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湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考卷(二)数学.pdf
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试卷第 1页,共 4页长长沙沙市市一一中中 2025 届届高高三三月月考考试试卷卷(二二)数数学学时时量量:120 分分钟钟满满分分:150 分分一一、选选择择题题(本本大大题题共共 8 个个小小题题,每每小小题题 5 分分,共共 40 分分在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中,只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的)1已知集合|2ln2Axx,2,1,0,1,2,3B ,则AB()A 1,0B1,2C 1,0,1D1,2,32已知i为虚数单位,12iiz,则z的共轭复数z()A2iB2iC2 i D2 i 3已知曲线 2lnf xaxx在点 1,1f处的切线与x轴相交于点1,03,则实数a()A-2B-1C1D24已知向量(1,)OAk ,(1,2)OB ,(2,0)OCk且实数0k,若 A,B,C 三点共线 则k()A0B1C2D35已知过坐标原点O的直线PO与焦点为F的抛物线2:2(0)C ypx p在第一象限交于点P,与C的准线l交于点Q,若4POOQ,则直线PF的斜率为()A43B23C1D136已知函数()sin3cosf xxx与直线(02)yaa在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为12,nx xx,则12323f xxx()A1B0C1D37定义:min,x y为实数 x,y 中较小的数,已知22min,9bhaab,其中 a,b 均为正实数,则 h 的最大值是()A16B13C66D338若不等式ln0axx有且仅有三个整数解,则实数 a 的取值范围是()试卷第 2页,共 4页A25,ln2 ln5B25,ln2 ln5C35,ln3 ln5D35,ln3 ln5二二、选选择择题题(本本题题共共 3 小小题题,每每小小题题 6 分分,共共 18 分分在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中,至至少少有有两两项项是是符符合合题题目目要要求求,若若全全部部选选对对得得 6 分分,部部分分选选对对得得部部分分分分,选选错错或或不不选选得得 0 分分)9记等差数列 na的前n项和为nS,公差为d,若109a,20200S,则()A2dBnS的最小值为5SC19a D使0nS 的n的最小值为 1110若随机变量20,XN,f xP Xx,则()A 1fxf x B 22fxf xC 210P Xxf xxD若 121xffx,则113x11如图,在锐二面角AB的半平面内有一个四边形MENF,点M在AB上,2EF,2MN,MEF和NEF的面积均为12,点N到平面的距离为62,点E到平面的距离为64,则()AEFABB直线MN与AB所成的角为45C直线MN与平面所成的角为30D二面角AB的大小为60三三、填填空空题题(本本大大题题共共 3 个个小小题题,每每小小题题 5 分分,共共 15 分分)12设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两条渐近线的倾斜角分别为,,若5,则C的离心率为13 已知正三棱柱111ABCABC中,12ACCC,动点P在侧面11ACC A内,且10PC PB 若试卷第 3页,共 4页点P的轨迹长为22,则该正三棱柱的体积为14记不超过x的最大整数为 x若函数()|22|f xxxt既有最大值也有最小值,则实数t的取值范围是四四、解解答答题题(本本大大题题共共 5 个个小小题题,共共 77 分分解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤)15现有一种不断分裂的细胞X,每个时间周期内分裂一次,一个X细胞每次分裂能生成一个或两个新的X细胞,每次分裂后原X细胞消失 设每次分裂成一个新X细胞的概率为p,分裂成两个新X细胞的概率为1p;新细胞在下一个周期内可以继续分裂,每个细胞分裂相互独立设有一个初始的X细胞,从第一个周期开始分裂(1)当34p 时,求3个周期结束后X细胞数量为2个的概率;(2)设2个周期结束后,X细胞的数量为,求的分布列和数学期望16如图,AB是半球O的直径,4,ABM N是底面半圆弧AB上的两个三等分点,P是半球面上一点,且60PON(1)证明:PB 平面PAM:(2)若点P在底面圆内的射影恰在ON上,求直线PM与平面PAB所成角的正弦值17已知函数 1ln 1f xaxxx(1)当2a 时,求 f x的极值;(2)当0 x 时,0f x,求a的取值范围18已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的焦距为 4,离心率为122,F F分别为C的左右焦点,两点1122,A x yB xy都在C上.(1)求C的方程;(2)若222AFF B ,求直线AB的方程;试卷第 4页,共 4页(3)若1AF2BF且12120,0 x xy y,求四个点12,A B F F所构成的四边形的面积的取值范围.19已知数列 na满足:13a,m,*nN,当nm时,2nmn maaa(1)求数列 na的通项公式;(2)当6n 时,求证:11112nna;(3)求解方程:1231nnnnnnnaaaaa答案第 1页,共 18页1D【分析】由对数单调性解集合A中不等式,再求集合交集即可.【详解】由2ln2x 可得221eex,故221|eeAxx,又因为2,1,0,1,2,3B ,所以1,2,3AB.故选:D2A【分析】根据除法运算可得2iz,再根据共轭复数的概念分析判断.【详解】因为12iiz,则12i2iiz,所以z的共轭复数z 2i.故选:A.3A【分析】先求出切线方程,再将点1,03代入求解.【详解】解:因为 2lnf xaxx,所以 12fxaxx,则 121,1fafa,所以在点 1,1f处的切线方程为211yaax,又因为切线与x轴相交于点1,03,所以12113aa,解得2a ,故选:A4D【分析】由三点共线转化为两个向量共线,即,AB AC 共线,由向量共线的坐标表示计算【详解】2,2ABOBOAkuuu ruuu ruuu rQ,3,ACOCOAkkuuuruuuruuu r,因为 A,B,C 三点共线,所以/ABAC,则223kkk,解得3k 或2,0k Q,3k.答案第 2页,共 18页故选:D.5A【分析】根据题意求出点P坐标,然后代入斜率公式求解即得【详解】因为抛物线2:2C ypx,所以抛物线的准线方程为2px ,故点Q的横坐标为2Qpx .因为4POOQ,所以点P的横坐标42PQxxp,所以点P的纵坐标2Pyp.又焦点F的坐标为,02pF,所以直线PF的斜率为204322ppp.故选:A.6D【分析】先运用辅助角公式将函数化为()2sin()3f xx,再通过解方程,解出12347,333xxx ,最后计算即可.【详解】()sin3cos2sin()3f xxxx,设sin,(0,)22a,若()f xa,则23xk,23xk ,即23xk或423xk ,所以12347,333xxx ,因此12328233xxx,所以1232828(23)()2sin()2sin33333f xxxf.故选:D.【点睛】关键点睛:解决本题的关键一是辅助角公式的运用,二是换元思想的运用.答案第 3页,共 18页7C【分析】先利用基本不等式得到22219916baababb,比较a与16a的大小即可求出 h 的最大值【详解】a,b 均为正实数22219916baababb,当且仅当29abb,即3ab时,等号成立当16aa即66a 时,22696bab,故22226min,996bbhaabab,当606a时,226min,96bhaab综上所述,h的最大值为66故选:C8A【分析】设,0,11,lnxfxxx,作出 lnxfxx的图象为,则结合图象,要不等式ln0axx有且仅有三个整数解,取 2,3,4,5ffff讨论它们的大小,即可得到a的范围.【详解】设,0,11,lnxfxxx,2ln1lnxfxx,由 0fx,得ex,当 0,1 时,0,f x单调递减,当1,ex时,0,f x单调递增,且 eef,作出 lnxfxx的图象为,答案第 4页,共 18页由ln0axx,0,+,当 0,1 时,lnxax,即 af x,当 1,+时,lnxax,即 af x,因为 234252,3,42,5ln2ln3ln4ln2ln5fffff,2ln33ln2ln9ln8230ln2ln3ln2ln3ff,所以 243fff,而 525ln22ln5ln32ln25520ln5ln2ln5ln2ln2ln3ff,即 52ff,则结合图象,要不等式ln0axx有且仅有三个整数解,只需 25faf即25ln2ln5a,所以实数 a 的取值范围是25,ln2 ln5.故选:A.9ABD【分析】利用等差数列通项公式即前n项和公式列方程组,即可判断 AC;求出nS,结合二次函数性质即可判断 B;解0nS,即可判断 D.【详解】对于 AC,由题意可得1012019920 19202002aaddSa,解得192ad,故 A 正确,C错误;对于 B,22192105252nn nSnnnn,所以,当5n 时,nS取到最小值25,故 B 正确;答案第 5页,共 18页对于 D,令0nS,即2100nn,解得10n 或0n,因为Nn,所以使0nS 的n的最小值为 11,故 D 正确.故选:ABD10ACD【分析】利用正态分布的性质逐项判断即可.【详解】对于 A,随机变量20,XN满足正态分布,且0,故 1fxP XxP Xxf x ,故 A 正确;对于 B,当0 x 时,,20212201,fxP Xf xP X此时 22fxfx,故 B 错误;对于 C,20P XxPxXxPXx 12212fxfx,故 C 正确;对于 D,f xP Xx,故 f x单调递增,故 121xffx,即121xx,解得113x,故 D 正确.故选:ACD11ABD【分析】先根据已知条件确定四边形MENF的几何特征,得出四边形MENF是平行四边形,且NF、ME都与EF垂直,再利用面面平行的性质证明/MH GD,利用EMDF为平行四边形证明EFAB,再利用线线角、线面角、二面角定义逐一判断 B、C、D 选项即可.【详解】在四边形MENF中,设MN与EF相较于点O,答案第 6页,共 18页过N向EF作垂线,垂足为P,过M向EF作垂线,垂足为Q因为MEF和NEF的面积均为12,2EF,所以22NPMQ,OPN与OQM中,PONQOM,90NPOMQO,22NPMQ,所以OPNOQM,所以NOMO,又因为2MN,所以1NOMO;在RtOPN中,1NO,22NP,2222OPONNP,在RtOQM中,同理可证22OQ,又因为2EF,所以F、E分别与P、Q重合,所以四边形MENF是平行四边形,且NF、ME都与EF垂直;延长NF交AB于D,过N作的垂线,垂足为G,过E作的垂线,垂足为H,连接GD、MH,/EM ND,EM 平面EMH,ND 平面EMH,所以/ND平面EMH,又因为/EH NG,同理可证NG/平面EMH,又NDNGN,所以平面/EMH平面NDG,又因为平面EMHMH,又因为平面NDGDG,所以/MH GD;因为/EM ND,/EH NG,/MH GD,所以EMHNDG,所以EMEHNDHG,又因为点N到平面的距离为62,点E到平面的距离为64,所以12EMEHNDHG,因为22EM,所以2ND,因为22EMNF,所以22FD,所以EMFD,又/EM FD,所以四边形EMDF为平行四边形,所以/EF DM,即/EF AB,且NDAB,EMAB,故 A 正确;根据题意,直线MN与AB所成的角为NMD,在RtNMD中,2MN,2MDEF,2ND,答案第 7页,共 18页所以2sin2NDNMDNM,所以45NMD,故 B 正确;链接GM,根据题意有,直线MN与平面所成的角为NMG,在RtNMG中,62NG=,2MN,所以6sin4NGNMGMN=,1sin302,所以 C 错误;因为NG平面,AB 平面,所以NGAB,NDAB,ND 平面NDG,NG 平面NDG,NDNGN,所以AB 平面NDG,GD 平面NDG,所以GDAB,又因为NDAB,且二面角AB为锐二面角,所以二面角AB的平面角为NDG,在RtNDG中,2ND,62NG=,所以3sin2NGNDGND=,所以60NDG,故 D 正确.故选:ABD【点睛】关键点点睛:本题关键在于:先根据已知条件确定四边形MENF的几何特征,得出四边形MENF是平行四边形,且NF、ME都与EF垂直;利用面面平行的性质证明/MH GD.122 33#233【分析】根据,的两个关系,再由5,求解离心率.【详解】根据双曲线2222:10,0 xyCabab的两条渐近线的倾斜角为,则,又5,所以6,所以3tan3ba,故22 313bea.故答案为:2 33.138 3【分析】本题涉及到正三棱柱的体积计算以及向量垂直的相关知识.首先需要根据向量垂直的条件求出点P的轨迹,再根据轨迹长求出正三棱柱的棱长,最后根据棱柱体积公式计算体答案第 8页,共 18页积.【详解】过C作 yAC,以C为原点,CA为x轴,1CC为z轴,建立空间直角坐标系.设1CCa,则AC2a.设(,0,)P xz,1,3,B aa a,(0,0,0)C.则(,0,)PCxz ,1,3,PBaxa az.因为10PC PB ,所以0 x axz az,即220 xaxzaz.配方得222222aaaxz,所以点P的轨迹是以,2 2a a为圆心,22a为半径的四分之一圆.已知点P的轨迹长为22,因为轨迹是四分之一圆,半圆的弧长公式为lr(,r为半径).这里22ra,22222a,解得=2.正三棱柱的体积公式为VSh(S为底面三角形面积,h为高).底面正三角形ABC的边长4AC,则2344 34S,高12CC.所以正三棱柱的体积4 328 3V.故答案为:8 3.14112t【分析】根据题意取2,(Z,0,1)xtmn mn,则()f xnt,将问题转化()g nnt答案第 9页,共 18页在区间0,1上既有最大值也有最小值,然后分0t,102t,112t,1t 四种情况讨论即可求出结果.【详解】取2,(Z,0,1)xtmn mn,则()|22|()f xxxtmntmnt,所以函数()|22|f xxxt既有最大值也有最小值,即()g nnt在区间0,1上既有最大值也有最小值,当0t 时,()g nnt在区间0,1上单调递增,只有最小值,无最大值,不合题意,当102t 时,()g nnt在区间0,t上单调递减,在区间,1t上单调递增,又(0),(1)1gt gt,则(0)(1)gg,此时()g nnt只有最小值,没有最大值,不合题意,当112t 时,()g nnt在区间0,t上单调递减,在区间,1t上单调递增,又(0),(1)1gt gt,则(0)(1)gg,此时()g nnt有最大值为(0)g,最小值为()0g t,当1t 时,()g ntn 在区间0,1上单调递减,只有最大值,无最小值,不合题意,综上所述,实数t的取值范围是112t,故答案为:112t.【点睛】关键点点晴:通过令2,(Z,0,1)xtmn mn,得到()f xnt,从而将问题转化成()g nnt在区间0,1上既有最大值也有最小值来解决.15(1)3331024(2)分布列见解析,244pp【分析】(1)3个周期结束后X细胞数量为2个,分以下三种情况,第一个周期分裂为2个细胞,后面两个周期均保持为2个细胞,第二个周期分裂为2个细胞,后面一个周期保持为2个细胞,前两个周期都保持为1个细胞,第三个周期分裂为2个细胞,依次计算即可得出结果;(2)求出的取值及不同取值对应的概率,进而列出分布列,利用期望公式求出期望.【详解】(1)由题意可知,当34p 时,3个周期结束后X细胞数量为2个,则设第k个周期分裂为2个细胞,之后一直保持为2个X细胞,第一个周期分裂为2个细胞,后面两个周期均保持为2个细胞,答案第 10页,共 18页故42211381(1)()441024Ppp,第二个周期分裂为2个细胞,后面一个周期保持为2个细胞,故3221327(1)44256Ppp p,前两个周期都保持为1个细胞,第三个周期分裂为2个细胞,故2231 39(1)4 464Ppp,综上可知,12381 108 14433310241024PPPP.(2)2个周期结束后,的取值可能为1,2,3,4,其中21Pp,23211Pppp ppp,21231C121Pppppp,341Pp,所以分布列为1234P2p3pp221pp31p 23232123214144Epppppppp .16(1)证明见解析(2)105【分析】(1)连接,OM MN BM,可证Q为BM的中点且12PQBM,可得PBPM,又PBPA,由线面垂直的判定可证;(2)以点Q为坐标原点,QM,QN,QP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,用向量法可求解.【详解】(1)连接,OM MN BM,因为,M N是底面半圆弧AB上的两个三等分点,所以有60MONNOB,又因为2OMONOB,答案第 11页,共 18页所以,MONNOB都为正三角形,所以MNNBBOOM,四边形OMNB是菱形,记ON与BM的交点为Q,Q为ON和BM的中点,因为60,PONOPON,所以三角形OPN为正三角形,所以132PQBM,所以PBPM,因为P是半球面上一点,AB是半球O的直径,所以PBPA,因为PMPAP,,PM PA平面PAM,所以PB 平面PAM(2)因为点P在底面圆内的射影恰在ON上,由(1)知Q为ON的中点,OPN为正三角形,所以PQON,所以PQ底面ABM,因为四边形OMNB是菱形,所以MBON,即MBONPQ、两两互相垂直,以点Q为坐标原点,QM,QN,QP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Qxyz,如图所示,则0,1,0,3,0,0,3,0,0,0,1,0,0,0,3OMBNP,所以3,0,3PM ,0,1,3OP ,3,1,0OB ,答案第 12页,共 18页设平面PAB的一个法向量为,mx y z,则00m OPm OB ,所以3030yzxy,取1x,则1,3,1m,设直线PM与平面PAB的所成角为,所以3310sincos,565PM m,故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为10517(1)极小值为0,无极大值.(2)12a 【分析】(1)求出函数的导数,根据导数的单调性和零点可求函数的极值.(2)求出函数的二阶导数,就12a 、102a、0a 分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】(1)当2a 时,()(1 2)ln(1)f xxxx,故1 21()2ln(1)12ln(1)111xfxxxxx,因为12ln(1),11yxyx 在1,上为增函数,故()fx在1,上为增函数,而(0)0f,故当10 x 时,()0fx,当0 x 时,()0fx,故 f x在0 x 处取极小值且极小值为 00f,无极大值.(2)11ln 11ln 1,011axaxfxaxaxxxx ,设 1ln 1,01axs xaxxx,则 222111211111aa xaaaxasxxxxx ,当12a 时,0s x,故 s x在0,上为增函数,故 00s xs,即 0fx,所以 f x在0,上为增函数,故 00f xf.答案第 13页,共 18页当102a时,当210axa 时,0s x,故 s x在210,aa上为减函数,故在210,aa上 0s xs,即在210,aa上 0即 f x为减函数,故在210,aa上 00f xf,不合题意,舍.当0a,此时 0s x在 0,+上恒成立,同理可得在 0,+上 00f xf恒成立,不合题意,舍;综上,12a .【点睛】思路点睛:导数背景下不等式恒成立问题,往往需要利用导数判断函数单调性,有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征,处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.18(1)2213yx(2)352035xy-=(3)12,【分析】(1)由双曲线的性质结合题意可得结果;(2)设出直线AB的方程,直曲联立表示出韦达定理,再结合222AFF B 得到122yy,解出m,即可求出直线方程;(3)结合已知作出图象,设出直线AP和BQ的方程,由弦长公式表示出弦长226 11 3mBQm,再求出直线AP与BQ间的距离进而求出1 21243AF F BStt=-四边形,最后求导分析其单调性再求出取值范围即可;【详解】(1)由题意可得222242ccaabc,解得132abc,故曲线C的方程为2213yx,(2)根据题意知直线AB的斜率不为零,设直线AB的方程为2xmy,答案第 14页,共 18页222AFF B 得122yy,,A B都在右支上,由22213xmyyx,消去x可得22311290mymy,易知2310m ,其中236360m 恒成立,121222129,3131myyy ymm,代入122yy,消元得22222129,312 31myymm,所以222129312 31mmm,解得3535m ,满足0,所以直线AB的方程为352035xy-=,(3)1,1,2,2,12120,0 x xy y,则,A B分别在两支上,且,A B都在x的上方或x的下方,不妨设都在x的上方,又1AF2BF,则A在第二象限,B在第一象限,如图所示,延长1AF交双曲线与点P,延迟2BF交双曲线于点Q,由对称性可知四边形ABQP为平行四边形,且面积为四边形12AFF B面积的 2 倍,由题设33,Q x y直线AP的方程为2xmy,直线BQ的方程为2xmy,答案第 15页,共 18页由第(2)问易得22212236361131mBQmyymm,因为2310m ,所以226 11 3mBQm,两条直线AP与BQ间的距离214dm,所以1 22211121221 3AF F BAPQBmSSBQdm四边形四边形,令21tm,2 31,3t,所以1 2212124433AF F BtSttt=-四边形,设 43g ttt,则 224433tgxtt,在2 31,3t上恒为减函数,所以1 21243AF F BStt=-四边形在2 31,3t上恒为增函数,当1t 时即0m,取得最小值为 12,所以当1AF2BF且12120,0 x xy y,则四个点12,A B F F所构成的四边形的面积的取值范围为12,.【点睛】方法点睛:(1)本题第二问给出向量关系让求直线方程时,常用直曲联立,表示出韦达定理,再根据向量关系求出参数m即可;(2)本题第三问再求四边形面积的取值范围时,先由弦长公式表示出一条边,再由两平行线间距离公式表示出高,最后再求导分析.19(1)2nan(2)证明见解析(3)2,3【分析】(1)令1nm,即可得到11nnaa,结合等差数列的定义求出 的通项公式;答案第 16页,共 18页(2)依题意等价于证明1122nn,利用二项式定理证明即可;(3)由(2)可知11132nn6n,先证明1132nkkn,1,2,6kn n,即可得到当6n 时3423nnnnnn,从而得到6n 时方程不成立,再列出1n,2,3,4,5时方程是否成立,即可得解.【详解】(1)依题意,令1nm,可得112nnaaa,则1121nnaaa,所以 是以3为首项,1为公差的等差数列,所以2nan;(2)不等式11112nna等价于11132nn,等价于1122nn,由二项式定理可知,当6n 时612366623CCC13155315211112888846412846464 ,当7n 时122CC111222nnnnnn 221311122222n nn nnnnn ,又223122580n nnnn,所以23122n nn,则231122n nn,所以1122nn,故当6n 时,11112nna恒成立.(3)当6n 时,由(2)可知11132nn,下证明1132nkkn,1,2,6kn n,设13nkkbn,则112b,答案第 17页,共 18页11131111311333213nnnnknkkbnknbnknknkn ,即112kkbb,即1212111112222kkkkkbbbb,所以1132nkkn,故当6n 时12111333nnnnnnn2111221111111222212nnn,即2131333nnnnnnnn,所以3423nnnnnn,所以当6n 时3423nnnnnn,则方程1231nnnnnnnaaaaa不成立;当1n 时,34,方程不成立;当2n 时,222345,方程成立;当3n 时33333452166,方程成立;当4n时44444345681256625 1296225824017,方程不成立;当5n 时,5233 9,即53除以8的余数为3,5255 255624 158 78 1 ,即55除以8的余数为5,而54,56均为8的倍数,57不是8的倍数,所以5555534567不是8的倍数,所以555555345678,即5n 不是方程的解;综上所述,方程1231nnnnnnnaaaaa的解集为2,3.【点睛】关键点点睛:第二问关键是利用二项式定理进行放缩,第三问关键是首先证明6n 答案第 18页,共 18页时121111333nnnnnnn,从而得到当6n 时3423nnnnnn.- 配套讲稿:
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