二次根式化简常用技巧全.doc

解题技巧
二次根式化简的常用技巧
江苏 朱元生
二次根式的化简和运算是初中数学的重要内容之一,也是中考和数学竞赛中的常见题型.对于特殊的二次根式的化简,除了掌握基本概念和运算法则外,还应根据根式的具体结构特征,灵活选用一些特殊的方法和技巧.这样做,不仅可以化难为易、化繁为简,提高解题速度,收到事半功倍的奇效,而且有助于培养学生分析问题、解决问题的能力及探索求新的学习习惯.现就几类常用的方法和技巧举例说明如下,供同学们参考：
一、巧用乘法公式
例1、化简：
解析：本题的关键是对第二个因式提取后，易发现与第一个因式的数量关系，再变形为两数和与两数差的形式，从而运用平方差公式.
原式=
=
练习：化简：．
解：原式

　　　　．
二、巧用逆运算
例3、化简
解析：本题的关键是巧用积的乘方的逆运算：
原式=
=
练习：化简：．
解：原式
　　　　．
三、巧因式分解
对“分式型”代数式,分子分母都是多项式时,有时可以先分别因式分解,通过约分达到化简目的.
例2、化简
解析：本题的关键是将分子中的8拆数配方因式分解，进而约分求得结果.
原式==
==
化简：。
分析：该题的常规做法是先进行分母有理化，然后再计算，可惜运算量太大，不宜采取。但我们发现（x-y）和（x+y-）可以在实数范围内进行因式分解，所以有下列做法。
解：原式=
        =
=0.

练习：化简

（1）
（2）
解：（1）
（2）
说明：对分母中含二次根式个数较多的式子进行分母有理化，需要较强的观察能力和灵活掌握式子变形的一些技巧。如本例（2），采用因式分解，就容易找到有理化因式；本例（4）逆用分式加法法则，将原式拆成两个式子的和，就容易进行分母有理化。
练：把下列各式分母有理化：
（1）
（2）
解：（1）
原式
（2）原式=

四、巧拆项、裂项 添项
对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能互相抵消,则可用此法.
例4、化简
解析：本题的关键是将分子中的拆成，分母因式分解，进而裂项化简
原式
=
=
练习1、化简：　．
解：原式　　

　　　　　　　．

练习2、
解:因为

巧添项
例6．化简：．
解：原式　

．
化简： .
分析：本题若直接分母有理化显然较复杂，若将分子添加，利用完全平方公式和平方差公式来解决，则会非常简捷.
解：=
=
五、巧换元
当问题的结构过于复杂，难以直接发现规律时，可以通过换元，将结论的形式转化为简单形式，以便于发现解题规律。
例5、化简 +
解析：注意到与的和为，积为2
因此若设=， =
则 +=2 ，
所以，原式=+== ==
练习：化简：．
解：设，则原式

.
练习：化简：。
分析：本题若先计算出将十分复杂，如果将数字转化成字母积的形式，将会出现“柳暗花明又一村”的境界。
解：令，则
原式。
练习：化简。
分析：观察式子的结构，分母中含有三项，若将分母中的根式去掉，必须进行两次以上的运算，运算量大。如果用字母代数的方法，将其转化为有理式运算，则可简化运算过程。
解：设＝a, =b, =c,则＝ac, =bc,a2－b2=2.
原式＝＝
＝＝a－b=－。

练习1、（第十届初二“希望杯”）已知a、b、c都为正数，且
则x与y的大小关系为（ ）
（A）x＞y （B）x＜y
（C）x=y （D）随a、b、c的取值变化而定

练习2、（十二届初二“希望杯”）化简

六、巧构方程
方程法:对于一些带……号的无限循环式的化简,通常可设原式值为x,设法建立一个关于x的方程求解.
例6、化简
解析：本题整体设元可使问题化难为易迅捷获解，设 =
两边平方，得 即
解得 （不合舍去） 所以 =

练习：化简求值
解:设原式=x,则x=两边平方得
即(x-3)(x+2)=0,取正数x=3.

解:设原式=x,

七、巧取倒数
如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解,常常可先取倒再来解决.
例7、化简
解析：此题先取倒数求出倒数的值，从而求得原式的值，可使问题化繁为简，迎刃而解。
设原式=，则
=， ∴原式
练习：

八、平方法
对于被开方数为和差型的复合二次之和（差）,常以退为进，先求出它的平方。

解:设原式=x,则
所以原式=
化简：.
分析：观察式子，发现结果大于0，故可先将整个式子先平方，再求其算术平方根.
解：设=（，则
==3+，因为，所以，即原式=

练习1、化简：．
解：设则
．
．
即．　

练习2、化简：
解：设=
显然则
= ……大胆地用完全平方公式吧！计算量其实不大。
=
=
=
= =
=
，
即原式=

用这种方法可以很轻松地解决下面这道题题。

（4）计算
解：令
则
=10 把这长串式子平方看起来挺复杂，你用完全平方公式配合平方差公式试试，就这么简单。
显然，所以
所以原式的结果为。

评注：当然，，你配方这么做也行。

九、配方法（公式法）（巧用韦达定理）
在复合二次根式中，如果存在x＞0,y＞0,使得
例4 化简
解：原式=

例5 化简
（A） (B)
（C）5 （D）1

1. 型二次根式的化简
例：化简：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
说明：这是一类复合二次根式的化简问题，化简方法如下：
（i）当m=2时，可应用配方法，设法找到两个正数x、y（x>y），使x+y=a，xy=b，则，如本例（1）。
（ii）当时，设法转化为（i）处理：
如果m是大于2的偶数（如本例（2））或被开方数b中含有4的因数（如练习（2）），那么可利用根号内（外）因式的移动，容易转化成型。
如果m=1，b中又不含有4的因数，那么把根号内式子乘以，即可转化为（i），如本例（3）。
如果m是大于1的奇数，那么可先把m移到根号里面，再把根号内式子乘以，转为为（i），如练习（3）。
练：化简
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）