立体几何中的向量方法——教学设计.doc

课题：选修（2-1）3.2立体几何中的向量方法（教学设计）
仁怀市茅台高级中学 杨国军
三维目标：
1、 知识与技能
（1）在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念；
（2）能由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系；
（3）理解运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题的方法（主要是关于角的问题）；
(4)能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。
2、过程与方法
（1）在初步运用向量解决相关问题的基础上，引领学生对向量进行系统的运用，从而全面掌握立体几何的向量方法；
（2）通过探究立体几何中的向量方法，并进行针对性地运用，体会向量这个重要的数学工具的强大和广泛的作用，从而为进一步解决更加广泛的问题打好基础；
（3）通过向量方法的学习和应用，进一步认识重要的数学思想方法（如：数形结合、转化思想、类比思想等等）。
3、情态与价值观
(1) 通过对立体几何中的向量方法的探究和运用，进一步培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；
（2）通过培养学生数形结合、等价转化等数学思想方法，渗透更广泛地育人思想，使学生进一步认识学习的本质，有利于形成正确的人生观和价值观；
（3）通过各种形象而具体的问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。
教学重点：
立体几何中的向量方法
教学难点：
立体几何中的向量方法的灵活准确及恰当运用。
教 具：多媒体、实物投影仪
教学方法：合作探究、分层推进教学法
教学过程：
一、双基回眸 科学导入：
前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用。这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法。为此，首先简单回顾一下相关的基本知识和方法：
1．直线l的方向向量的含义： .
2．向量的特殊关系及夹角（最后的填空是用坐标表示）
（1）a//b ；
（2）a⊥b ；
（3）a·a＝ = ；
（4）cos＜a,b＞＝ = 。
二、 创设情境 合作探究 ：
前面，我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题，如：两直线垂直问题；两直线的夹角问题；特殊线段的长的问题等等……
若再加入平面，会出现更多的的问题，如：线面、面面的位置关系问题；线面的夹角问题；二面角的问题等等……而且都是立体几何中的重要问题，这些问题用向量的知识怎样来解决呢？直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题，平面又由怎样的向量来确定呢？
——这些问题就是我们将要探究或解决的主要问题……
同学们都知道：垂直于同一条直线的两个平面 。
由此我们应该会想象出怎样的向量可确定平面的方向了……下面请同学们合作探究一下这方面的知识和方法：
（一）．平面的法向量：

。
（二）．直线、平面的几种重要的位置关系的充要条件：
请同学们根据直线的方向向量和平面的法向量的几何意义直观地得出直线、平面的几种特殊的位置关系的充要条件（用直线的方向向量或平面的法向量来表达）
设直线 , 的方向向量分别为 ，，平面 ， 的法向量分别为，，则：
∥ ；⊥ ；
∥ ；⊥ ；
∥ ；⊥ 。
【小试牛刀】
1．设直线 , 的方向向量分别为 ，，根据下列条件判断直线 , 的位置关系：
（1）= （2 ，-1 ，-2），=（6 ，-3，-6）；
（2）= （1 ， 2 ，-2），=（-2， 3， 2）；
（3）= （0 ， 0， 1），=（0 ， 0，-3）。
2．平面 ， 的法向量分别为，，根据下列条件判断平面 ，的位置关系：
（1）= （-2 ，2 ， 5），=（6 ，-4， 4）；
（2）= （ 1 ，2 ，-2），=（-2，-4， 4）；
（3）= （ 2 ，-3 ，5），=（-3 ，1，-4）。
3．如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，
求证： 平面ADE．
（你能用几种方法呢？ ）

（三）利用向量方法证明——平面与平面平行的判定定理
【定理】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
　已知：直线 , 和平面 ，，其中, ， 与相交，
　　　∥　，∥　，求证：∥
【分析】根据∥∥，所以只要证明∥即可，那需要证明，都是平面的法向量
【证明】设直线 , 的方向向量分别为 ，，平面 ， 的法向量分别为，，（下面留给同学们喽）

【点评】向量法解题“三步曲”：（1）化为向量问题 →（2）进行向量运算 →（3）翻译向量运算结果，回到图形问题.
关于两特殊点间距离的问题
三、互动达标

　此类问题前面已经接触过，下面再来总结及拓展一下：
问题.1如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系。
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D

　【分析】根据前面所学的方法，可将用与棱相关的向量表示出来，通过运算求解……
【解析】
因为

所以 这个晶体的对角线的长是棱长的倍
【点评】遇到空间两点间的距离问题，往往把两点间的距离表示为以这两点为起点和终点的向量的模。然后把向量进行恰当的分解，运用向量的模满足的关系式：来进行针对性地运算和求解……　
【探究】
　1.本题中平行六面体的另一条对角线的长与棱长有什么关系?
　2.如果一个平行六面体的各棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都是等于　　,那么由这个平行六面体的对角线长可以确定棱长吗?
　3.本题的晶体中相对的两个面之间的距离是多少?
【分析】显然，第1个问题与问题.1类似；第２个问题是问题.1的逆向问题，所列的式子应该是一样的，只不过未知数的位置不同……；第３个问题略有挑战性，可把两个面之间的距离转化为两点的距离或点到面的距离——对于这个问题，同学们可在课后先探究一下，以后在进行总结……下面我们再来看一个问题.1的逆向问题：
问题.２如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和 b ,CD的长为 c, AB的长为d 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
【分析】正如上面的分析，此题是问题.1的逆向问题，解决方法与问题.1一致……
　 【解析】
A
B
C
D

根据向量的加法法则

于是得到
设向量与夹角为，就是库底与水坝所成二面角。
因此所以
库底与水坝所成二面角的余弦值为
【点评】由此可体会解决一类数学问题的方法，从而以静制动，体现数学知识、　　　方法应用的本质。
【探究】　1．本题中如果AC和BD夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？（通过课本第１０７页的第２题体会一下即可）
　2．如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的　夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？
　3．如果已知一个四棱柱的各棱长都等于a ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？
【分析】显然，第1个问题又回到了问题.1的形式；第２、３个问题是问题.1的逆向问题，但第３个问题又是略有挑战性，需要通过做辅助线构出问题.２的图形模式……对于这个问题，同样是同学们先课后探究一下，以后在进行总结……
关于直线、平面的位置关系的论证及夹角问题

Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｐ
Ｅ
Ｄ
Ｆ
　问题.3如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF ⊥PB交PB于点F。
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：PB ⊥平面EFD；
（3）求二面角C－PB－D的大小。
【分析】此题包括：判定直线与平面平行和垂直及计算
二面角的大小——均可用向量方法来解决。题目中的
垂直条件非常适合建立空间直角坐标系来表示向量。
　 【解析】（1）证明：连接AC，AC交BD于点G，连结EG。
依题意得A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，，）。
因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为G（，，0），
且=(1，0,—1)，=（，0，—）所以,即PA∥EG
而EG平面EDB，且PA平面EDB,
因此PA∥平面EDB
(2)依题意得B（1，1，0），=（1，1，—1）
又=(0, ,),故=0+-=0
所以PB⊥DE 由已知EF⊥PB。且EFDE=E
所以PB⊥平面EFD
(3)已知PB⊥EF，由（2）知PB⊥DE，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角。
设点F的坐标为（）,则=()
因为所以()=k()即
因为所以=0
所以，点F坐标为（）
又点E的坐标为（）所以
因为
所以∠EFD=60°，即二面角C-PB-D的平面角的大小为60°。
【点评】(1)此题涉及到的问题都是立体几何中的重点问题。通过解决过程来看，若条件适合建立空间坐标系，建系表示向量来解决问题还是较简洁的——转化为目标明确的坐标运算……
(2) 同学们可用传统法（不用向量）解决一下，比较各自的特点，便于解决问题时能恰当选择方法——可大体上分为三种方法：传统法；向量法；坐标向量法。当然也可把这三种方法结合起来使用……
直线与平面所成的角怎样用向量来解决呢？
同学们可借助此题的背景来求直线PA与平面PBC所成角：

关于点到平面的距离问题

利用问题.3的条件（PD=DC改为PD=DC= a ）求出点A到平面PBC的距离——总结出点到平面的距离的求法：

关于实际问题

问题4.一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力，，，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是，且，这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？这三个力是多少时，才能提起这块钢板？
【分析】钢板所受重力为，垂直向下作用在三角形的中心O.若能将各顶点处所受的力，，用向量形式表示，求出合力，就能判断钢板的运动状态。
【解析】解：以点A为原点，平面ABC为xAy坐标平面，方向为y轴正方向，||为y轴的单位长度，建立空间直角坐标系A，则正三角形的顶点坐标分别为
设力方向上的单位向量坐标为由于与的夹角均为60°，利用向量的数量积运算，得
①
②
由①②得因为为单位向量，，因此
于是=200（）同理=200（）=200（）
所以++=200（）+200（）+200（）
=200()
这说明，作用在钢板上合力方向向上，大小为200，作用点为O
由于200<500，所以钢板仍静止不动。
要提起这块钢板，设三个力大小均为x，则，解的
因此，要提起这块钢板，三力大小均要大于。
【点评】此题是力的合成问题，用向量将其表示，转化为数学问题，求出和向量即可，物理中的力、速度等量均可用向量来表示……
四、思悟小结：
知识线：
（1）平面的法向量；
（2）用直线的方向向量和平面的法向量判断直线、平面的位置关系的几个结论。
思想方法线：
（1）向量法与坐标法；
（2）等价转化思想；
（3）数形结合思想；
题目线：
（1）关于两特殊点的距离及拓展问题；
（2）关于直线、平面的位置关系的判断与论证问题；
（3）关于夹角问题；
（4）关于简单的距离问题；
（5）关于实际问题及综合问题。
五、针对训练 巩固提高：
1．（1）设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若∥，
则k= ；若⊥，则 k= 。
（2）若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1, ,2),若⊥，则m= ； 若∥，则m = .
2．如图，已知线段AB在平面α内，线段，线段BD⊥AB，线 段，，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离．
或：一个矩形ABCD，AB=3,CD=4,以BD为棱折成直二面角，求A、 C之间的距离。

3．（1）如图，空间四边形ABCD的每条边和AC,BD的长都等于a，点M , N分别是AB, CD 的中点，求证：MN⊥AB , MN⊥CD .

（2）如图，已知正方体ABCD——A’B’C’D’ , B C’ 和C B’ 相交于点O,连结DO，
求证：DO⊥B C’

4. 如图，M、N分别是棱长为1的正方体的棱、 的中点．求异面直线MN与所成的角．

5．如图，正方体ABCD——A’B’C’D’中， 点E , F分别是B B’， CD的中点。
求证：面AED⊥面A’ F D’

6．如图，正方体ABCD——A’B’C’D’中， 点E , F , G , H , K , L 分别是AB ，B B’，
B’C’， C’D’ ，D’ D，DA各棱的中点。
（1） 求证：A’ C⊥平面E F G H K L；
（2） 求DB’与平面E F G H K L所成角的余弦值；
（3） 若AB=1，求点B’到平面E F G H K L的距离。

7．已知和所在的平面互相垂直，且,求 （1）直线AD 与平面BCD所成角的大小；
（2）直线AD 与直线BC所成角的大小； A
（3）二面角A-BD-C的余弦值。
B C

D

9