七年级数学暑假专题一-数学思想解读华东师大版-知识精讲.doc

七年级数学暑假专题一 数学思想解读华东师大版

【本讲教育信息】
一、教学内容：
专题一 数学思想解读

二、内容概要
数学思想方法是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中，掌握一定的数学思想和方法远比掌握一般的数学知识有用的多. 通过七年级下册数学的学习，同学们应进一步理解和感受方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等几种数学思想方法.

三、知识点分析
1. 方程思想.
所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法.方程知识是初中数学的核心内容，理解方程思想并应用于解题当中十分重要.课本中第6章、第7章列一次方程（组）解应用题就是方程思想的具体应用.
2. 数形结合思想
数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，每个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述.数形结合思想即是把代数、几何知识相互转化、相互利用的一种解题思想. 在一元一次不等式（组）中，用数轴表示不等式的解集就是数形结合的具体体现.
3. 分类讨论思想
分类讨论思想就是要针对数学对象的共性与差异性，将其区分为不同种类，从而克服思维的片面性，有效地考查学生思维的全面性与严谨性.要做到成功分类，需注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类对象；二是找出科学合理的分类标准，满足不重不漏的原则.
4. 转化思想
转化是解数学问题的一种重要的思维方法.转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，就解题的本质而言，解题就意味着转化，即是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”转化为“简单”，把“陌生”转化为“熟悉”，把“抽象”转化为“具体”，把“一般”转化为“特殊”，把“高次”转化为“低次”，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等等.
5. 整体思想
研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大考查问题的视角，将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的，这就是整体思想.
6. 由特殊到一般的归纳思想：
在研究数学问题时，常常通过对特殊情况的问题的探究，推广到一般情况，从而归纳出一般规律. 本章中多边形的内角和、多边形的外角结论的得出，都采用了由特殊到一般的归纳思想.
7. 对称思想
数学家赫尔曼外尔曾经说过：对称是一种思想，通过它，人们毕生追求并创造次序、美丽和完善……”.利用对称思想，同学们可较简单地进行图案设计并能解决一些有关对称的数学问题.

【典型例题】
例1. 一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数.
分析: 根据“边形的内角和等于”与“多边形的外角和等于”和已知条件，列方程可求解.
解答: 设多边形的边数为，则根据题意得方程：
解得
所以，这个多边形的边数为9.
评注：对方程思想的考查主要有两个方面：一是列方程（组）解应用题；二是列方程（组）解决代数问题或几何问题.

例2. 如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，BD是∠ABC的平分线，求∠A的度数.

解析: 由于BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝∠CBD，又∠BDC＝∠A+∠ABD，所以由已知条件可建立∠A与∠C的关系，列出方程.
设∠A=x°，由于BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝，而∠BDC＝∠A+∠ABD，所以2∠BDC＝2∠A+∠ABC，所以∠ABC＝2∠A＝2x°，
则有x°＋2x°+2x°=180°，所以x°＝36°，即∠A＝36°.
评注：解决几何中的求值问题，往往通过建立方程（组）来求解.

例3. 求不等式组的自然数解.
分析: 欲求不等式组的自然数解，一般思路是先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出其解集，从而进一步求出问题的答案.
解答: 解不等式得
解不等式得
所以，原不等式组的解集是，其解集在数轴上表示如图所示

所以，其自然数解为0、1、2.
评注：自然数也就是非负整数，在这里易漏掉0.

例4. 等腰三角形的周长为16，其中一条边的长是6，求另两条边的长.
分析: 由于已知的“一条边的长是6”，未告之是腰长，还是底边长，所以应分类讨论求解.
解答: （1）当周长为16，腰长为6时，该等腰三角形的另两边：一条边为腰，长为6，另一条边为底边，长为16－6－6=4，即另两边分别为6和4；
（2）当周长为16，底边长为6时，该等腰三角形的另两边都是腰，其长为（16－6）÷2=5，即另两边长为5、5.
评注：求解有关等腰三角形的边、角问题时，在题中未附图形且未指名已知的边、角是该等腰三角形的底或腰（底角或顶角）的情况下，均需用分类讨论思想求解.

例5. 在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线将△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长.
解析：因为中线是BD，所以AD＝CD，分成两部分周长不等的原因是AB≠BC，所以需要分AB＞BC或AB＜BC两种情况进行讨论.
设AB=xcm，则AD=CD=，若AB>BC，则有AB+AD＝15，即
即AB＝AC＝10cm，CD＝＝5 cm. 则BC+CD＝12，BC＝12－CD＝7（cm）.
AC+AB>BC，可构成三角形；
若AB<BC，则有AB+AD＝12，即即AB＝AC＝8（cm）. CD＝＝4 cm. 则BC+CD＝15，BC＝15－CD＝11（cm）. AC+AB>BC，可构成三角形；
于是三角形三边的长分别为10cm，10cm，7cm，或8cm，8cm，11cm.
评注：三条线段能否构成三角形，只需两条相等线段之和大于第三条线段，那么这三条线段一定构成等腰三角形. 涉及到等腰三角形求边问题时往往需要分类讨论.

例6. 在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？
分析：由于任意一个多边形的内角与其相邻的外角的和等于，所以若内角为锐角，则其外角为钝角，将该问题转化为求多边形的外角中最多有几个钝角就十分简捷.
解答：因为 多边形的外角和为
所以 多边形的外角中最多有3个钝角，
所以 多边形的内角中最多有3个锐角.
评注：此题充分体现了结论与结论之间的相互转化.

例7. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.

解析：因为∠1＝∠D+∠F，∠2＝∠C+∠E（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和），
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝∠A+∠B+∠1+∠2+∠G（等量代换）＝五边形ABHKG的内角和＝（5－2）×180°＝540°.
评注：利用三角形的外角和的性质把求一个图形的多个角度的和的问题转化为求一个五边形的内角和，这样可以通过求多边形的内角和解决问题.

例8. 已知某个三角形的周长为18㎝，其中两条边的长度和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的，求这个三角形的三边长.
分析：三角形有三条边，题目中有三个条件，此题需设三角形的三边为未知数，列方程
组解答.
解答：设三角形的三边长分别为、、，（）则依题意得：

将（2）整体代入（1），得，解得
再将代入（2）、（3）得：
解这个方程组得
因此，所求三角形的三边长为7、5、6.
评注：所列方程组为三元一次方程组，在求解这个方程组时，将（2）整体代入（1），立即可求出c的大小，使得求解、变得十分简单.这种整体代入、整体加减的整体数学思想在整式、方程（组）、不等式（组）和有关几何图形的计算中经常用到.

例9. 如图，∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD，试说明∠A与∠D之间的关系.

解析：因为∠DBC＝2∠ABD，∠DCB＝2∠ACD（已知），所以∠DBC＝（三等分线定义）.
所以（等式的性质）
又因为∠ABC+∠ACB＝180°－∠A（三角形内角和定理），
所以（180°－∠A）=120°－∠A（等式的性质）
所以∠DBC+∠DCB＝120°（等量代换）
所以∠D＝180°－（∠DBC+∠DCB）＝180°－（120°－∠A）＝60°.
评注：本例应用整体思想得到∠A与∠D之间的关系，主要应用三角形的内角，三角形内角和定理结合整体思想进行说理.

例10. 如图（1）AC、BD是四边形的两条对角线，而三角形没有对角线，五边形的对角线有5条（如图（2））：AC、AD、BE、BD、CE都是它的对角线，想一想：（1）六边形有几条对角线？n边形有几条对角线？

解析：四边形的对角线条数为＝2；三角形的对角线条数为；五边形的对角线条数为；六边形的对角线条数为；依照上述规律，可以猜想n边形的对角线条数为；验证：由于过n边形的每一个顶点的对角线有（n－3）条，n 个顶点是：n×（n－3）条. 而每一条又重复计算一次，所以n边形的对角线条数为.
评注：从特殊情况入手，研究数学表达方法，进一步猜想归纳出一般情况，再对一般情况进行验证是探究数学规律的重要手段和方法.

例11. 用四块如图所示的瓷砖拼成一个正方形，形成轴对称的图案，和你的同伴比一比，看谁的拼法多.
分析：抓住轴对称图形的定义即沿着某条直线对折，两旁的部分能够完全重合进行图案设计.此题的答案不唯一.
解答：如图所示.

评注：（1）在图中，黑、白颜色可互换；（2）生活中存在着大量的对称现象，大到宇宙空间的星体，小到微观世界的原子，精致的艺术珍宝，尖端科学中的基因工程，都可以找到图形对称的素材.

四、本讲数学思想方法的学习
1. 思想方法是数学的灵魂，在复习时要注意数学思想的体会与应用.
2. 遇到一个问题时，我们不是首先去考虑这道题用什么数学思想方法，数学思想方法应该渗透或贯穿于我们数学学习的始终.

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 王阿姨和李奶奶一起去买菜，王阿姨买西红柿，茄子，青椒各一千克，共花12.8元.李奶奶买西红柿2千克，茄子1.5千克.共花15元.已知青椒每千克4.2元，求出西红柿，茄子每千克各多少钱？
2.在图中各行、各列和对角线上三个数之和都相等，请你求出的值；

3. 解不等式组并写出该不等式组的整数解
4. 一个等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个角应该为＿＿＿.
5. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　）
A. B. C. 或 D.
6. 如图，P、Q是的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则的大小等于________.

7. 如图，直线是一条河，两地相距8千米，两地到的距离分别为2千米，5千米，欲在上的某点处修建一个水泵站，向两地供水. 现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　）

8. 若则
9. 已知二元一次方程组则的值是（　　）
A. 1 B. 0 C. D.
10. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（　　）

A.90°　　　 B.135°　　 C.270°　　 D.315°

11. 认真观察下列4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：

（1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征.
特征1：_________________________________________________；
特征2：_________________________________________________.
（2）请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征

【试题答案】
1. 设每千克西红柿元，每千克茄子元. 根据题意，得解得 答：每千克西红柿元，每千克茄子元.
2. 由已知条件得 解得.（由已知条件还可得到其他的方程）
3. 原不等式组的的解集是：，所以，整数解是.
4. 、、或、、.（提示：分的角是底角的外角与顶角的外角两种情形考虑）
5. C.（提示：分顶角与底角的度数比为与分底角与顶角的度数比为两种情形解答）
6. ；
7. B.（提示：此题为一道基本作图题，其方法可联想当P、Q两点在直线两侧时的作图方法，从而通过对称将问题解决.）
8. 5；（提示：将两方程整体相加得，所以）
9. D；（提示：将方程组中下面的一个方程减去上面的一个方程立即得）
10. C （提示：因为，所以，又由“四边形的内角和等于”知：，所以=.这里我们没有分别求出、各等于多少度，而是视∠1+∠2为一个整体，通过四边形的内角和等于及已知条件整体求出其结果.）
11.（1）特征1：都是轴对称图形；特征2：这些图形的面积都等于4个单位面积等；
（2）满足条件的图形有很多，如下图所示：