高中数学 第三章 推理与证明 运用归纳推理解决数学问题拓展资料素材 北师大版选修1-2 课件.doc

运用归纳推理 解决数学问题
　　归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，历史上许多数学结论的发现，往往都是通过归纳推理获得的．归纳推理对我们的数学学习也有着重要的指向作用，下面例谈如何运用归纳推理来解决一些数学问题．
　　例１　设在上定义的函数，对都有，且，，试归纳出的值．
　　分析：我们先由已知条件求出的值，分析其特征，然后归纳猜想出的值．
　　解：，，，
，，
，，
．
　　由此观察可发现，函数可能是一个以6为最小正周期的周期函数．
　　故猜想．
　　点评：归纳推理主要是通过观察、分析某类事物的部分对象，归纳其特征，然后猜想该类事物都具有这些特征，它的关键在于观察过程中如何发现规律．因此，为了更好地进行归纳推理，除要求同学们具备敏锐的观察力外，还要具备一定的数学知识，才能在数学的天空中展开丰富的想象．当然，由归纳推理得到的结论是否正确还有待运用演绎推理来证明，但归纳推理可以为我们的研究提供一种方向，避免研究时的盲目性．
　　例2　设是集合中所有的数从小到大排列的数列，且，，，，，，…．
　　将数列各项按照上小下大、左小右大的原则写成如右所示的三角形数表：
　　（1）写出这个三角形数表中的第4行、第5行各数；
　　（2）求出．
　　分析：对于（1），只需按照集合中元素特征写出三角形数表中前三行各数的指数表示，并观察指数规律，据此归纳、抽象出第4、第5两行数的指数规律，即可写出第4行、第5行各数．对于（2），关键是判断出是这个三角形数表中第几行第几个数，进而便可用（1）所得的指数规律求出．
　　解：（1）将前三行各数写成的形式：第1行：；第2行：，；第3行：，，；由此归纳猜想：第4行：，，，；第5行：，，，，．
　　即第4行各数依次是：17，18，20，24；第５行各数依次为：33，34，36，40，48．
　　（2）由每行上数的个数与行数相同，即第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，由（）得．由前13行共有个数．
　　因此，应当是第14行中第9个数．
　　所以．
　　点评：这里我们运用归纳推理的思维方式解决了问题．特例试验，归纳猜想是理性思维的重要体现，是获得发现的源泉．学习中要善于运用归纳推理，大胆猜想和发现．