高三数学-不等式解析汇编-新人教A版.doc

数学不等式解析汇编
不等式问题中涉及的方法与技巧很多，这几年高考中对不等式的要求有所降低。但我们对一些较常见的方法与技巧也必须要有一定的了解。下面通过几个具体的例题，来说明一下，希望对学生解题能力的培养与方法的提升有所帮助。
一、配凑系数的技巧
例1设x、ｙ、ｚ都是正数，则的最大值为（　　）。
Ａ、１　　　Ｂ、２　　　Ｃ、　　　Ｄ、
分析：在我们用均值不等式时，经常会用到配凑系数来求最值。显然如果我们直接处理，显然与分母的比值不是常数。我们很希望通过利用均值不等式将分子中的系数调整为1，如何实现这个目标呢？我们注意到的系数为1，而的系数为2。联想到三角函数中的化一公式（或称辅助角公式），，（其中。我们不妨可以借鉴这里所使用的方法来处理，从而对y的系数进行调整。提出来，这样。这样y2的系数调整成1，分子与分母的比值为常数。也实现了我们的最初目的。这里我们处理的手段就是配凑系数。
解法略。
二、常值代换的技巧.
例2、已知的最小值为 。
分析:有些不等式问题中在求最值和范围时要利用常数“1”的代换技巧
解：，
,
当且仅当.故最小值为16.
评析：本题除此法外，还可以用三角换元的方法。
三、巧妙赋值.
例3. 设实数a使得不等式|2x−a|+|3x−2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ ）
A. 　　　B. C. 　　 D. [−3，3]
分析：我们可用附值法可若令，则有，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。注意若仅令x=0或将会得到错误结果。
我们有更一般的解决方法吗？对k∈R，不妨令，（当然也可令），则原不等式为，
由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立。由于
，
所以，从而上述不等式等价于。
四、函数与数形结合思想的运用
例4． 已知恒成立,则的取值范围为 .
分析： 此不等式是一个超越不等式，要求出a的范围有些同学可能会想到反解a，但是这显然做不到。这样我们不妨将原不等式变形为
设函数，这两个函数我们还是较熟悉的。在同一坐标系内，分别作出它们的图像。由函数的单调性及图像可知:
当
当.故的取值范围为.
五、两边夹的思想方法
两边夹的方法，对于解决不能通过计算准确求解的不等式问题是一种很好的方法。在以前的高考中也曾出现过。这种方法很好的考查了学生的思维。
例5．已知函数满足，对一切实数恒成立，则
分析：因为对一切实数恒成立，不妨令，则有。
另外，还有构造法及一些特殊不等式如柯西不等式.有兴趣的同学可以参考一些课外资料学习一下.
跟踪练习：
1、已知，则的最大值为（ ）。
Ａ、１　　　Ｂ、２　　　Ｃ、　　　Ｄ、
2、命题：关于的不等式对于一切实数均成立，命题：，则是成立的（ ）。
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
3、已知函数，若存在实数，当时恒成立，则实数的最大值为
(A) (B) (C) (D)
4、已知的最小值为 .
5、 设二次函数满足条件：
（1）当时，
（2）当；
（3）在R上的最小值为0.
则= .
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