2010年高考试题——文数(全国卷2)(解析版).doc

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）
数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分150分，考试用时120分钟

注意事项：
1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。
2． 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在，每小题给出的四个选项中，
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P（A+B）=P(A)+P(B) S=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么
P（A-B）=P(A)-P(B)

一、 选择题

（A） （B） （C） （D）
【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵ A={1,3}。B={3,5}，∴ ，∴故选 C .
（2）不等式＜0的解集为
（A） （B） （C） （D）
【解析】A ：本题考查了不等式的解法
∵ ，∴ ，故选A
（3）已知，则
（A）（B）（C）（D）
【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，
∴
（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是
（A）y=-1(x>0) (B) y=+1(x>0)
(C) y=-1(x R) (D）y=+1 (x R)
【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN（X-1）(X>1)，∴
(5)若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为
（A）1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】C：本题考查了线性规划的知识。
∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 与的交点为最优解点，∴即为（1，1），当时
(6)如果等差数列中，++=12，那么++•••…+=
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【解析】C：本题考查了数列的基础知识。
∵ ，∴
（7）若曲线在点处的切线方程是，则
（A） (B)
(C) (D)
【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程
∵ ，∴ ，在切线，∴
（8）已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为
（A） (B)
(C) (D)
【解析】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
A
B
C
S
E
F
过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE，∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴ ，AS=3，∴ SE=，AF=，∴
（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
【解析】B：本题考查了排列组合的知识
∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，∴共有
（10）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= a , = b , = 1 ，
= 2, 则=
（A）a + b （B）a +b （C）a +b （D）a +b
【解析】B：本题考查了平面向量的基础知识
∵ CD为角平分线，∴ ，∵ ，∴ ，∴
（11）与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点
（A）有且只有1个 （B）有且只有2个
（C）有且只有3个 （D）有无数个
【解析】D：本题考查了空间想象能力
∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，∴三个圆柱面有无数个交点，
（12）已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =
（A）1 （B） （C） （D）2
【解析】B：，∵ ，∴ ， ∵ ，设，，∴ ，直线AB方程为。代入消去，∴ ，∴ ，
，解得，
（13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则cosα=__________
【解析】 ：本题考查了同角三角函数的基础知识
∵，∴
(14)(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_________
【解析】84：本题考查了二项展开式定理的基础知识
∵ ，∴ ，∴
(15)已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________
【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质
设直线AB：，代入得，又∵ ，∴ ，解得，解得（舍去）
（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离 。
【解析】3：本题考查球、直线与圆的基础知识

O
M
N
E
A
B

∵ ON=3，球半径为4，∴小圆N的半径为，∵小圆N中弦长AB=4，作NE垂直于AB，∴ NE=，同理可得，在直角三角形ONE中，∵ NE=，ON=3，∴ ，∴ ，∴ MN=3
三、解答题；本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分10分）
中，为边上的一点，，，，求。

【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由与的差求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。

（18）（本小题满分12分）
已知是各项均为正数的等比数列，且
，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。

【解析】本题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的基础知识。
（1）设出公比根据条件列出关于与的方程求得与，可求得数列的通项公式。
（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小

【解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。
（1）要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。
（2）由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。
（20）（本小题满分12分）
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T，T，T，T，电源能通过T，T，T的概率都是P，电源能通过T的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立。已知T，T，T中至少有一个能通过电流的概率为0.999。
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率。

【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，
（1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得P。
（2）将MN之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。
（21）（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。

【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。
（1）求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。
（2）求出函数的导数，在（2，3）内有极值，即为在（2，3）内有一个零点，即可根据，即可求出A的取值范围。
（22）（本小题满分12分）
已知斜率为1的直线1与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）
（Ⅰ）（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。

【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。
（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。
（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含A的代数式表示，即可求得A，则A点坐标可得（1，0），由于A在X轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。

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