思考交流
教学过程：
一、导入新课
1. 出示揭题。
姓名
李明
陈东
刘云
马刚
王明
张炎
赵丽
成绩/米
36.8
34.7
25.8
24.7
24.6
24.1
23.2
这是一组同学在体育课上掷沙包的成绩统计表，你从这个表中得到哪些信息？
2. 学生交流。
二、新课学习
1. 提问：你可以用一个数来表示这一组的同学掷沙包的水平吗？
生1：大概在23—25米之间。
生2：可以用他们的平均数来表示。
计算平均数得27.7，发现和平均数相差太远。
分析：为什么会出现这样的情况？
观察发现，有两个同学的成绩太高，而大多数同学的成绩都低于平均值，说明用平均数来表示这一组的一般水平不太合适。那用什么样的数合适呢？
2. 认识中位数
中位数：把一组数据按大小顺序排列后，最中间的数据就是中位数，它不受偏大偏小数据的影响。
把掷沙包的成绩数据进行大小排列，找出最中间的数来表示这组同学掷沙包的一般水平。
辨析：中位数是一组数据按大小顺序排列后，最中间的数。
3. 小结
平均数.中位数都是反映一组数据集中趋势的统计量，但当一组数据中某些数据严重偏大或偏小时，最好选用中位数来表示这组数据的一般水平。
4. 教学例5 求一组数据的中位数
出示数据 ，问：用什么数来表示这一组的一般水平？
（1）求平均数
（2）按大小排列（从大到小，从小到大），求中位数。
（3）矛盾：一共有偶数个数最中间的数找不到？
讨论……………..结论：一组数据中有偶数个数的时候，中位数是最中间的两个数的和除以2。
计算出中位数来。
（4）比较用平均数还是中位数合适。
小结：区分平均数.中位数的适用范围。
5. 在上面的数据中如果增加杨东的成绩2.94米，这组数据的中位数是多少？
排列大小，找出中位数。
6. 课内小结
什么叫中位数？和平均数的区别。
三、练习
练习二十三第1--2题。
第1题，教学时，可以先让学生根据7名同学的成绩估一估他们跳绳的一般水平大约应是多少，然后再分别计算出平均数和中位数，比较后发现用中位数140来表示该小组同学跳绳的一般水平合适，因为平均数是144，而7人中有5人的成绩都低于该数值，所以不具有代表性。进一步探究会发现，造成平均数偏大的原因是7人中有一个同学的成绩是172，大大高于该组同学的一般水平，从而抬高了平均数。
    第2题，在本题中，中位数是1/2（15+17）=16，比16小的所有数据与中位数之差的和是7+4+1=12，比16大的所有数据与中位数之差的和是1+5+14=20，因为12＜20，所以中位数就比平均数小。实际教学时，不必在理论上讲得这么深刻和严密，只要学生能理解以下事实就行：如果一组数据中个别数据严重偏大，则往往会抬高平均数，使平均数大于中位数；反之，则会使平均数小于中位数；此外，如果一部分数据严重偏大，而另一部分的数据严重偏小，则通过相互抵消，往往会促使平均数接近中位数。
四、课内小结：通过今天的学习，你有什么收获？
五、课后作业
第3、4题
课后反思：