公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数.doc

公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数

1、掌握最大公因数和最小公倍数的求法；
2、会解有关最大公因数和最小公倍数的应用题；
【知识点1】最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数.其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
【知识点2】最大公因数求法
1、列举法 
先找出两个数的（因数)，再找出两个数的（公因数）,最后找出二个数的(最大公因数)  
找8和6的最大公因数           
8的因数有1、2、4、8                     
6的因数有1、2、3、6           
8和6的最大因数数是2。
2、观察法（特殊情况)
1） 两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数就是其中较小的数。 
2） 两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最大公因数就是1。
3） 两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法
案件分解：
l 两个数具有倍数关系的，它们的最大公因数是其中较小的数。
8和16的最大公因数 （ 8 ） 4和8的最大公因数（ 4 ）
9和3的最大公因数（ 3 ) 28和7的最大公因数（ 7 ）
l 两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1）,它们的最大公因数就是1。
² 相邻两个自然数(0除外)
2和3的最大公因数是( 1 ) 8和9的最大公因数是（ 1 ) 99和98的最大公因数是( 1 ）
² 两个不同的质数
5和7的最大公因数是（ 1 ） 17和29的最大公因数是（ 1 ） 11和19的最大公因数是（ 1 ）
² 两个互质的合数
4和9的最大公因数是（ 1 ） 20和49的最大公因数（ 1 ） 25和69的最大公因数是（ 1 ）
l 两个数不是倍数和互质关系，用小数缩小法
把较小的数缩小（除以2、3、4……)每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。
18和48的最大公因数 
先用小数 18÷2=9，9不是48的因数，18÷3=6,6是48的因数，那么18和48的最大公因数6。
16和36的最大公因数 
16÷2=8，8不是36的因数，16÷4=4,4是36的因数,那么16和36的最大公因数4。
3、短除法 （一般情况）
用短除法求二个数的最大公因数，一般用这两个数除以它们的(公因数）,一直除到所得的两个商只有公因数1为止。然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。

求16和24的最大公因数
16 24
2
8 12
2
4 6
2
2 3

16和24的最大公因数2×2×2=8，
可以表示为(16，24）=8。
求12和20的最大公因数

12 20
2
6 10
2
3 5

12和24的最大公因数2×2=4，
可以表示为(12，20)=4。
【知识点3】互质数
互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。 
两数互质的情况： 
1) 1和任何自然数互质；
2) 相邻两个自然数互质:2和3、 8和9 ……
3) 两个质数一定互质：5和7、19和29……
4) 两个合数可能是互质数：8和9、25和49……
5) 2和所有奇数互质：2和31、2和99…… 
6) 质数与比它小的合数互质:8和29、9和59……
质数与互质数的区别:
质数是对一个数来说,互质数是对两个数的关系来说的。
练习一:
说说每组数是不是互质关系或倍数关系,再求出它们的最大公因数。
5和11 8和9 4和8 8和10

9和6 28和7 5和8 20和25
【知识点4】最小公倍数
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
【知识点5】最小公倍数的求法
1、列举法
先分别写各自的（倍数），再找它们的（公倍数)，然后在公倍数里找它们的（最小公倍数）
找6和8的最小公倍数。 
6的倍数有：6，12，18,24，30，36，42，48，……        
8的倍数有:8，16,24,32,40,48，…… 
6和8的公倍数：24,48，……其中24是6和8的最小公倍数。
2、观察法(特殊情况）
1） 两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中较大的数。 
2） 两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1），它们的最小公倍数就是它们的乘积。
3） 两个数不是倍数和互质关系,大数翻倍法。
案件分解：
l 两个数具有倍数关系的，它们的最小公倍数就是其中较大的数.
8和16的最小公倍数 ( 16 ) 4和8的最小公倍数（ 8 ）
9和3的最小公倍数（ 9 ） 28和7的最小公倍数（ 28 ）
l 两个数是互质数的（互质数就是两个数只有公因数1)，它们的最小公倍数就是它们的乘积。
² 相邻两个自然数(0除外)
2和3的最小公倍数是（ 6 ) 8和9的最小公倍数是( 72 ） 99和98的最小公倍数是（ 9702 ）
² 两个不同的质数
5和7的最小公倍数是（ 35 ） 17和29的最小公倍数是（ 493 ） 11和19的最小公倍数是（ 209 ）
² 两个互质的合数
4和9的最小公倍数是（ 36 ） 20和49的最小公倍数（ 980 ) 25和69的最小公倍数是（ 1725 ）
l 两个数不是倍数和互质关系，用大数翻倍法
把较大的数翻倍(乘以2、3、4……）每次翻倍后看得到的积是不是另一个数的倍数，直到所得的积是另一个数的倍数为止。
18和48的最小公倍数 
先用小数 48×2=96，96不是18的倍数，48×3=144,144是18的倍数,那么18和48的最小公倍数是144。
16和36的最小公倍数 
36×2=72，72不是16的倍数，36×3=108，108不是16的倍数,36×4=144，144是16的倍数，那么16和36的最小公倍数144。
3、短除法 （一般情况）
用短除法求二个数的最小公倍数，一般用这两个数除以它们的（公因数），一直除到所得的两个商只有公因数1为止。然后把最后所有的除数和商连乘，就得到了二个数最小公倍数。

求16和24的最小公倍数
16 24
2
8 12
2
4 6
2
2 3

16和24的最小公倍数2×2×2×2×3=48，
可以表示为[16，24］=48。

求12和20的最小公倍数

12 20
2
6 10
2
3 5

12和24的最小公倍数2×2×3×5=60，
可以表示为［12,20]=60

练习二：
（1）说说每组数是不是互质关系或倍数关系，再求出它们的最小公倍数。
5和11 8和9 4和8 8和10

9和6 28和7 5和8 20和25

（2）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。
2和8 3和8 6和15 6和9 4和10 8和10

【知识点6】最大的公倍数
l 两个数有没有最大的公倍数？为什么？
因为每一个数的倍数的个数都是无限的，所以两个数的公倍数的个数也是无限的。因此，两个数没有最大的公倍数。
l 如果给定一个范围，两个数的最大公倍数存在吗？
在给定的范围内,两个数的最大公倍数是存在的。

【知识点7】最大公因数与最小公倍数的应用

1、兴趣小组有24个女生，32个男生现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学?多少个女同学？ 
想：小组的个数在24之内，并且小组的个数是24和32的公因数，又问最多能分多少个小组，所以小组个数是24和32的最大公因数. 
（24，32）=8            24÷8=3(人)    32÷8=4(人) 
答：最多可以分成8组;每组最多有3个女生，4个男生。  

2、 有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？ 
只能求出最小公倍数,最大公因数却要另考虑 
想:这包糖8个人正好分，10个人也正好分，说明这包糖的块数是8和10的公倍数，又问这包糖至少有多少块，所以要求的这包糖是8和10的最小公倍数。若是问这包糖有多少块？那只要是8和10的公倍数都符合要求，而8和10的公倍数有无数个，没有范围。                  
 ［8，10］=40     
答：这包糖至少有40块。 

3、 同学们参加文艺表演,人数在60—80之间.如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。参加文艺表演的学生有多少人？ 
想：分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完,说明表演的人数是3，4，6和8的公倍数，［3，4，6，8］=24，而人数又在给定范围．．．．60—80间，所以求的是在60—80间的3，4，6和8的最大公倍数，即48. 
答：参加文艺表演的学生有48人。 
由此可见，在一定范围内的需求最大公因数，没有范围的需求最小公倍数.给定范围的可求最大公倍数.