中考专题训练——二次函数综合问题.doc

专题训练七函数——综合型问题
二次函数
第1课时
类型一：线段、周长、面积最值问题：
例1 （2015重庆南开）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且B点的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点C为该抛物线的顶点，D为直线AB上一点，点E为该抛物线上一点，且D、E两点的纵坐标都为1，求△CDE的面积．
（3）如图②，P为直线AB上方的抛物线上一点（点P不与点A、B重合），PM⊥x轴于的M；交线段AB于点F，PN∥AB，交x轴于点N，过点F作FG∥x轴，交PN于点G，设点M的坐标为（m，0），FG的长为d，求d与m之间的函数关系式及FG长度的最大值，并求出此时点P的坐标．

例2 （2015重庆一中）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，﹣3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）点M是（1）中抛物线上一个动点，且位于直线AC的上方，试求△ACM的最大面积以及此时点M的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

中考达标训练
1、（2015重庆八中）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，-5）。
（1）求直线AC的函数表达式；
（2）若点D是抛物线在x轴上方图象上的一动点，过点D作DE∥y轴交直线AC于点E，求DE的最大值；
（3）在（2）的条件下，当DE取得最大值时，若点P是抛物线在x轴上方图象上任意一点，设△ACP的面积为S1，△ABE的面积为S2，且S1=2S2，求点P的坐标。

2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；
（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

4、（2015江苏）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．
（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？

第2课时

类型二：等腰三角形和直角三角形、特殊四边形存在性问题
例1 已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在B的左边），抛物线与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2 （2015重庆南开）如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0）、B（3，0）．
（1）求抛物线及直线BC的解析式；
（2）若P为抛物线上位于直线BC上方的一点，求△PBC面积S的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）直线BC与抛物线的对称轴交予点D，M为抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点M的坐标．

中考达标训练
1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2、（2015重庆外语校）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点的坐标是（4，-3）。
（1）求抛物线解析式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一动点，过点M作MN∥y轴交直线l于点H，交x轴于E，当△ACM的面积最大时求点M的坐标及△AEN的周长；
（3）在（2）的条件下，在△ACM取最大面积时，点P在直线AC上，平面内是否存在点Q，使M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形？如果存在求出Q点的坐标；如果不存在请说明理由。

3、（2015四川成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

4、（2015重庆马蜀）如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2，直线y=x﹣2经过点C，交y轴于点G．
（1）求C，D坐标；
（2）已知抛物线顶点y=x﹣2上，且经过C，D，若抛物线与y交于点M连接MC，设点Q是线段下方此抛物线上一点，当点Q运动到什么位置时，△MCQ的面积最大？求出此时点Q的坐标和面积的最大值．
（3）将（2）中抛物线沿直线y=x﹣2平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

第3课时
类型三：二次函数中的面积倍分问题
例1 （2015春•重庆校级月考）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（3，0），点B（﹣1，0），与y轴负半轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，直线BC与抛物线的对称轴交于点K，将直线AC绕点C按顺时针方向旋转α°，直线AC在旋转过程中的对应直线A′C与抛物线的另一个交点为M．求在旋转过程中△MCK为等腰三角形时点M的坐标．

例2 （2015重庆南开）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴，y轴分别交于点B、C，抛物线经过点B、C，且与x轴的另一个交点为A（-1，0），连接AC。
（1）求抛物线的解析式；
(2)点D在线段BC上方的抛物线上，连接DC、DB，若△BCD和△ABC面积满足
,求点D的坐标；
（3）如图2，E为OB中点，设F为线段BC上一点(不含端点)，连接EF，一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止，当点F的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？最少时间是几秒？

中考达标训练
1、如图，二次函数的图象与X轴交于点A、B，与y轴交于点C，tan∠CBO=2,点P是第二象限的抛物线上一点（不与A、C重合）。
（1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，连接PA、PC，求四边形PACO面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）如图2，若直线BP把△ABC的面积分成1：3的两部分，求出点P的坐标。

2、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式及其顶点坐标；
（2）如图①，点P是抛物线上位于x轴下方的一点，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，过点P、Q分别向x轴作垂线，垂足为点D、E，记矩形DPQE的周长为d，求d的最大值，并求出使d最大值时点P的坐标；
（3）如图②，点M是抛物线上位于直线AC下方的一点，过点M作MF⊥AC于点F，连接MC，作MN∥BC交直线AC于点N，若MN将△MFC的面积分成2：3两部分，请确定M点的坐标．

3、平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣3，0），（0，3），对称轴直线x=﹣1交x轴于点E，点D为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且S△PAC=2S△DAC，求点P的坐标；
（3）点M是第一象限内抛物线上一点，且∠MAC=∠ADE，求点M的坐标．

4、（2015攀枝花）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第4课时

类型四：满足给定的角相等条件，求动点坐标
例1 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c，点E为第二象限内抛物线上一动点，连接AE，BE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△ABE面积最大时，求点E的坐标，并求出此时△ABE的面积；
（3）当∠EAB=∠OAB时，求点E的坐标．

例2 （2015重庆一中）已知如图，直线y=﹣x+2分别交y轴、x轴于C、A两点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点C和点A，且过点B（﹣1，0），点D为抛物线的顶点，连接CD、AD．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）已知点P为线段CD上一点，连接AP，线段AP将△ACD分成两个部分，并且S△ACP：S△ADP=1：2，试求直线AP的解析式；
（3）连接BC，试在抛物线上找一点R，使∠ACR=∠BCO，设R的横坐标为m，求m的值．

中考达标训练
1、（2015重庆八中）已知：二次函数y=x2+2x﹣3与x轴交于点A、点B（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．连接AD、CD，过点A、点C作直线AC．
（1）求点B、D的坐标及直线AC的解析式；
（2）若点E为抛物线上一点，点F为直线AC上一点，且E、F两点的纵坐标都是2，求线段EF的长；
（3）该抛物线上存在点P，使得∠APB=∠ADC，求出P的坐标。．

2、（2015重庆巴蜀）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．
①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；
②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请直接写出线段BM的长．

3、（2015西大附中）如图，抛物线与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥X轴于点E，交CD于点F.
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；
（3）若存在P，使∠PCF=45°,请求出点P的坐标。

4、（2015•枣庄校级模拟）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且tan∠ABC=，作垂直于x轴的直线x=m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
（2）若△CEF为等腰三角形，求m的值；
（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若∠BPM=∠ABC，求P点的坐标．

第5课时

类型五 二次函数中的动态几何问题
例1 （2016重庆八中）如图1，在平面直角坐标中，抛物线的图像与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为D。
（1）求抛物线和直线AD的解析式；
（2）点Q是抛物线上第一象限内一动点，过点Q作QN∥AD交BC于N，QH⊥AB交BC于点M，交AB于点H（如图1），当点Q坐标为何值时，△QNM的周长最大，求点Q的坐标及△QNM周长的最大值；
（3）直线AD与y轴交于点F，点E是点C关于对称轴的对称点，点P是线段AE上一动点，将△AFP沿着FP所在的直线翻折得到△A’FP（如图2），当△A’FP与△AED重叠部分为直角三角形时，求AP的长。

例2 （2015秋•重庆校级期中）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），直线l：y=x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是x轴上方抛物线上对称轴左侧一动点，过点P分别作PE∥x轴交抛物线于点E，作PF⊥l交于点F，若PF=EP，求点P的坐标；
（3）如图，抛物线顶点为G点，连接CG、DG，设抛物线对称轴与直线CD、x轴的交点为N、Q，以AQ、NQ为边作矩形AQNM．现将矩形AQNM沿直线GQ平移得到矩形A′Q′N′M′，设矩形A′Q′N′M′与△CDG的重叠部分面积为T，当3S△N'CD=5S△N'CO时，求T的值．

中考达标训练
1、（2015重庆八中）已知：如图，抛物线y=﹣x2+2x与x轴正半轴交于点A．
（1）在x轴上方的抛物线上存在点D，使△OAD为等腰直角三角形，请求出点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，连接AD，在直线AD的上方的抛物线上有一动点C，连结CD、AC，当△ACD的面积最大时，求直线OC的解析式；
（3）在（1）、（2）的条件下，作射线OD，在线段OD上有点B，且=，过点B作FB⊥OD于点B，交x轴于点F．点P在x轴的正半轴上，过点P作PE∥y轴，交射线OC于点R，交射线OD于点E，交抛物线于点Q．以RQ为一边，在RQ的右侧作矩形RQMN，其中RN=．请求出矩形RQMN与△OBF重叠部分为轴对称图形时点P的横坐标的取值范围．

2、（2015外语校）如图，已知抛物线交x轴于A（-1，0），B（9，0）两点，点C(0,-3)为抛物线与y轴交点，连接AC、BC。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上有一点D（4，-5），连接CD、BD，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）将△BCD绕点C顺时针旋转360°，得到△CB’D’,直线CB’,DB’与对称轴分别交于M、N在旋转过程中，当B’,M,N三点构成的三角形是直角三角形；
①求B’M的长；②求△CB’D’与△BCD重合部分的面积。

3、（2015重庆育才）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A、C的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3），直线x=1为抛物线的对称轴，点D为抛物线的顶点，直线BC与对称轴相交于点E．
（1）求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标；
（2）点P为直线x=1右方抛物线上的一点（点P不与点B重合），记A、B、C、P四点所构成的四边形面积为S，若S=S△BCD，求点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上的动点，将△DEQ沿边EQ翻折得到△D’EQ，是否存在点Q使得△D’EQ与△BEQ的重叠部分为直角三角形，若存在，请求出BQ的长，若不存在，请说明理由。

4、（2015重庆一中）如图1，已知抛物线y=﹣x2+x+与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）求线段DE的长度；
（2）如图2，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少；
（3）在（2）问的条件下，将得到的△CFP沿直线AE平移得到△C′F′P′，将△C′F′P′沿C′P′翻折得到△C′P′F″，记在平移过称中，直线F′P′与x轴交于点K，则是否存在这样的点K，使得△F′F″K为等腰三角形？若存在求出OK的值；若不存在，说明理由．