2015年陕西省咸阳市高考模拟考试(一)理科数学试题-及答案.doc

2015年咸阳市高考模拟考试试题（一）
理科数学
参考公式：如果事件、互斥，那么
如果事件、相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率
球的表面积公式，其中表示球的半径
球的体积公式，其中表示球的半径
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知全集为，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2、若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）

4、已知命题；命题，且的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、一只蜜蜂在一个棱长为的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体个表面的距离均大于，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6、已知圆：经过椭圆
（）的右焦点和上顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7、阅读右面的程序框图，则输出的（ ）
A． B． C． D．
8、在数阵里，每行、每列的数依次均成等差数列，其中，则所有数的和为（ ）
A． B． C． D．
9、如右图所示为函数（，）的部分图象，，两点之间的距离为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10、函数的图象是（ ）

11、已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，平面截球所得截面的面积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12、弹子跳棋共有颗大小相同的球形弹子，现在在棋盘上将他们叠成正四面体球堆，试剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（ ）颗
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13、已知向量，，则在方向上的投影为 ．
14、若实数，满足条件，则的最大值为 ．
15、 ．
16、设，有唯一解，，，，，，，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分12分）已知的三个内角，，的对边分别为，，，且的面积为．
若，求角，，的大小；
若，且，求边的取值范围．

18、（本小题满分12分）已知甲盒内有大小相同的个红球和个黑球，乙盒内有大小相同的个红球和个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取个球．
求取出的个球均为黑球的概率；
求取出的个球中恰有个红球的概率；
设为取出的个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．

19、（本小题满分12分）如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．
求证：平面；
求二面角的大小．

20、（本小题满分12分）如图，已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到的距离为，且的横坐标为．过点作抛物线的两条动弦、，且、的斜率满足．
求抛物线的方程；
直线是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．

21、（本小题满分12分）已知函数．
若为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；
当，且时，证明：．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线与相切于点，是的弦，的平分线交于点，连结，并延长与直线相交于点．
求证：；
若，．求弦的长．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为．
写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；
若点坐标为，圆与直线交于，两点，求的值．

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，（）．
解不等式；
若不等式恒成立，求的取值范围．

2015年咸阳市高考模拟考试试题（一）
理科数学参考答案
一、选择题（ 本大题共12小题，每小题5分，共60分）．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
A
D
C
D
B
A
A
B
C
B

二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.. 14.11. 15.. 16. .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
解:由三角形面积公式及已知得S=
化简得即又0<B<故. ………………………3分
（1）由余弦定理得,∴b=a.
∴a:b:c=1::2,知. ………………………………………6分
（2）由正弦定理得.
由 C=,c==
又由知1，故c ……………………………………12分
18.（本小题共12分）
解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，
, . ………………………………… 3分
取出的4个球均为黑球的概率为
. ……………………………… 4分
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，且,……7分
所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
. ……………………………… 8分
（Ⅲ）设可能的取值为0,1,2,3.
由（Ⅰ）、（Ⅱ）得, ,.
所以.
的分布列为

0
1
2
3
P

-----------11分

∴ 的数学期望 . ………… 12分
19（本小题满分12分）
解法一:
∵四边形ACDE是正方形， ；
又∵平面平面ABC，，
平面EAC； ………………3分
平面EAC，；
又，平面EBC； ………………6分
(2) 过A作AHEB于H，连结HM；
平面EBC，；平面AHM；
是二面角A-EB-C的平面角； ………………8分
∵平面平面ABC，平面ABC；；
在中，AHEB ，有；
设EA=AC=BC=2a可得，
，；
, .
∴二面角A_EB_C等于. …………12分
解法二： ∵四边形ACDE是正方形 ，，
∵平面平面ABC，平面ABC ； ………2分
所以，可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为X轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz； 设EA=AC=BC=2，则A(0,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2)，
M是正方形ACDE的对角线的交点，M(0,1,1)； ……………4分
（1） ，
，
，；
又， 平面EBC； ………………6分
（2） 设平面EAB的法向量为，则且，
且；
, 即
取y=-1，则x=1， 则； ………………10分
又∵为平面EBC的一个法向量，且，
，
设二面角A-EB-C的平面角为，则，；
∴ 二面角A-EB-C等于. ………………12分
20.解：(1)设抛物线方程为C：，
由其定义知，又，所以，.
---------------5分
(2) 解法一：易知，当轴时，设方程为（），
由得
由得不符题意。
当的斜率存在时，设方程为，
联立得，
设，则，① ------------8分
由,得
2()+-4=0 ② 把②代入①得
直线方程为，显然过定点.-------------12分
解法二：易知，设，DE方程为
把DE方程代入C，并整理得，
---------------8分
由及得
，所以，代入DE方程得：
，即
故直线DE过定点 -------------------12分
21. （本小题满分12分）
解：（I），
∴ ……2分
对，，故不存在实数m，
使对恒成立， ---------------------------4分
由对恒成立得，≥对恒成立
而＜0，故m≥0
经检验，当m≥0时，对恒成立
∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数． ---------- 6分
（II）当m = 1时，令
，
在[0，1]上总有≥0，即在[0，1]上递增
∴当时，，
即 ① ------------------9分
令，
,知h(x)在[0，1]上递减，∴
即②-----------------------------11分
由①②知,当时，.---------------12分
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲 1
证明：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴
∵ ∴
∴AC=BC=5
由切割线定理得：

∴ ---------------------------5分
（2） 由AC=BC=5，AQ=6 及（1）， 知 QC=9
由 知∽
∴ ∴ . -----------------------10分
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
解：(1)由得直线l的普通方程为--------2分
又由得圆C的直角坐标方程为
即. ---------5分
(2) 把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 ，即
由于，故可设是上述方程的两实数根，
所以又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为
所以. ------------------10分
24.(本小题满分10分)选修4—5：
解：(Ⅰ)不等式的解集为[-2，3]． …………5分
（Ⅱ）若不等式恒成立，即恒成立．
而的最小值为，∴，
解得，故的范围（-∞，1]． ………………10分

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