高三数学第二轮专题复习系列(3)数列-新人教版.doc

高三数学第二轮专题复习系列(3)-- 数 列
一、本章知识结构：
等差数列的
性质
通项及
前n项和
正 整 数 集
数 列 的 概 念
等 差 数 列
等 比 数 列
等比数列的
性质
有 关 应 用

二、高考要求
1． 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.
2． 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.
3． 了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法.
三、热点分析
1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.
2.有关数列题的命题趋势　　（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点　　（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题　　
3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有，即.
4.对客观题，应注意寻求简捷方法　　解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：　　①借助特殊数列.　　②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法　　
5.在数列的学习中加强能力训练　数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。
6．这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降.
四、复习建议
1． 对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n项和.
2． 注意等差（比）数列性质的灵活运用.
3． 掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前n项和的求和方法.
4． 注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想.
5． 注意数列知识在实际问题中的应用，特别是在利率,分期付款等问题中的应用.
6． 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。
五、典型例题
数列的概念与性质
【例1】 已知由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式.
解：∵q=1时，
又显然，q≠1
∴
依题意；解之
又，
依题意，将代入得

【例2】 等差数列{an }中，=30，=15，求使an≤0的最小自然数n。
解：设公差为d，则或或或
解得：Þ a33 = 30 与已知矛盾 或Þ a33 = - 15 与已知矛盾
或Þa33 = 15 或 Þ a33 = - 30 与已知矛盾
∴an = 31+(n - 1) () Þ 31 0 Þ n≥63
∴满足条件的最小自然数为63。
【例3】 设等差数列{a}的前n项和为S，已知S4=44,S7=35
（1）求数列{a}的通项公式与前n项和公式；
（2）求数列的前n项和Tn。
解：（1）设数列的公差为d，由已知S4=44,S7=35可得a1=17,d=-4
∴a=-4n+21 (n∈N),S=-2n+19 (n∈N).
（2）由a=-4n+21≥0 得n≤, 故当n≤5时，a≥0, 当n≥6时，
当n≤5时,T=S=-2n+19n 当n≥6时,T=2S5-S=2n-19n+90.
【例4】 已知等差数列的第2项是8，前10项和是185，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，……，第项，依次排列一个新数列，求数列的通项公式及前n项和公式。
解：由 得
∴ ∴

【例5】 已知数列：
①求证数列为等差数列，并求它的公差
②设，求的和。
解：①由条件，
∴；∴
故为等差数列，公差
②
又知
∴

∴
【例6】 已知数列1，1，2……它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到。求该数列的前n项和Sn；
解：(1)记数列1，1，2……为{An}，其中等比数列为{an}，公比为q；
等差数列为{bn}，公差为d，则An =an +bn (n∈N）
依题意，b1 =0，∴A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A=a+b=aq+b+d=1 ②
A=a+b=aq2 +b+2d=2 ③
由①②③得d=-1, q=2, ∴
∴
【例7】 已知数列满足an+Sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通项an,并加以证明。
解法1：由an+Sn=n,
当n=1时，a1=S1，\a1+a1=1，得a1=
当n=2时，a1+a2=S2，由a2+S2=2，得a1+2a2=2，\a2=
当n=3时，a1+a2+a3=S3，由a3+S3=3，得a1+a2+2a3=3\a3=
猜想，(1)下面用数学归纳法证明猜想成立。
当n=1时,a1=1-,(1)式成立
假设,当n=k时,(1)式成立,即ak=1-成立，
则当n=k+1时,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1
\2ak+1=k+1-Sk 又ak=k+Sk
\2ak+1=1+ak \ak+1=
即当n=k+1时,猜想（1）也成立。
所以对于任意自然数n,都成立。
解法2：由an+Sn=n得，两式相减得：，
即，即，下略

【例8】 设数列是首项为1的等差数列，数列是首项为1的等比数列，又
。(1)求数列的通项公式与前n项和公式；
(2)当时，试判断cn的符号（大于零或小于零），并给予严格证明。
解：(1)设数列的公比为q

由条件得

(2)
证明：①当n=5，c5<0命题成立
②假设当

当也成立
由①，②对一切n5，都有cn<0。

【例9】 是等差数列，数列满足的前n项和。(1)若的公差等于首项a1，证明对于任意自然数n都有；
(2)若中满足，试问n多大时，Sn取得最大值？证明你的结论。
解：(1)当，∴原命题成立
假设当成立
则

(2)由

故中最大
【例10】 已知数列的前n项和为Sn，满足条件，其中b>0且b1。(1)求数列的通项an；(2)若对4，试求b的取值范围。
解：(1)由已知条件得
当n=1时，
故
(2)由

【例11】 两个数列、 中，成等差数列，且成等比数列。(1)证明是等差数列；(2)若的值。
解：(1)
是等差数列
(2)又，
又

数列的概念与性质练习
一、选择题
1．设（ D ）
A．
B．
C．
D．
2．等比数列中，，那么
的值为（ C ）
A． B． C． D．
3．11．等比数列 {a} 中，a=7，前三项之和 S=21，则公比q的值是( C )
（Ａ） 1 （Ｂ） - （Ｃ） 1或 - （Ｄ） -1或
4．首项为1，公差不为零的等差数列中的是一个等比数列的前3项，则这一等
比数列的第四项为（ B ）
A．8 B．－8 C．－6 D．不确定
5．已知数列的前n项和，那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构
成的数列的通项公式是（ B ）
A． B．
C． D．
6．数列{an}的前n项和Sn=3n-2n2 (n∈N)，当n>2时，就有（ D ）
A．Sn>na1>nan B．Sn< nan<na1 C．na1<Sn<nan D．nan<Sn<na1
7．有下列命题：
①x=是a, x, b成等比数列的充分但不必要条件
②某数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列一定是常数列
③已知Sn表示数列{an}的前n项和，且S，那么{an}一定是等比数列
④设，则这三个数a, b, c成等差数列
其中正确的命题序号是：（ D ）
A．②④ B．①②③ C．①③ D．①②④
8．若两个等差数列的前n项和(nÎN)，则的值等于（ C ）
A． B． C． D．
9．在等差数列中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24，则此数列前13项之和为（ A ）
A．26 B．13 C．52 D．156
10．等差数列，=－5，它的前11项的算术平均值为5。若从中抽去一项，余下10
项的算术平均值为4，则抽去的是（ D ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．已知数列的前n项和的公式为，则通项公式为 。

2．数列{a}的通项公式为 前n项和为 S，若
(a为实常数)，则a的值等于 。3

三、解答题
1．
（1）（2）
（3）
解：（1）

（2）

②－①得

(3)当n=2k（k∈N）时，

当n=2k-1 (k∈N)时，

2．数列的前n项和为Sn, 已知是各项为正数的等比数列。试比较 的大小，证明你的结论。
解：依题意, 可设
则
从而有
(Ⅰ)当q = 1时, a2 = a3 = … = 0
∴
(Ⅱ)当q > 0且时,
(1)当n = 1时,

∴
(2)当

(i)若q > 1时, 则
(ii)若0 < q < 1时, 则

3．已知数列
(1)分别求出。
(2)当n³9且n是自然数时，试比较与2的大小，并说明理由。
解：（1）；
（2）

时命题成立

4．已知，
⑴比较与的大小。
⑵试确定实数的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式恒成立。
解：（1）∵f(n+1)-f(n)=S2n+3-Sn+2-(S2n+1-Sn+1)=…=
>=0，
∴f(n+1)>f(n)。
（2）∵f(n+1)>f(n)，∴当n>1时，f(n)的最小值为f(2)=S5-S3=
∴必需且只须<……………①，
由得m>1且m≠2
令t=则不等式①等价于，解得：0<t<1
即0<<1，即-1<logm(m-1)<0或0<logm(m-1)<1，
解之得：。
5．某人年初向建设银行贷款10万元用于买房。
(1)如果他向建设银行贷款, 年利率为5%, 且这笔借款分10次等额归还(不计复利), 每年一次, 并从借后次年年初开始归还, 问每年应还多少元(精确到1元)？
(2)如果他向工商银行贷款, 年利率为4%, 要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息), 仍分10次等额归还, 每年一次, 每年应还多少元(精确到1元)？
解：(1) 若向建设银行贷款, 设每年还款x元, 则
105×(1 + 10×5%) = x(1 + 9×5%) + x(1 + 8×5%) + x(1 + 7×5%) + … + x,
105×1.5 = 10x + 45×0.05x,
解得(元)
(2)若向工商银行贷款, 设每年还款y元, 则
105×(1 + 4%)10 = y(1 + 4%)9 + y(1 + 4%)8 + y(1 + 4%)7 + … + y

其中1.0410 = (1 + 0.04)10 = 1 + 10×0.04 + 45×0.042 + 120×0.043 + 210×0.044
+ …1.4802
(元)
答: 若向建设银行贷款, 每年需还12245元; 若向工商银行贷款, 每年需还12330元。
数列的综合应用(1)
【例1】 已知无穷数列{an},Sn是其前n项和,对不小于2的正整数n,满足关系。(1)求a1，a2，a3；（2）证明{an}是等比数列;
（3）设计算
解：（1）S2=

（2）猜想 a
（1） 当n=1时，命题成立
（2） 假设n=k（k≥1）时命题成立,即
(*)
同理有 1-Sk+1=ak+1 (**)
由(*)式和假设
由（**）式，得，1=（Sk+ak+1）
故 ak+1=
∴当n=k+1时，命题也成立。
由（1），（2）n∈N,a
此时
（2）另证：对 n≥2, 1-Sn=an-1-an
1- Sn+1=an-an+1
两式相减,有

（3）

=
【例2】 已知，数列 满足
（1）写出数列的前五项，试归纳出的表达式，并用数学归纳法证明。
（2）求。（3）若求数列的前n项的和Sn。
解：（1）由得数列前五项

(ii)假设时等式①成立，即
当时
即等式①对也成立
由（i）（ii）可知等式①对都成立
（2）
（3）

【例3】 已知a>0，a≠1，数列{an}是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=anlgan
（n∈N）。（1）求数列{bn}的前n项和Sn；
（2）当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.
解：（1）由题意知an=an，bn=nanlga.
∴Sn=（1 • a+2 • a2+3 • a3+……+n • an）lga.
a Sn=（1 • a2+2 • a3+3 • a4+……+n • an+1）lga.
以上两式相减得
（1–a）Sn=（a+a2+a3+……+an–n • an+1）lga .
∵a≠1，∴.
（2）由bk+1–bk=(k+1)ak+1lga–kaklga=aklga[k(a–1)+a].
由题意知bk+1–bk>0，而ak>0，
∴lga[k(a–1)+a]>0. ①
（1）若a>1，则lga>0，k(a–1)+a>0，故a>1时，不等式①成立；
（2）若0<a<1，则lga<0，
不等式①成立恒成立
.
综合（1）、（2）得a的取值范围为

【例4】 已知数列{an}的前n项和为Sn，又有数列{bn}，它们满足关系，对有。
（1）求证{bn}是等比数列，并写出它的通项公式
（2）求
解：⑴证法一：当 n=1时，。

同理，
(2)－(1),
即
由
于是
由(3),(4)知的等比数列，
证法二：同上算得，……猜想且数学归纳法证明，
(1) 当，命题成立
(2)假设时命题成立，即成立。

∴
又

由(1)(2)知对 猜想成立
的等比数列，
⑵

∴
解法2：由

，∴{bn}是等比数列；且
【例5】 已知是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项和为，是首项为1，公比为q(|q|<1)的等比数列，其前n项和为，设，若 ，求d和q。
解：；
又；

=1

又

【例6】 已知等比数列中a1 = 1，公比为x (x > 0)，其前n项和为S。
（1）写出数列的通项公式及前n项和Sn的公式；（2）设，写出bn关于x和n的表达式；（3）判断数列{bn}的增减性；（4）求。
解：（1）
（2）

（3）当；∴
当n1时，

综上知为递减数列。
（4）当

数列的综合应用(1)
一、选择题
1．等差数列的通项公式为的前n项和S等于( A )
(A) (B) (C) (D)
2．一个等比数列的前n项和，则该数列各项和为（ B ）
A． B．1 C．－ D．任意实数
3．已知数列{an}满足an+1=an–an–1（n≥2），a1=a，a2=b，记Sn=a1+a2+a3+…+an，则下列结
论正确的是（ A ）.
（A）a100=–a，S100=2b–a （B）a100=–b，S100=2b–a
（C）a100=–b，S100=b–a （D）a100=–a，S100=b–a
4．设首项为3，公比为2的等比数列{a}的前n项和为S，首项为2，公比为3的等比
数列{a'}的前n项和为S'，则的值等于( C )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 2
5．在等比数列中，首项a1 < 0，则是递增数列的充要条件是公比q满足
（ C ）
A．q > 1 B．q < 1 C．0 < q < 1 D．q < 0
6．设首项为3，公比为2的等比数列 {a} 的前n项和为S，首项为2、公比为3的等
比数列{a} 的前n项和为 S’，则 的值等于：( C )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 2
7．已知数列中，，则这个数列前n项和的极限是（A）
（A）2 （B） （C）3 （D）
8．等差数列的通项，则由所确定的数列的前n项和是（ C ）
A． B． C． D．
9．已知等比数列{an}中，公比qR，且,，记
则Sn等于（ D ）
A． B． C． D．
解：由已知可得
所以得：
所以
10．已知数列此数列所有项的和等于（ C ）
A．0.25 B．0.5 C．0.3 D．0.375
二、填空题
1．设等差数列共有3n项，它的前2n项之和是100，后2n项之和是200，则该等差数列的中间n项之和等于 . 75
2．在数列该数列所有项的和为，则的值等于
3．某工厂原来年总产值为a，以后连续两年平均以10%递增，若连续两年中第二年产值为b，则a占b的百分数是 。
4．数列中， 。
5．已知、都是公差不为零的等差数列，且
则的值为 。
6．已知数列是等比数列，若
且 . 16

三、解答题
1．数列中，前n项和其中a,b是常数，且a>0,a+b>1,n∈N.
（1）求的通项公式，并证明；
（2）令，试判断数列中任意相邻两项的大小.
解：（1）

当n=1时也能满足上式，∴

∴
（2）由（1）及对数的性质可得数列中各项皆为正值

又∵，∴.
∴
2．已知数列，前n项和为，对于任意总成等差数列。（1）求的值；（2）求通项（3）计算.
解：（1）∵当n≥2时，成等差数列
∴；∴
∴∵，∴
类似地∴
∴
（2）∵当n≥2时，，即
∴
②–①得 ∴为常数
∴，，，…，，…成等比数列.；其中
故
∴
（3）∵=
∴=
数列的综合应用(2)
【例1】 已知函数具有下列性质：

（1）当n一定，记求的表达式
（2）对
解：（1）

即又

，即，由n为定值，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
，
由于
（2），
欲证，
只需证明，
只需证明

【例2】 已知函数f(x)=
（1）求f(x)的反函数f－1 (x)的表达式；
（2）数列中，a1 =1；an =f－1 (an－1)(nÎN，n≥2)，如果bn =(nÎN)，求数列的通项公式及前n项和Sn；
（3）如果g(n)=2Sn－17n，求函数g(x) (xÎR)在区间[t,t+2] (tÎR)上的最小值h(t)的表达式。
解：（1）
∴f－1 (x)=
（2）
∴ ∴
是以1为首项，公差为1的等差数列
（3）g(n)=2Sn－17n=n2－16n xÎR
∴g(x)函数图像是以顶点M（8，－64）且开口向上的抛物线
(i)当t>8时，g(x)在[t,t+2]上是增函数 ∴h(t)=g(t)=t2－16t
(ii)当t+2<8时，g(x)在[t,t+2]是减函数 ∴h(t)=g(t+2)=t2－12t－28
(iii)当6≤t≤8时 h(t)=g(8)=－64
∴
【例3】 在数列{an}中，已知
（1）求证：；（2）求证：；
（3）若存在，使得，求证：。
解：（1）证明：
当，命题成立。
假设时，命题成立，即
则
由归纳假设，则，由平均值定理得

所以时也成立
因此，对任意自然数n，都有
（2）证明：；由（1），
又
（3）证明：由及得

由此得；于是
又，解得
【例4】 已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1)a＋anan＋1－na＝0，又知数列{bn}:b1＝2n－1＋1。(1)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn；(2)求数列{bn}的前n项和Tn；(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.
解：⑴∵
∴ 。
∴
∴，∴。即。
∴。∴，
又，∴。
∴。
⑵∴，
∴。
⑶
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴。
猜想：当时，。
即。亦即。
下面用数学归纳法证明：
当时，前面已验证成立；
假设时，成立，那么当时，
。
∴当时，也成立。
由以上、可知，当时，有；当时，；
当时，。
【例5】 已知等差数列{}中，公差为d>0，等比数列{}中，公比q>0且若，求a的取值范围.
解：由已知不等式，得
∵，∴
①当时，，∵，∴
∵若，则，∴
若，则，∴
②当时，
∵，∴
若，则，∴
若时，则，∴
综上：若时， 或
时，或

数列的综合应用(2)练习
一、选择题
1．设Sn =，则等于（ A ）
A． B． C．0 D．
2．已知数列中，，那么等于（ B ）
A、－495 B、765 C、1080 D、3105
3．在等差数列中，（ A ）
A、0 B、m C、n D、不确定
4．一个等差数列的首项为4，它的第一项、第七项、与第十项成等比数列，这个数列的通项公式是（ C ）
A、 B、
C、 D、
5．设等于（ C ）
A、 B、 C、 D、1
6．数列1,b,c,8中，前三项1,b,c成等差数列，后三项b,c,8成等比数列，则必有（ B ）
A、c>0 B、b>0 C、c<0 D、b<0
7．设等差数列的前4项之和为26，其末4项之和为110，又这个数列的所有的项之和为
187，则这个数列共有多少项（ A ）
A、11项 B、22项 C、8项 D、项数不能确定
8．设数列满足且 等于（ D ）
A、100a B、100a2 C、101a100 D、100a100
二、填空题
1．若等差数列的前几项和为Sn，且 。100
2．已知数列，它的前n项和记为Sn，若是一个首项为a
公比为q(q>0)的等比数列，且 .

3．在等比数列中，记：，若则公比q= 3
4．数列的前n项和为的值为 。1
5．数列的通项公式前n项和为(a为实常数)，则a的值等于 。2
6．已知等比数列的各项都是正数，，且前n项中最大的一项为54，
则n= 。4
三、解答题
1、若分别表示数列的前n项的和，对任意正整数n，
。（1）求数列的通项公式；
（2）在平面直角坐标系内，直线的斜率为,且与曲线有且仅有一个交点，与y
轴交于点Dn，记;
（3）若.
解：（1）解法（一）由已知
当
由于
由于b1适合上式，
解法（二）由于为等差数列，

当n=1时，，
当
由于b1适合上式，
（2）设的方程为
∵直线与曲线只有一个交点，∴
∴ 则
从而

（3）

=

2．都是各项为正的数列，对任意的自然数，都有成等差数列，成等比数列。
（1）试问是否是等差数列？为什么？
（2）求证：对任意的自然数成立；
（3）如果，求。
解：依题意……①
……②
（1）∵，∴由②式得
从而时，
代入①，∴
∴是等差数列。
（2）因为是等差数列∴
∴
（3）由及①②两式易得
∴中公差
∴
∴………………③
又也适合③、∴
∴
∴
∴

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