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(学习）贲友林：关于获得数学活动经验的三点认识
关于获得数学活动经验的三点认识
▇ 贲友林
数学活动经验是人们在数学活动过程中形成的并在遇到某种相似情景时可以忆起的某种体验、方法性知识或某种观念。数学教学应致力于学生数学活动经验的获得。本文就学生获得数学活动经验谈三点思考。
一、经验在经历中获得
《现代汉语词典》对“经验”是这样解释的：“经验”有两种词性，作为名词，指由实践得来的知识或技能；作为动词，指经历，体验。杜威指出：“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。”这里的经验，包括了经验事物和经验的过程两重意义。由此来看，经验以静态与动态两种状态存在着。
《数学课程标准》（实验稿）就曾指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”活动经验，离不开活动，学生的数学活动经验是在参与数学活动过程的基础上获得的。没有经历数学活动，就谈不上获得数学活动经验。数学活动经验是数学活动的过程和结果。也就是说，有经历，不一定有经验，没有经历，一定没有经验。
如，分子相同的分数进行大小比较，分母大的分数反而小。在教学中，学生不是要将这样的结论熟记于胸，而是需要建立在自己经验基础上的理解。学生可能选择画图思考并说明比较大小的活动，而这样的活动选择也是源于以往画图解决问题的经验。如果以往没有经历用图、数轴等表示分数大小的活动，那这里也就缺乏了画图的经验。
再说对具体内容的理解经验的积累过程。在尚未入学的时候，不少孩子就有分东西的经历，他们在分东西的过程中，积累“分”的经验，知道分的份数越多，每一份就越少。当然，这样的经验是一种日常生活经验，还不是数学经验。数学教学，需要把这样的生活经验进行数学改造。在学习除法时，学生一定会经历类似如下的操作活动：12根小棒，平均分成2份、3份、4份、6份；在这样的操作过程中，学生对“分”的经验再积累，对分的结果也积累了经验。在认识分数时，学生有画图表示分数的经验，待到解决上述问题时，学生也就有了可供提升的经验积淀了。综上所述，学生的活动经验也正是在一次又一次经历的活动中积淀、丰富。
常常听到长辈对晚辈的告诫：我吃的盐比你吃的米多，走的桥比你走的路长。我们是否可以从经历的角度理解，因为长辈的经历比晚辈多，所以经验也就比晚辈丰富。“吃一堑，长一智”，这里的“智”包含了经验，因为有了“吃一堑”的经历，也就增长了一份“智”的经验。
二、经历了≠获得了
学生经历或参与了数学活动，并不是就能获得充足的数学活动经验。也就是说，经历了数学活动，未必就获得了数学活动经验。
就不同的个体而言，学生经历数学活动过程，获得数学活动经验是有差异的。学生的数学活动经验是建立在学生参与数学活动的过程和个体的感觉基础之上的，而学生个体之间感悟数学的水平差异较大，因而，学生之间的数学活动经验有较大的差异。就某一数学活动而言，同一个班级的学生都参与其中，有的学生获得的数学活动经验比较清晰，有的则比较模糊；有的学生获得的数学活动经验比较丰富，有的学生则比较单薄。存在着这样的现象，教师因教学进度、教学容量的考虑，当部分动手能力较强、思维较为敏捷的学生比较快地完成了活动内容时，教师也就组织全班学生从该活动“转场”到另一个活动。显然，相当一部分学生只经历了前一个活动的某些片段，也就不能获得较为充分的数学活动经验。所以，在活动过程中，教师要关注每一位学生是否真正参与了数学活动的全过程。这里还要指出的是，数学活动经验虽然是个性化的，但从学生群体的角度来看，数学活动经验是很多学生在经历了同一个数学活动之后形成的，具有一定的共性和普适性。
就经历的过程而言，活动经验的发展具有一定的层级性、规律性。第一次数学活动中获得的是原初经验；第二次遇到相同情境时，经验再现，一般称为再生经验；再次遇到类似情境时，迁移运用先前经验，产生再认性经验；在形式不同、本质一样的新情况下，按照“模式”重复运用这种经验时，这种经验成为概括性经验；概括性经验在多次调用、反思后，内化为经验图式。学生获得数学活动经验的过程，至少需要经历这样几个阶段：原初经验阶段；再生经验阶段；再认经验阶段；概括性经验阶段；再次参与多样化的数学活动，逐渐内化为概括性经验图式阶段。由此来看，经验有时需要在多次类似的数学活动的反复经历中获得。经历了，不等于获得了，这里所说的获得的是指较高层次的概括性的经验图式。
如，学习平行四边形面积计算时，学生通过操作将平行四边形剪、移、拼成长方形，这一过程使学生获得剪、移、拼的经验，感受将陌生的问题转化为熟悉的、将未知的问题转化成已知的过程。不过，这样的经验是非常粗糙的，难以适应新情境中的数学对象，也就是说，在新的数学问题中不能被调用。学习三角形面积计算，学生往往不能凭借自己的经验将求三角形的面积问题化归成已学图形面积的问题，因而教师组织学生通过旋转、平移或剪、拼的操作活动将三角形转化成平行四边形，在此基础上，对活动过程进行反思、总结和交流，概括所获得的经验。学习梯形面积计算，学生经历的情境与三角形面积计算的情境几乎相同，因而学生会把先前在三角形学习的数学活动中获得的经验运用于当下活动中，在“还原”前一活动经验的过程中，学生关于图形转化的方向与方式的经验得到了巩固。在学习圆的面积时，学生的数学活动经验外显，他们有明确的将圆转化成已学图形的倾向。不过，在实际教学中可以发现，很多学生的操作都是将圆沿着4条弦剪去4个弓形，再把4个弓形和剪出的长方形相拼。这恰恰说明了学生的经验还比较单薄，其原因也正是数学活动不够多样化。从数学活动经验的角度看，学生数学活动的过程就是数学活动经验不断上升、不断转化的过程。事实上，学生经历了数学本质一样的、多样化的数学活动，在交流、讨论与反思等活动的作用下，他们的原初经验得以改造和提炼，完成数学活动经验从低层次到高层次的生长。
三、经验，并非总是亲历所得
对数学活动经验的获得，有的老师在认识上存在着一个误区，认为活动经验一定是学生亲历所得。亲历，是获得数学活动经验的重要方式，但不是唯一方式。正如史宁中教授所说：“基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验。”这和戴尔“经验之塔”理论是相吻合的。
以笔者20年前在一所农村小学的一段教学经历为例。当时使用的五年级数学教科书中有这样一道题目：有一台播种机，作业宽度1.8 米。用拖拉机牵引，按每小时6千米计算,每小时可以播种多少平方千米？20年前的农村小学生，没有见过播种机，他们不理解题目中的“作业宽度”，他们觉得“作业”就是指他们平时做的语文作文、数学作业，怎么“作业”还有宽度？这又说明了学生在日常生活中获得的经验也许还是欠准确与精致的，经验是一把“双刃剑”，对学生的学习既有积极的正面作用，也有消极的负面作用。如果今天的数学教学中遇到这个问题，我们可以组织学生去实际观察播种机播种的场景，可以播放一段视频或制作多媒体课件进行演示，从而使问题得以解决。而我，基于当时农村小学的条件，给学生做了这样一个演示：先在黑板上用粉笔涂上一大片，然后手拿黑板揩:“这好比是播种机。黑板上涂的这一大片就是待播种的地。”随即将黑板揩按在黑板上：“开始播种!”黑板揩慢慢地前进，黑板上渐渐地出现了长方形空白。手指空白:“黑板揩的长相当于空白部分的宽度，也就是播种机的‘作业宽度’。”教师在学生的笑声中完成了演示，学生在笑声中理解了“作业宽度”。
由此可见，在教学中，教师要充分整合动手操作、板书演示等各种教学手段，适时运用现代教育技术，给学生提供和创造像“观察性经验”一类的替代性经验，让学生在观察、模仿、想象这些替代性经验中获得类似于亲临其境的实实在在的经历和体验，促进学生获得广泛的丰富的数学活动经验