电子科大量子力学与统计物理第一章讲课稿.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,电子科大 微固学院 李竞春,*,量子力学,Quantum Mechanics,微电子与固体电子学院,（教材：第,1 4,章）,课程简介,量子力学是反映,微观粒子运动规律,的理论，是,20,世纪自然科学的重大进展之一。,主要目的：,使学生了解微观世界矛盾的特殊性和,微观粒子的运,动规律,，,初步掌握,量子力学的,基本原理,和一些重要,方法,，并初步具有运用这些方法,解决较简单问题,的,能力。,使学生,了解,量子力学在现代科学技术中的广泛,应用,，,深化和扩大在普通物理中学过的有关内容，为学生以,后续课程的学习,打,下必要的,基础,。,深入,理解,微观粒子的,运动特性,。,掌握描述,微观粒子运动的,方法,，即量子力学的数学框架。,初步掌握,应用量子力学处理简单体系的,方法,。,目 的 要 求,参 考 教 材,曾谨言，量子力学，科学出版社。,量子力学,研究微观粒子的统计理论,1899,年，英国的开尔文在新年贺词中说：,19,世纪已经将物理大厦全部建成，今后物理学家的任务就是修饰、完美这所大厦。,但是物理学的天空上还漂浮着两朵小小的令人不安的乌云。,恰恰是这几朵乌云带来了一场震撼物理学的革命风暴，导致了量子力学的产生。,1.1,经典物理学的困难,第,1,章 波函数及薛定谔方程,经典力学遇到五大灾难性问题,黑体辐射,光电效应,原子的线状光谱,原子稳定性,固体比热问题,上世纪,20,年代，诞生一种认识微观世界的新理论,量子力学,量子力学的发展史：,1900,年 普朗克 解释黑体辐射 能量量子,普朗克,MAX PLANCK(1858-1947),1905,年 爱因斯坦 解释光电效应 光量子论,阿尔伯特,爱因斯坦,Albert Einstein,18791955,1913,年 波尔 氢原子轨道模型,波尔,Niels Henrik David Bohr,18851962,年 德布罗意 提出德布罗意假设 实物粒子具有波粒,二象性,德布罗意,LOUIS DE BROGLIE(1892-1987),1925,年 海森堡 提出用矩阵描述量子理论（矩阵力学）,海森堡,WERNER HEISENBERG(1901-1976),1926,年 薛定谔 建立薛定谔方程（波动力学）,薛定谔 证明矩阵力学和波动力学是等价的,薛定谔,ERWIN SCHRODINGER(1887-1961),1.2,量子力学的建立,一、光的波动性,由衍射、干涉实验证实，具有频率,、,波长,二,、,光的粒子性,黑体辐射、光电效应证实,(,Planck-Einstein,),提出,1,、,光量子论,：电磁波由光量子组成，每个光子,(,photon,),的能量,由质能关系,光子静止质量为,0,为波矢,，,大小为,方向为波传播方向,2,、由光量子论解释黑体辐射和光电效应,黑体辐射,黑体：在任何温度下，能,100%,地能完全吸收外界,投射到它上面的辐射。,经典理论无法解释黑体辐射,Wien,（经典）,experimentation,Planck,E,Rayleigh-Jeans,（经典）,普朗克应用光量子论，得出,高频、低频时与实验曲线完全符合，成功解释,黑体辐射现象。,光电效应：金属受光照后，有电子从表,面逸出的现象。,特点：,入射光频率高于临界频率,0,；,光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关,经典理论：无法解释频率,0,时，长时,间、高光强照射无电子逸出。,光量子论：光子（,0,）与电子碰撞，电,子获得能量，当能量大于脱出功,W,0,时，有电子逸出。,E,0,E,F,脱出功,W,0,称为逸出功。只与金属材料性质有关，与光的频率无关。,固体比热问题,经典理论 ，,无法解释低温比热,德拜模型（量子理论）,高温,低温,C,v,T,3R,实验,经典,德拜,德拜（P.J.W.Debye，1884年3月24日一1966年11月2日）,1936年获诺贝尔化学奖,原子的线状光谱与稳定性问题,电子在原子核外做加运动，按照经典电动力学，加速运动的带电粒子将不断辐射而 丧失能量。因此，围绕原子核运动的电子，终究会大量丧失能量而“掉到”原子核中去。这样，原子也就“崩溃”了。,但现实世界表明，原子是稳定的存 在着。,稳定性问题：,原子的线状光谱及其规律,研究表明，每一种原子都有它特有的一系列光谱,氢原子线状光谱（频率是分离的，不是连续）,H,H,H,H,氢原子谱线（,Balmer,线系),巴尔末线系（,m=2,可见光）,帕邢线系（红外）,拉曼线系（,m=1,紫外,）,n=1,n=2,n=3,n=4,波尔原子模型,玻尔原子理论的原子图像：,电子在一些特定的可能轨道上绕核作圆周运动，离核愈远能量愈高；,电子在这些可能的轨道上运动时原子不发射也不吸收能量，只有当电子从一个轨道跃迁到另一个轨道时原子才发射或吸收能量，辐射的频率和能量之间关系,E,=,h,。,玻尔理论成功地解释了原子的稳定性和氢原子光谱线规律。,1.1.4,光的波粒二象性,光具有波动性与粒子性，并且有以下关系存在,作为“波”具有波长,和频率,作为“粒子”具有能量,E,和动量,p,1.2,量子力学的建立,1.2.1,微观粒子的波粒二象性,1,、,德布罗意假设,：,实物粒子也有波粒二象性，并存在关系,2,、德布罗意波（物质波）：实物粒子联系着的波。,1.2.2,德布罗意波的实验证实,电子衍射实验,电子束,Ni,1,、实验结果,Ni,单晶格间距,d,=2.15,测出,=50,最强,衍射公式,取,n,=1,=1.65,2,、德布罗意假设计算（理论）,结论：电子具有波动性，德布罗意假设正确。,例：,计算一个乒乓球和一个电子的德布罗意波长。电子加速电压,10V,，乒乓球,m,=10,克，,v,=5m/s,。解：电子,乒乓球德布罗意波长很短，波动性不明显；而原子中的电子德布罗意波长与运动范围（原子大小,1,）同数量级，波动性明显。,3,、,实物粒子的波动性与光有相似之处,。,一般在宏观条件下,实物粒子波长很短,波动性是不会表现出来,经典力学处理,实物粒子的波长与粒子运动范围数量级相近,波动性十分明显（量子效应显著）,不遵从经典规律,必须用量子力学处理,1.3,波函数及其统计解释,1.3.1,量子力学的状态,1,、,波函数,（,r,t,),:,描述量子力学的状态。,的,自变量描述粒子性,的函数形式是波动方程,的解，描述波的存在,描述粒子波粒二象性。,利用德布罗意,关,系，得,电子科大 微固学院 李竞春,例：沿,x,方向传播的平面波（设初相为,0,）,把自由粒子的波函数改写成复函数形式,2,、波函数的形式,标量复函数,X,点,例如：,电子的衍射实验,底版上,x,点衍射花样强度,x,点感光点数,x,点,ds,内出现的电子数,电子出现在,x,点,ds,内的几率,1.3.2,波函数的统计解释,波函数的统计解释,：,波函数在空间某一点的强度,和在该点找到粒,子的几率成正比。,电子在,x,处出现几率,P,1.3.3,波函数的性质,1,、波函数,（,r,t,),描述,量子力学中微观粒子体,系的,状态,；体系在空间某一点,处,内,出现的,几率与,成正比,。,2,、在非相对论下，,波函数在全空间几率和为,1,考虑波函数常数不确定性，如果,归一化后的波函数,3,、相对几率分布（常数不确定性）,波的强度代表粒子出现的几率，由于几率是相对量，粒子出现几率由各点相对强度决定。所以,（,r,t),与,c,（,r,t),描述同一状态。,4,、相角不确定性：,5,、波函数及绝对值的平方单值、连续、有 限、,平方可积。,电子科大 微固学院 李竞春,例：,若某一维运动的粒子状态波函数为,式中,E,(,能量）和,a,为常数，,A,为归一化常数。求：,（,1,）归一化波函数；,（,2,）几率分布函数,；,（,3,）在什么地方找到粒子的几率最大。,解：（,1,）根据归一化条件可得,归一化波函数为,电子科大 微固学院 李竞春,（,2,）几率分布函数为,（,3,）,根据数学中利用微分求极值的法则,1.3.4,叠加原理,波函数,1,和,2,是体系的可能状态，则其线性叠加,=,c,1,1,+,c,2,2,在同一条件也是体系可能状态。,1,2,=,c,1,1,+,c,2,2,（量子）,电子束,（经典）,S,1,S,2,电子的状态 电子出现的几率,通过,S,1,1,通过,S,2,2,通过双缝后,c,1,1,+,c,2,2,电子有一定几率处于,1,、,2,和,c,1,1,+,c,2,2,三个状态。,几率波的叠加是,波函数的叠加,，不是几率的叠加！,光子的偏振态的叠加,偏振方向,/,晶轴,光束全部通过,偏振方向,|,晶轴,光束全部被吸收,偏振方向与晶轴夹角,部分通过，部分被吸收,1.4,薛定谔方程 定态薛定谔方程,1.4.1,薛定谔方程的建立,自由粒子的波函数,对 求,t,的偏导,对,x,、,y,、,z,求偏导,存在对应关系,由,把对应关系代入上式，两边同乘,整理得,薛定谔方程,哈米顿算符,（,Hamiltonian),量子力学假设之三,：,系统状态随时间的变化由,薛定谔方程,描述，即,1.4.3,定态薛定谔方程,波函数改写为,代入薛定谔方程,：,如果哈米顿算符中,V,不含时间,得到两个方程：,关于时间,关于空间,解（,1,）式得,改写（,2,）式,薛定谔方程的解,定态,：,粒子处于该状态时，能量,E,是常数与,r,、,t,无,关。,定态由 波函数描述。,定态薛定谔方程,1.4.2,几率密度与几率流密度,1,、,几率密度,：,某时刻，处 内粒子出现的,几率。,2,、几率流密度：单位时间内通过封闭曲面,S,流,入的几率,电子科大 微固学院 李竞春,例,1.4.1,自由电子的波函数为,求：（,1,）几率流密度；（,2,）电荷密度与电流密度。,解：（,1,）几率流密度为,j,0,表示流向,x,正方向。,电子科大 微固学院 李竞春,（,2,）电荷密度,=,粒子密度,(,粒子数,/,体积）*电子电量,电流密度,=,几率流密度*电子电量,电子科大 微固学院 李竞春,束缚态：当粒子被局限在一个有限的区域运动时，无限,远处的波函数必然为零。这种状态称为束缚态。,束缚态一般特征是能量取分立值。,简并,：粒子具有相同的能量，但波函数不同，即状,态不同。处于同一能级上粒子波函数数目，,叫 简并度。,1.5,势阱中的粒子,一、一维无限深势阱,0,a,x,势函数,势阱外：粒子出现几率为,0,，,势阱内：粒子的一维定态薛定谔方程,通解为,边界条件,可得,讨论：,1,、能量的讨论：,能量不连续,能量间隔,能量间隔不等，能量越高，间隔越大,当 ，,n,很大时，能级近似连续。,(,趋于经典极限）,基态能量不为零,E,1,E,2,E,3,E,4,2,、波函数的讨论：,0,a,0,a,波函数有驻波形式,.,n,越大，德布罗意波长越短,。,在阱内各点上，粒子出现的几率不同,，节点处，几率为,0,。,E,1,E,2,E,3,能量为,E,1,的粒子，在,x,=a/2,处出现几率最大；能量为,E,2,的粒子，在,x,=a/4,、,x,=3a/4,处出现几率最大；,1.5.3,、三维无限深势阱,x,y,z,阱内粒子的三维定态薛定谔方程：,可解得：,总波函数：,总能量：,如果,a,=,b,=,c,立方势阱,(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),简并,：粒子具有相同的能量，但波函数不同，即状态,不同。处于同一能级上粒子波函数数目，叫 简并度。,(n,1,n,2,n,3,),能量,波函数,(n,1,n,2,n,3,),能量,简并度,3E,1,6E,1,9E,1,11E,1,12E,1,14E,1,(111),(211)(121)(122),(221)(212)(122),(311)(131)(113),(222),(321)(231),(132)(213)(312),1,3,3,3,1,6,1.5.2,一维有限深势阱,能量为,E,（,0,E,V,0,）的粒子,在势阱中运动,V,0,V,（,x),-a,a,定态薛定谔方程：,在,、,区 在,区,通解：,考虑波函数有限性：,x-,时，有限，要求,x,时，有限，要求,A=0,得：,V,0,V,（,x),x,通解：,V,（,x,）对称势阱，方程解必为奇函数或偶函数,得：奇函数解,V,0,V,（,x),x,偶函数解,-a,a,有限深势阱中的粒子,（,E,V,0,),有几率出现在势阱外，在经典理论中是完全不可能的,是波粒二象性决定。,求能量允许值,波函数及其一阶导数在,处的连续性条件,奇函数解和偶函数解分别代入上式，得,代入,k,1,值可得到,:,可通过超越方程求,k,2,。,k,2,只能取分立值，有限深势阱中束缚态粒子能量分立值。,（奇函数解）,（偶函数解）,能量满足的条件,例：粒子,(0EV,0,),在一维半无限势阱中运动，求粒子,能量满足的条件,V,0,a,x,0,粒子能量满足的条件,：,连续,处,，,可通过超越方程求,k,1,1.6,谐振子,任何体系的小振动，在选择恰当的坐标后,可以分解为若干彼此独立的一维谐振。,一维谐振子的势函数：,x,V,(x),谐振子势,，,粒子只存在,束缚态,一维定态薛定谔方程：,改写为：,讨论：,1,、能量不连续,基态能量不为,0,能量间隔相等,n,=0,n,=1,n,=2,n,=3,能量为,2,、波函数,微观粒子的波函数延伸到阱外，即阱外粒子出现的几率不为,0,，与经典结论完全不同（经典中，粒子不可能出现在 处,),。,随能量增加，德布罗意波波长越短。,n,=1,n,=2,-3 -2 -1 0 1 2 3,E,0,E,1,E,2,n,=0,能量和波函数一一对应，非简并,对波函数讨论,3,、几率密度,对于基态,量子结论：,x,=0,处，几率密度最大。,经典结论：,x,=0,处，势能最小，动能最大，速度最大,逗留时间最短，几率最小。,经典与量子结论正好相反,4,、在大量子数,n,极限下，量子与经典结论趋于一致。,x,x,n=0 n=10,经典,量子,经典,量子,例：一维线性谐振子，在基态是时，势阱外粒子出,现的几率？,E,0,E,x,基态时,势阱范围,n=0,时，势阱边界处：,势阱与势垒,势阱的特点,：波函数在无穷远处为,0,；,粒子被束缚在有限区域（束缚态）；,势阱内能量是分离的。,势垒的特点,：不要求波函数在无穷远处为,0,；,粒子不是处于束缚态；,粒子的能量可以连续取值。,1.7,一维散射和隧道效应,一、,隧道效应,：,当粒子的能量,E,小于势垒高度,V,0,时，有部分粒子可以穿过势垒。,二、反射系数、透射系数,1.7.1,粒子以能量,E,入射势垒，求反射系数和透射系数。,1,、,E V,0,：,：,通解,0,入射,反射,透射,区有入射和反射，,区也有透射。,粒子以能量,E,入射到势场,1,、当,E,V,0,区：,区：与,区相同,1.7.2,一维方势垒,V,0,x,V,（,x),E V,0,区：,三个薛定谔方程的解：,经典禁区,边界条件,x,=0,x,=,a,处波函数连续,有：,x,=0,x,=,a,电子科大 微固学院 李竞春,解得：,由几率流密度的定义,透射几率流密度,反射几率流密度,入射几率流密度,反射系数：,透射系数：,R,+,T,=1,2,、当,E V,0,时,、,区：,区：,V,0,X,V,（,x),E V,0,V,0,X,V,（,x),三个薛定谔方程的解：,0,a,把 时的,R,、,T,关系式中的,k,2,换为,令：,即,讨论：,V,0,=0,（无势垒），,k,1,=,k,2,T,=1,完全透射,V,0,0,，,k,1,k,2,T,1,R,0,粒子有几率被反射,透射系数,T,与势垒宽度,a,等的关系,经典力学看,E,V,0,情况下，粒子不可能穿越势垒，会被完全反弹回去。,而通过量子力学计算，透射系数不为,0,，部分粒子有几率穿过势垒，这一现象是由于粒子的波动性引起。,对,E,V,0,时透射系数,T,的讨论,可见，,T,与,a,、,(,V,0,-,E,),、,关系敏感,。当势垒宽度,a,增加时，,T,指数衰减。同样从上式可看出,a,、,(,V,0,-,E,),、,与,T,的关系。,当势垒较高或较宽时：,当 势垒宽度,a,，,T,指数衰减,在宏观实验中，观察不到穿透势垒的现象。,例：,T,与,a,电子,V,0,-,E,=10eV,a,(cm),T,10,-9,e-,0.34,=0.71,10,-8,e,-3.4,=0.033,10,-7,e,-34,=,10,-15,10,-6,e,-340,=,10,-34,势垒贯穿的实验证实,有的原子核在衰变中，放出,粒子而变成一种新的原子核。,核表面库仑势能,40MeV,动能,4,9MeV,