实际问题与反比例函数教学设计.doc

课题：17．2实际问题与反比例函数
本节课选自数学人教版八年级下册十七章第二小节第一课时，是在之前学习过反比例函数的概念、图象及其性质之后，进一步引导学生探索生活中的反比例函数的情境，并且运用数学的建模思想将实际问题转化成反比例函数的模型，再借助其图像和性质解决实际问题。
二、教学目标：
（一）知识与技能
1．能灵活利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．利用反比例函数求出问题中的值
3．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力
（二）过程与方法
在运用反比例函数解决实际问题的过程中，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识，在“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程中，发展学生分析问题、解决问题的能力。
（三）情感、态度与价值观
运用反比例函数解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学生学习数学方的兴趣，同时也进一步培养了学生合作交流的意识。
三、教学重点
运用反比例函数的意义和性质解决实际问题
四、教学难点
从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
难点的突破方法：
用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。
五、课型课时：新授课、标准课
六、教学手段：多媒体辅助教学
七、学法解析
1．认知起点：前面已经学过了函数、一次函数、反比例函数并且积累了一定的经验，以此为基础，加强对反比例函数的应用．
实际问题
建立反比例函数模型
根据解析式中变量的对应关系
根据反比例函数的图象和性质
2．知识线索：

3．学习方式：以生活情境为素材，采用自主、合作、交流、汇报的方式，解决“数学建模”问题
八、学生准备：1．复习已学的反比例函数的概念、图象、性质；
2．预习本节课内容，尝试收集有关本节课的情境资料．

九、教学过程：
（一）复习引入：（出示幻灯片1）
1.反比例函数的概念：形如y= (k为常数，且k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于零的一切实数。
2.反比例函数的图像和性质（用图表的形式回顾，增强记忆效果）
函数
x
y
o
图象
位置
增减性
共同点

反比例函数 y=
（k≠0）

k＞0

一、三
象限
(x、y同号)
在每个象限内，
y随x的增大
而减小。
x≠0，
y≠0.
双曲线与坐标轴无限接近，永不
相交.

k＜0

x
y
o

二、四
象限
(x、y异号)
在每个象限内，
y随x的增大
而增大。
（二）创设情境：你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中渗透着数学知识：把移动体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）x（mm2）的反比例函数，其图象如下图：
请你观察图象，写出y与x的函数关系式.
【设计意图】：创设问题情景，让学生进一步熟悉反比例函数的图象及其性质，为本节课的学习打下坚实的基础。同时，如此贴近生活的案例能够较好的激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣，初步体会数形结合的数学思想在函数领域的重要作用。
（三）例题讲解：
例1：市煤气公司要在地下修建一个容积为
104 m3的圆柱形煤气储存室。
（1） 储存室的底面积S（单位：m2）与其深度
d（单位：m）有怎样的函数关系？
（2） 公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，
施工队施工时应该向下掘进多深？
（3） 当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金，公司临时改计划，把储存室的深改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要。（结果精确到0.01 m2）
实际问题
S=（数学模型）
当S=500 m2时求d
当d=15 m时求S
分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，
容积为104，底面积是S，深度为d，
满足基本公式：圆柱的体积 ＝底面积×高，
由题意知S是函数，d是自变量，
改写后所得的函数关系式
是反比例函数的形式，
（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值.
（3）问则是与（2）相反.
【设计意图】
教材第50页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题意图使学生对反比例函数的应用有个初步的了解，培养学生分析解决实际问题的能力，同时渗透了数学建模思想，提高了同学们的转化意识。教学中要进一步规范学生的解题过程，使学生养成良好的解题习惯。
（四）同步练习：
1. 矩形的面积为20，长为x，宽为y，则y与x之间的函数关系图像大致为图中的（ ）

B
C
D
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
1
6
1
6
2.如果三角形的面积为3cm2，那么它的底边长cm与高cm之间的函数图象大致为（ ）

3. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的总面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图像大致是图中的（ ）

【设计意图】：连续三道关于反比例函数图像的辨别题，目的在于系统快速的训练学生能从实际问题中归纳出反比例函数模型，继而选定双曲线，同时考虑到实际问题中变量通常为正数，所以只能取得图象中位于第一象限的一支曲线或是一条曲线段。
t（h）
O
V（m3）
4
12
变式训练：1. 如图所示为一蓄水池每小时的排水量V（m3）与排完水池中的水所用时间t（h）之间的函数图像，若要用6h排完池中的水，则每小时的排水量为 。
x
O
E
P
F
y
2.如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为8，则图中反比例函数的表达式为 .
【设计意图】：再进一步借助数形结合的思想，先确定反比例函数的解析式，再根据给定的自变量取值，求出相应的函数值.
（五）活动与探究：清明节小假期，我带我们班的学生去黄河边踏青春游，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地.为了安全、迅速地通过这片湿地，学生们沿着前进的路线铺了若干块木板，构筑成一条临时通道，木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示.
⑴ 请直接写出函数表达式和自变量S的取值范围.
⑵ 当木板面积为0.2 m2时，压强时多少？
1
1.5
2
2.5
3
4
200
400
600
A
S/㎡
p/Pa
⑶若湿地能承受的最大压强为6000Pa，那么木板面积至少应为多少，才能保证我们师生的安全呢？

【设计意图】：
补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题。这一情境设置也是为了能贴近学生的生活，进一步激发求知欲和浓厚的数学学习兴趣。
（五）课堂小结：本节课你有什么收获？
1.生活中常见的能应用反比例函数的事例归纳：
（1）面积一定时，矩形的长与宽成反比例；（矩形面积=长×宽）
（2）面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例；
（三角形面积=×底×高）
（3）体积一定时，柱（锥）体的底面积与高成反比例；
（圆柱体积=底面积×高）
（4）工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；
（工作总量=工作效率×工作时间）
（5）总价一定时，单价与商品的件数成反比例；（总价=单价×数量）
（6）路程一定时，速度与时间成反比例．（路程=速度×时间）
…………
2. 学会把实际问题转化为数学问题，能用函数的观点分析、解决实际问题，从始至终贯穿着“数形结合”的思想。
归纳
数学中反比例
函数解析式
现实生活中的反
比例函数关系

建模

联系
数形
结合

解决
实际应用
反比例函数的
图象和性质

（六）布置作业： 课本：54页练习1. 和55页5
十、板书设计：
17、2实际问题与反比例函数（1）

例1：

现实生活中的反
比例函数关系
数学中反比例
函数解析式
反比例函数的
图象和性质
实际应用
归纳
建模
数形
结合
解决
联系

十一、教后反思：