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《圆锥曲线》综合练习题
陕西 刘永春
一、 选择题
1. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）.
. . . .
2. 椭圆，（为参数）的焦点坐标为（ ）.
. . . .
3. 若椭圆 上一点到右焦点的距离是，则点到左准线的距离是( ).
. . . .
4. 设是双曲线 上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点. 若 ，则 ( ).
. 或 . . .
5. 设，则二次曲线的离心率的取值范围是（ ）.
. . . .
6. 已知椭圆 和双曲线 有公共焦点，那么双曲线的近线方程是( ) .
. . . .
7. 若抛物线的焦点是，则的值是( ).
. . . .
8．已知直线与曲线相交于两点，坐标原点与线段中点的连线斜率为，则的值是（ ）.
.　 . 　　 .　 .
9．若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率为( ).
. . . .
10. 过定点作直线, 使与曲线有且仅有一个公共点, 这样的直线共有( ).
.1条 . 2条 . 3条 . 4条
11. 圆锥曲线的离心率为，经过焦点的弦，、两点到焦点同侧的准线的距离之和为，则与的比为（ ）.
. . . .
12. 已知、、三点，若椭圆以为一个焦点，并且经过、两点，则该椭圆的另一个焦点的轨迹是( ) .
. 双曲线的一支 . 一条直线 .一条抛物线 .一个椭圆的一部分
二、填空题
13. 已知椭圆的离心率，则的值等于 .
14. 过抛物线的焦点，倾斜角为的直线与圆相切，则抛物线的准线方程为 .
15．以双曲线左焦点，左准线为相应焦点、准线的椭圆截直线所得的弦恰被轴平分，则的取值范围是 .
16. 某河上有抛物线拱桥, 当水面距拱顶时, 水面宽. 一木船宽, 高, 载货后木船露在水面上的部分高. 当水面上涨到与抛物线拱顶 时, 水船开始不能通航 .
三、解答题
17.(10分)过点作抛物线的弦，恰被所平分，求所在直线的方程.
18．(12分)已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为，求此椭圆的方程.
19. (12分)双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线方程.
20．(12分)已知定点，过点作倾斜角为的直线交于、两点，且，，成等比数列，求抛物线方程.
21．(14分)已知椭圆的离心率 ，其左焦点、左准线分别为抛物线的焦点和准线.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 已知过抛物线焦点的直线与原点间的距离不超过,求直线倾斜角的变化范围.
22．(14分)已知直线与双曲线的左支交于、两点.
（1）求斜率的取值范围；
（2）若直线经过点及线段的中点，且在轴上截距为，求直线的方程.
《圆锥曲线》综合练习题答案
一、 1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
二、 13. 或 14. 15. 16.
三、17．解：设弦所在的直线方程为，，消去整理，得.
设，，由韦达定理得.
又 是中点， ，，.
弦所在的直线方程为.
18．解：若椭圆的焦点在轴上，则方程为，则两焦点，，短轴的一个端点为，且，由为正三角形知，， ，又焦点到椭圆上的点的最短距离为，
， 解之得，， 椭圆方程为.
同理，若椭圆的焦点在轴上，则椭圆方程为.
19．解：依题意，设所求双曲线方程为：，
则.
又 ， .
故所求双曲线方程为.
20．解：直线方程为，将其代入，
整理为. ， .
设，， ，.
，，成等比数列， ，
即 ，
整理为.
将，代入上式，解得.
抛物线方程为.
21．解：（1），，.
,,.
设椭圆的中心为,则 ,.
椭圆的方程为 .
（2）设过抛物线焦点的直线方程为 ,当直线的倾斜角 时,到原点的距离 , .
原点到直线的距离 , .
,或.
22．解：（1）将代入中有.
设，，由题意得
.
（2）由已知条件可得的方程为 （*）
的坐标为，即.
代入（*）有，或（舍去）.
的方程为.
附：略解或提示
4. 因渐近线方程为可知，则双曲线方程为.
又 ，则是左支上一点，根据，可知.答案:
5. 方程可化为，可知二次曲线为双曲线， ， .
，， .
，.答案:
6. 由双曲线方程判断出公共焦点在轴上， 椭圆焦点，双曲线焦点，
，，.又 双曲线渐近线为，代入得.答案:
7. 因为抛物线的焦点是，故有方程，即，.答案:
8. 将直线方程代入曲线方程得.
由韦达定理和中点坐标公式可得点， .答案:
9. 抛物线的准线为，双曲线的左准线为.
两线重合则有，，解得，则双曲线是等轴双曲线，.答案:
10. 过点, 当∥轴，⊥轴或与抛物线相切时都满足题意.答案:
11. 分别由、作准线的垂线，设垂足为、. 则,
, 即 .答案:
12. 由椭圆定义知. 又， ,
, 即.
又由双曲线的定义知, 点的轨迹是依、两定点为焦点的双曲线左支.答案:
13. 分类讨论：时，， .时，， . 14. 设直线方程为，即.圆心到直线的距离，解得.答案:
15. 由条件 ,,设椭圆中心,则.由椭圆截直线所得的弦恰被轴平分，则直线过椭圆的中心,即, ,解得 .答案:
16. 设抛物线方程为, 则有在其上, 得.
又时, , .答案:
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