锐角三角函数概念.doc

第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
28.1.1 三角函数的定义
学习目标
1．理解正弦、余弦、正切这三个锐角三角函数的概念，能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数．
2．经历探索直角三角形边角关系的过程，初步感受数形结合的思想方法.

课前预习
1.如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则tanA的值为（　　）

A. B. C. D.
2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=α，AC=7，那么BC为（　　）

A．
7sin α
B．
7cos α
C．
7tan α
D.
7cot α
3.已知锐角α，且sin α=cos 37°，则α等于（　　）

A．
37°
B．
63°
C．
53°
D．
45°
4.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=12，AB=13，则sin B的值等于　　．

5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC：BC=3：4，那么cos A的值为　 　．
答案：1.D 2.C 3.C 4. 5.

课堂精讲
知识点1 正弦的定义
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比是一个固定值．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sin A，
即sin A=.

注意：(1)正弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值，它没有单位，当角的度数确定时，其比值随之确定，与三角形的边的长短无关，即与三角形的大小无关．
(2) sin A是一个完整的符号，不能写成“sin·A”，书写时习惯省略∠A的角的符号“∠”，但当用三个大写字母表示角时(如∠ABC)，其正弦应写成sin ∠ABC，不能写成sin ABC. sin2 A表示(sin A)2，即sin A·sin A，而不能写成sin A2．
(3)在直角三角形中，因为O<a<c，所以由正弦的定义可知O<sin A<1．
【例1】在Rt△ABC中，∠A=90°，求sin C和sin B的值．
、
解析：利用勾股定理求出BC，再由锐角三角函数值的定义求出sin C和sin B的值．
解： 在Rt△ABC中，BC==，
∴sin C =；
sin B =．
变式拓展
1.如图是4×4的正方形网格，点C在∠BAD的一边AD上，且A、B、C为格点，sin∠BAD的值是　 　．

答案：

知识点2 余弦、正切的定义
如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦( cosine)，记作cos A,即cos A=；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A
的正切( tangent)，记作tan A，即tan A=.

注意：(1)余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值．
(2)余弦、正切只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．
(3) cos A，tan A是整体符号，不能写成cos·A，tan·A .cos2 A和tan2 A分别表示
(cos A)2和(tan A)2，即cos A·cos A和tan A·tan A，而不能写成cos A2和tan A2．
(4)当用三个字母表示角时，角的符号“”不能省略，如cos ∠ABC，tan ∠ABC.
(5)因为O<b<c，所以O<cos A<1．因为a>0，b>0，所以tan A>O.
【例2】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，求∠A, ∠B的余弦值和正切值．

解析：先用勾股定理求出AC的长，再用余弦和正切的定义求值．
解：∠C= 90°，
AC==4．
cos A=，tan A=，cos B=，tan B=.
变式拓展
2.Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cos B=　 　．
3.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于　 　．

答案：2. 3.

知识点3 锐角三角函数的定义
对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是A的函数，同样的，cos A，tan A也是A的函数．即锐角A的正弦、余弦、正切都是么A的锐角三角函数.
注意：(1)锐角三角函数的实质是一个比值，这些比值只与角的大小有关，sin x、cos x、tan x都是以锐角x为自变量的函数，当x确定后，它们的值都是唯一确定的．也就是说，锐角三角函数值随角度的变化而变化．
(2)锐角三角函数都不可取负值.
【例3】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求∠A的锐角三角函数数值．

解析：利用勾股定理列式求出AC，然后根据锐角的三角函数列式即可．
解：由勾股定理得，AC==12，
sin A=，
cos A=，
tan A=．

变式拓展
4.已知，如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，求∠A的锐角三角函数值．

解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8，
∴AB2=AC2+BC2=289，
∴AB=17，
∴sin A=，
cos A=，
tan A=.

随堂检测
1.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（　　）
A.cos A= B.tan A= C.sin A= D.cos A=
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=2，BC=1，则sin∠ACD=（　　）

A. B. C. D.
3.如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tan α=，则t的值是（　　）

A．
1
B．
1.5
C．
2
D．
3
4.随着锐角α的增大，cos α的值（　　）

A．
增大
B．
减小

C．
不变
D．
增大还是减小不确定
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，如果CD=3，BD=2．那么cos∠A的值是　 　．
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BC=5，cos∠ADC=，求sin B的值．