《等比数列的性质》导学案2.doc

《等比数列的性质》导学案2
知能目标解读
1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.
2.理解等比数列的性质及应用.
3.掌握等比数列的性质并能综合运用.
重点难点点拨
重点：等比数列性质的运用.
难点：等比数列与等差数列的综合应用.
学习方法指导
1.在等比数列中，我们随意取出连续三项及以上的数，把它们重新依次看成一个新的数列，则此数列仍为等比数列，这是因为随意取出连续三项及以上的数，则以取得的第一个数为首项，且仍满足从第2项起，每一项与它的前一项的比都是同一个常数，且这个常数量仍为原数列的公比，所以，新形成的数列仍为等比数列.
2.在等比数列中，我们任取下角标成等差的三项及以上的数，按原数列的先后顺序排列所构成的数列仍是等比数列，简言之：下角标成等差，项成等比.我们不妨设从等比数列{an}中依次取出的数为ak，ak+m，ak+2m，ak+3m，…，则===…=qm(q为原等比数列的公比)，所以此数列成等比数列.
3.如果数列{an}是等比数列，公比为q，c是不等于零的常数，那么数列{can}仍是等比数列，且公比仍为q；{|an|}也是等比，且公比为|q|.我们可以设数列{an}的公比为q，且满足=q，则==q，所以数列{can}仍是等比数列，公比为q.同理，可证{|an|}也是等比数列，公比为|q|.[
4.在等比数列{an}中，若m+n=t+s且m，n，t，s∈N+则aman=atas.理由如下：因为aman=a1qm-1·a1qn-1
=a21qm+n-2，atas=a1qt-1·a1qs-1=a21qt+s-2，又因为m+n=t+s，所以m+n-2=t+s-2，所以aman=atas.从此性质还可得到，项数确定的等比数列，距离首末两端相等的两项之积等于首末两项之积.
5.若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2，则
(1){anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2.
(2) {}仍为等比数列，且公比为.
理由如下：(1)=q1q2，所以{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2；(2) ·=，
所以｛}仍为等比数列，且公比为.
知能自主梳理
1.等比数列的项与序号的关系
(1)两项关系
通项公式的推广：
an=am· (m、n∈N+).
(2)多项关系
项的运算性质
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，
则am·an= .
特别地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，
则am·an＝ .
2.等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2· =ak· =a2 (n为正奇数).
［答案］　1.qn-m　ap·aq　a2p
2.an-1　an-k+1
思路方法技巧
命题方向　运用等比数列性质an=am·qn-m (m、n∈N+)解题
［例1］　在等比数列{an}中，若a2=2，a6=162，求a10.
［分析］　解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q，再求a10.
［解析］　解法一：设公比为q，由题意得
a1q=2 a1= a1=-
，解得 ，或 .
a1q5=162 q=3 q=-3
∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×(-3)9=13122.
解法二：∵a6=a2q4，
∴q4===81，
∴a10=a6q4=162×81=13122.
解法三：在等比数列中，由a26=a2·a10得
a10===13122.
［说明］　比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用.
变式应用1　已知数列{an}是各项为正的等比数列，且q≠1，试比较a1+a8与a4+a5的大小.
［解析］　解法一：由已知条件a1>0，q>0，且q≠1，这时
(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)·(1-q4)
=a1(1-q) 2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0，
显然，a1+a8>a4+a5.
解法二：利用等比数列的性质求解.
由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)
=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).
当0<q<1时，此正数等比数列单调递减，1-q3与a1-a5同为正数，
当q>1时，此正数等比数列单调递增，1-q3与a1-a5同为负数，
∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正.
∴a1+a8>a4+a5.
命题方向　运用等比数列性质am·an=apaq(m，n，p，q∈N+，且m+n=p+q)解题
［例2］　在等比数列{an}中，已知a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=(　　)
A.10　　　　　　　　B.25　　　　　　　　C.50　　　　　　　　D.75
［分析］　已知等比数列中两项的积的问题，常常离不开等比数列的性质，用等比数列的性质会大大简化运算过程.
［答案］　B
［解析］　解法一：∵a7·a12=a8·a11=a9·a10=5，∴a8·a9·a10·a11=52=25.
解法二：由已知得a1q6·a1q11=a21q17=5，
∴a8·a9·a10·a11=a1q7·a1q8·a1q9·a1q10=a41·q34=(a21q17) 2=25.
［说明］　在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算，若按照常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，为此我们经常结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.
变式应用2　在等比数列{an}中，各项均为正数，且a6a10+a3a5=41，a4a8=5，求a4+a8.
［解析］　∵a6a10=a28，a3a5=a24，∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5，an>0，
∴a4+a8===.
探索延拓创新
命题方向　等比数列性质的综合应用
［例3］　试判断能否构成一个等比数列{an}，使其满足下列三个条件：
①a1+a6=11；②a3·a4=；③至少存在一个自然数m，使am-1，am，am+1+依次成等差数列，若能，请写出这个数列的通项公式；若不能，请说明理由.
［分析］　由①②条件确定等比数列{an}的通项公式，再验证是否符合条件③.
［解析］　假设能够构造出符合条件①②的等比数列{an}，不妨设数列{an}的公比为q，由条件①②及a1·a6=a3·a4，得
a1+a6=11　　　　　 a1= a1=
　　　　　　　，解得 ，或
a1·a6= a6= a6=.
a1= a1=
从而 ，或 .
q=2 q=
故所求数列的通项为an=·2n-1或an=·26-n.
对于an=·2n-1，若存在题设要求的m，则
2am=am-1+(am+1+)，得
2(·2m-1)=··2m-2+·2m+，得
2m+8=0，即2m=-8，故符合条件的m不存在.
对于an=·26-n，若存在题设要求的m，同理有
26-m-8=0，即26-m=8，∴m=3.
综上所述，能够构造出满足条件①②③的等比数列，通项为an=·26-n.
［说明］　求解数列问题时应注意方程思想在解题中的应用.
变式应用3　在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，……成等比数列，求数列{kn}的通项kn.
［解析］　由题意得a22=a1a4，
即 (a1+d) 2=a1(a1+3d)，
又d≠0，∴a1=d.
∴an=nd.
又a1，a3，ak1，ak2，……，akn，……成等比数列，
∴该数列的公比为q===3.
∴akn=a1·3n+1.
又akn=knd，∴kn=3n+1.
所以数列{kn}的通项为kn=3n+1.
名师辨误做答
［例4］　四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为1，求这个等比数列的公比.
［误解］　设这四个数为aq-3，aq-1，aq，aq3，由题意得
a3q-3=1， ①
aq-1+aq+aq3=1. ②
由①得a=q，把a=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0，解得q2=或q2=- (舍去)，故所求的公比为.
［辨析］　上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q2，则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误.
［正解］　设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，由题意得

(aq)3=1，　　 　 ①
aq+aq2+aq3=1.　②
由①得a=q-1，把a=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0，解得q=或q=-，故所求公比为或-.
课堂巩固训练
一、选择题
1.在等比数列｛an｝中，若 a6=6，a9=9，则a3等于(　　)
A.4　　　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　　　D.3
［答案］　A
［解析］　解法一：∵a6=a3·q3，
∴a3·q3=6.
a9=a6·q3，
∴q3==.
∴a3==6×＝4.
解法二：由等比数列的性质，得
a26=a3·a9，
∴36=9a3，∴a3=4.
2.在等比数列｛an｝中，a4+a5=10，a6+a7=20，则a8+a9等于(　　)
A.90　　　　　　　　B.30　　　　　　　　C.70　　　　　　　　　　D.40
［答案］　D
［解析］　∵q2==2，
∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.
3.如果数列｛an｝是等比数列，那么(　　)
A.数列｛a2n｝是等比数列　　　　　　　　　B.数列｛2an｝是等比数列
C.数列｛lgan｝是等比数列　　　　　　　　 D.数列｛nan｝是等比数列
［答案］　A
［解析］　数列｛a2n｝是等比数列，公比为q2，故选A.
二、填空题
4.若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为 .
［答案］　1
2b=a+c，
［解析］　由题意知
b2=ac，
解得a=b=c，∴q=1.
5.在等比数列｛an｝中，公比q=2，a5=6，则a8= .
［答案］　48
［解析］　a8=a5·q8-5=6×23=48.
三、解答题
6.已知{an}为等比数列，且a1a9=64，a3+a7=20，求a11.
［解析］　∵{an}为等比数列，
∴a1·a9=a3·a7=64，又a3+a7=20，
∴a3，a7是方程t2-20t+64=0的两个根.
∴a3=4，a7=16或a3=16，a7=4，
当a3=4时，a3+a7=a3+a3q4=20，
∴1+q4=5，∴q4=4.
当a3=16时，a3+a7=a3(1+q4)=20，
∴1+q4=，∴q4=.
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
课后强化作业
一、选择题
1.在等比数列{an}中，a4=6，a8=18，则a12=(　　)
A.24　　　　　　　　B.30　　　　　　　　C.54　　　　　　　　D.108
［答案］　C
［解析］　∵a8=a4q4，∴q4===3，
∴a12=a8·q4=54.
2.在等比数列｛an｝中，a3=2-a2，a5=16-a4，则a6+a7的值为(　　)
A.124　　　　　　　　B.128　　　　　　　C.130　　　　　　　D.132
［答案］　B
［解析］　∵a2+a3=2，a4+a5=16，
又a4+a5=(a2+a3)q2，
∴q2=8.
∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8＝128.
3.已知｛an｝为等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5等于(　　)
A.5　　　　　　　　　B.10　　　　　　　　C.15　　　　　　　D.20
［答案］　A
［解析］　∵a32=a2a4，a52=a4a6，
∴a32+2a3a5+a52=25，
∴(a3+a5) 2=25，
又∵an>0，∴a3+a5=5.
4.在正项等比数列｛an｝中，a1和a19为方程x2-10x+16=0的两根，则a8·a10·a12等于(　　)
A.16　　　　　　　　B.32　　　　　　　　C.64　　　　　　　D.256
［答案］　C
［解析］　由已知，得a1a19=16，
又∵a1·a19=a8·a12=a102，
∴a8·a12=a102=16，又an>0，
∴a10=4，
∴a8·a10·a12=a103=64.
5.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a25，a2=1，则a1=(　　)
A. 　　　　　　　B. 　　　　　　　C.　　　　　　　D.2
［答案］　B
［解析］　∵a3·a9=a26，又∵a3a9=2a25，
∴a26=2a25，∴()2=2，
∴q2=2，∵q>0，∴q=.
又a2=1，∴a1===.
6.在等比数列｛an｝中，an>an+1，且a7·a11=6，a4+a14=5，则等于(　　)
A. 　　　　　　 　B. 　　　　　 　　C. 　　　　　 　　　D.6
［答案］　A
a7·a11=a4·a14=6
［解析］　∵
a4+a14=5
a4=3 a4=2
解得 或 .
a14=2 a14=3
又∵an>an+1，∴a4=3，a14=2.
∴==.
7.已知等比数列｛an｝中，有a3a11=4a7，数列｛bn｝是等差数列，且b7=a7，则b5+b9等于(　　)
A.2　　　　　　　　　B.4　　　　　　　　C.8　　　　　　　　D.16
［答案］　C
［解析］　∵a3a11=a72=4a7，∵a7≠0，
∴a7=4，∴b7=4，
∵{bn}为等差数列，∴b5+b9=2b7=8.
8.已知0<a<b<c，且a，b，c成等比数列的整数，n为大于1的整数，则logan，logbn，logcn成
(　　)
A.等差数列　　　　　　　　　　　　　　B.等比数列
C.各项倒数成等差数列　　　　　　　　　D.以上都不对
［答案］　C
［解析］　∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac.
又∵+=logna+lognc=lognac
=2lognb=，
∴+=.
二、填空题
9.等比数列｛an｝中，an>0，且a2=1+a1，a4=9+a3，则a5-a4等于 .
［答案］　27
［解析］　由题意，得a2-a1=1，a4-a3=(a2-a1)q2=9，
∴q2=9，又an>0，∴q=3.
故a5-a4=(a4-a3)q=9×3＝27.
10.已知等比数列｛an｝的公比q=-，则等于 .
［答案］　-3
［解析］　＝
==-3.
11.(2012·株州高二期末)等比数列{an}中，an>0，且a5·a6=9，则log3a2+log3a9= .
［答案］　2
［解析］　∵an>0，∴log3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
12.(2011·广东文，11)已知｛an｝是递增等比数列，a2=2，a4-a3=4，则此数列的公比q= 　.
［答案］　2
［解析］　本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列的通项公式可解得.
解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，
因为a2=2，所以q2-q-2=0，解得q=－1，或q=2.
因为an为递增数列，所以q=2.
三、解答题
13.在等比数列｛an｝中，已知a4·a7=-512，a3+a8=124，且公比为整数，求a10.
［解析］　∵a4·a7=a3·a8=-512，
a3+a8=124 a3=-4 a3=128
∴ ，解得 或 .
a3·a8=-512 a8=128 a8=-4
又公比为整数，
∴a3=-4，a8=128，q=-2.
∴a10=a3·q7=(-4)×(-2)7＝512.
14.设｛an｝是各项均为正数的等比数列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3，b1·b2·b3=-3，求此等比数列的通项公式an.
［解析］　由b1+b2+b3=3，
得log2(a1·a2·a3)＝3，
∴a1·a2·a3＝23＝8，
∵a22=a1·a3，∴a2=2，又b1·b2·b3=-3，
设等比数列｛an｝的公比为q，得
log2()·log2(2q)=-3.
解得q＝4或，
∴所求等比数列｛an｝的通项公式为
an=a2·qn-2=22n-3或an=25-2n.
15.某工厂2010年生产某种机器零件100万件，计划到2012年把产量提高到每年生产121万件.如果每一年比上一年增长的百分率相同，这个百分率是多少？2011年生产这种零件多少万件？.
［解析］　设每一年比上一年增长的百分率为x，则从2010年起，连续3年的产量依次为a1=100，a2=a1(1+x)，a3=a2(1+x)，即a1=100，a2=100(1+x)，a3=100(1＋x) 2，成等比数列.
由100(1+x) 2=121得(1+x) 2=1. 21，
∴1＋x=1.1或1+x=-1.1，
∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，
a2=100(1+x)=110(万件)，
所以每年增长的百分率为10％，2011年生产这种零件110万件.
16.等差数列{an}中，a4=10，且a3，a6，a10成等比数列.求数列{an}前20项的和S20.
［解析］　设数列{an}的公差为d，则a3=a4-d=10-d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d.
由a3， a6，a10成等比数列得a3a10=a26，
即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2，
整理得10d2-10d=0，解得d=0或d=1.
当d=0时，S20=20a4=200，
当d=1时，a1=a4-3d=10-3×1=7，
于是，S20=20a1+d=20×7+190=330.