二次函数的应用第一课时教学设计.doc

第二章 二次函数
《二次函数的应用（第1课时）》
教学设计说明
茂名市公馆第一中学 陈美玲
一、学生知识状况分析
在本章前，学生已通过探索变量之间的关系、探究一次函数和反比例函数，逐步建立了函数的基础知识，初步积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验.在本章的学习中，学生已研究了二次函数及其图象和性质，并掌握了求二次函数最大（小）值的一些方法，这些知识都为本节课的学习奠定了良好的知识基础.

二、教学任务分析
教学目标
知识目标：
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
能力目标：
1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
情感态度与价值观：
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．

教学重点
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．

教学难点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大（小）面积问题．

三、教学过程分析
一、复习回顾
（配方法）
（公式法）
求下列二次函数的顶点坐标,并说明随的变化情况：

【设计意图】：引导学生复习前面所学过的内容，由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值，因此和同学们一起复习二次函数最值的求法，以及二次函数的增减性，为本节课的学习做好准备.

二、探究应用
1、情境引入
(1) 请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.
(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？
【设计意图】：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路.

例1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为米，面积为S平方米.
(1)求S与的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .

A
B
C
D

【设计意图】：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程.

2、变式探究一：如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AN=40m，AM=30m，
(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为,当取何值时,的最大值是多少?
C
B
D
A
N
M

D
A
B
C
M
P
N
变式探究二：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？

变式探究三：如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm,
BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G
分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?
A
B
C
D
E
F
G

【设计意图】：通过由学生讨论怎样用直角三角形剪出一个最大面积的矩形入手，由学生动手画出两种方法，和同学一起从问题中抽象出二次函数的模型，并求其最值，同时通过两种情况的分析，训练学生的发散思维能力，关键是教会学生方法，也是这类问题的难点所在，即怎样设未知数，怎样转化为我们熟悉的数学问题.在此基础上对变式三进行探究，进而总结此类题型，得出解决问题的一般方法.

例2.在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，点P从点A出发沿AB边向点B以1/秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2/秒的速度移动.如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设运动时间为t秒（0<t<6)，回答下列问题：
（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8；
A
B
C
D
P
Q
（2）设五边形APQCD的面积为S，写出S与t的函数关系式，t为何值时S最小？求出S的最小值.

【设计意图】：将动点问题引入，使学生进一步增强二次函数的应用意识，提升思维能力.

三、归纳总结
“二次函数应用”的思路：
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.运用数学知识求解;
5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.

四、巩固练习
习题2.8 第1题
1.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字型的窗框，如果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时，窗架的面积最大？

五、拓展提升
1.如图, 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,点D在BC上运动(不运动至B,C),DE∥AC,交AB于E,设BD=,△ADE的面积为.
(1)求与的函数关系式及自变量的取值范围;
(2)为何值时,△ADE的面积最大?最大面积是多少?

2.有一根直尺的短边长2，长边长10，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为12．按图1的方式将直尺的短边DE放置在直角三角形纸板的斜边AB上，且点D与点A重合．若直尺沿射线AB方向平行移动，如图2，设平移的长度为（），直尺和三角形纸板的重叠部分(即图中阴影部分)的面积为S ．
（1）当=0时，S=_________；
当= 10时，S =_________；
（2）当0＜ ≤4时，如图2，求S与的函数关系式；
（3）当6＜＜10时，求S与的函数关系式；
（4）请你作出推测：当为何值时，阴影部分的面积最大？并写出最大值．

A
B
C
备选图二
x
F
E
G
A
B
C
图2
A
B
C
备选图一
图1
(D)
E
F
C
B
A

六、谈谈本节课你的收获

七、布置作业：
习题2．8 1、2

四、教学反思
本节课通过“理解问题—分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系—用
数学的方式表示它们之间的关系—做数学求解—检验结果的合理性并给出问题的解答”的教学流程，使学生不仅获得了书本上的知识，而且拓展知识应用，渗透数学思想方法，体现应用与创新意识.新课程给数学带来的变化是更注重学习的过程（包括思维的过程和感受的过程），更强调对数学的体验，以及数学学习的多样化等等，其实也就是更注重学生的数学综合能力的培养.
在课堂教学过程中，注重以学生的自主探究为主，从提出问题到解决问题，说明知识来源于生活，而又服务于生活，体现了理论联系实际的教学原则.从集体讨论——个别发言——总结归纳，符合学生的年龄特征.通过本节学习，学生不但从实际问题中理解数学知识，体会数学的乐趣，而且从能力上、思想上都达到一个新的境界.
通过本节课的教学看到学生在计算上还存在很大问题，在这方面要注意培养学生的准确计算能力，同时还看到学生的潜力很大，作为教师要充分发挥学生的主观能动性，为学生的发展提供足够的时间和空间.
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