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2023 年（第 45 卷）第 8 期汽车工程Automotive Engineering2023（Vol.45 ）No.8面向NMPC运动规划系统的数值优化加速技术*高锋，冯德福，胡秋霞（重庆大学机械与运载工程学院，重庆400044）摘要 非线性模型预测控制（nonlinear model predictive control，NMPC）是一种有效的自动驾驶运动规划方法，但数值优化对计算资源的巨大需求限制其实际应用。本文通过降低优化变量维度，简化非凸避障约束，提高NMPC运动规划系统数值优化的求解速度。针对车辆动力学的强非线性，采用拉格朗日插值逼近动力学方程和目标函数，在保证精度的前提下有效较少离散点。并在数值分析离散化误差分布特征基础上，设计拉格朗日多项式阶次自适应策略，进一步减少了优化变量维度。通过提出综合椭圆和线性时变约束的混合避障约束策略，在保证安全性的同时实现了数值优化难度与优化结果保守性之间的良好平衡。在多障碍物场景下，通过仿真和实验验证了所提方法的加速效果和性能。结果表明，与传统方法相比离散化精度和求解效率分别提高了74%和60%。关键词：自动驾驶；运动规划；模型预测控制；拉格朗日插值；避障约束Accelerating Technologies of Numerical Optimization for Motion Planning Designed by Nonlinear Model Predictive ControlGao Feng，Feng Defu&Hu QiuxiaCollege of Mechanical and Vehicle Engineering，Chongqing University，Chongqing400044Abstract Nonlinear Model Predictive Control（NMPC）is an effective method for the motion planning of automated vehicles，but its high demand of computation resources for numerical optimization limits its practical application.This paper improves the solving speed of the numerical optimization of NMPC motion planning system by reducing the dimension of optimization variables and simplifying the non-convex constraints for obstacle avoidance.Given the high nonlinearity of vehicle dynamics，Lagrange interpolation is adopted to discretize the state function of vehicle dynamics and the objective function to ensure the accuracy with less discretization points.Furthermore，an adaptive strategy is designed to adjust the order of Lagrange polynomials based on the numerical analysis of the distribution characteristics of the discretization error to further reduce the dimension of optimization variables.Moreover，a hybrid strategy is presented to construct the constraints for obstacle avoidance by combing the elliptic and linear time-varying ones together to realize good balance between the difficulty of numerical optimization and the conservatism of optimized results while ensuring the driving safety.The acceleration effect and performance of the proposed method are validated by simulation and experimental tests under various scenarios with multi-obstacles.The results show that compared with traditional methods the accuracy and efficiency of discretization of the proposed method is improved by 74%and 60%，respectively.Keywords：automatic driving；motion planning；model predictive control；Lagrange interpolation；obstacle avoidance constraints doi：10.19562/j.chinasae.qcgc.2023.08.014*汽车安全与节能国家重点实验室开放基金（KFY2209）、汽车协同创新中心揭榜挂帅项目（2022CDJDX-004）和重庆市技术创新与应用发展专项（CSTB2022TIAD-KPX0139）资助。原稿收到日期为 2023 年 02 月 10 日，修改稿收到日期为 2023 年 03 月 13 日。通信作者：高锋，教授，博士，E-mail：。2023（Vol.45）No.8高锋，等：面向NMPC运动规划系统的数值优化加速技术前言随着自动驾驶系统智能化等级不断提升，运动规划器需同时考虑包括避撞和合规等在内的多种约束，并保证驾驶舒适性等需求1-3。目前，典型的运动规划算法主要有人工势场法、采样法、机器学习和基于模型的方法4。其中，非线性模型预测控制（nonlinear model predictive control，NMPC）能够处理车辆动力学等非线性约束，实现安全性、舒适性等多目标优化，已成为复杂交通场景下运动规划的重要方法4-5。然而，非线性和非凸约束给数值优化带来巨大困难，现有车载处理器的有限资源难以保证实时性。针对车辆非线性动力学方程，主要采用近似线性化和多重打靶离散化（multiple shooting discretization，MSD）6。Falcone等7在设计车道保持系统时，通过1阶泰勒展开近似车辆非线性动力学特性，采用文献 8 的迭代算法可提高近似精度。然而，当预测时域较长时会产生不可接受的累积误差9。近年来，许多学者采用基于龙格库塔积分（Runge Kutta，RK）的MSD10求解非线性动态微分方程11。理论上，只要打靶点足够密集就能无限逼近原函数。然而，密集打靶点会导致变量维度急剧增加。在避障场景下，Brown 等12比较了不同阶次 RK 的精度，Potena等13提出非均匀打靶间隔以减少打靶点。对于运动规划的非线性约束，因避障约束非凸，研究多集中于此。常见的类型主要有：时不变线性约束；符号距离；圆形、矩形和椭圆方程等14。针对超车场景，Dixit等14采用时不变线性方程描述避障约束；Ziegler 等15采用自车（subject vehicle，SV）与障碍物车（obstacle vehicle，OV）间的符号距离作为避障约束。针对符号距离不可微问题，文献 12 中采用多个圆近似障碍物外形，增加圆的数量可提高近似精度16，但会增加约束方程数量。从车辆外形几何特征出发，文献 17 和文献 18 中分别设计了矩形和椭圆约束。相对而言，椭圆约束具有更好的平滑性，但仍然非凸。针对由车辆非线性和非凸避障约束带来的NMPC运动规划实时性问题，本文采用拉格朗日插值实现车辆动力学离散化，并设计拉格朗日多项式自适应变阶次策略，进一步降低优化变量维度。此外，基于风险构建由椭圆和线性时变约束组成的混合避障约束（hybrid obstacle avoidance constraints，HC），在保障行车安全性的同时，实现规划保守性和数值优化难度的良好平衡。在多障碍物场景下对所提方法的有效性进行了数值仿真和实验验证。1问题描述与分析1.1NMPC运动规划方法参照文献 19 将运动规划表述为如下问题：J=minu 120Tf(y-ydes2Q+u2P)+u 2Rdt（1a）s.t.x=f()x，u（1b）x0=x()0（1c）ho()x，u 0，o=0，M（1d）umin()vx u()t umax()vx（1e）umin u()t umax（1f）式中：式（1a）为目标函数，包括跟踪性能、控制输入和 控 制 量 变 化 率；Q=diag(0.844，1，40)、P=diag(10-5，62.5)和R=diag(10-4，90)分别为权重矩阵；Tf=2 s为预测时域；y=vx e1 e2T；ydes=vd 0 0T；vd为目标速度；式（1b）和式（1c）分别为车辆动力学和初始状态约束；式（1d）为椭圆避障约束19；式（1e）和式（1f）分别为控制量及其增量约束。在预测时域内，周围目标物通过式（1d）避障约束影响运动规划系统。为考虑其不确定性，在第3节设计混合避障约束时采用文献 9 中的方法估计预测时域内目标物的运动状态。针对常规驾驶工况，为拓展运动规划系统的适用范围，采用式（2）的车辆纵横向动力学耦合模型。该模型适用于低速大转角工况，且考虑了轮胎侧偏特性20。x=2Cyf()vy+lf-fvxsin()fmvx2Cyf()fvx-vy-lf cos()fmvx2Cyflf()fvx-vy-lf cos()fIzvx000+1439汽车工程2023 年（第 45 卷）第 8 期 FTm+vy2Cyr()vy-lrmvx-vx2Cyr()vy-lr lrIzvxvxcos()e2-vysin()e21-ke1vxsin()e2+vycos()e2-ks（2）式中：x=vx vy s e1 e2T为状态量；u=FT fT为控制量。式（2）中的变量说明见图1，m和Iz分别为质量和转动惯量，lf和lr分别为质心到前后轴的距离，Cyf和Cyf分别为前后轮侧偏刚度，k为参考车道中心线的曲率。1.2计算资源消耗分析基于式（1）问题采用图2所示的场景仿真分析计算资源消耗。场景中，SV通过连续换道超过障碍物车OV4，障碍物车OV1OV5平稳运行，初始状态如图2所示。仿真时，采用MSD离散化，根据表1和表2的参数采用CasADi求解21。为提高效率，将算法编译成机器码，并集成到Prescan、Carsim和Matlab/Simulink组成的仿真平台22-23。其中，Prescan模拟交通场景，Carsim模拟SV动力学特性，Maltab/Simulink运行运动规划算法，控制周期为0.05 s。仿真平台配置为：Xeon E3-1505M 处 理 器（3.0 GHz，4 核）；16 GB RAM。通过统计每个循环的仿真时间对计算资源的消耗进行分析，结果如图3所示。由于场景相同，其它环节消耗的计算资源几乎不变。如图3所示，每个控制循环的计算时间随着打靶间隔和障碍物数量的增加而急剧增加。这是因为搜索空间与优化变量呈指数关系。优化变量由原始优化变量和约束条件的拉格朗日乘子组成。此外，当打靶间隔和障碍物数量增大时，计算时间的波动范围变大。这说明数值优化的收敛性对环境条件图1车辆动力学耦合模型变量定义图2仿真场景表1NMPC运动规划参数参数FTmin(vx)FTmax(vx)f(vx)uminumax教值vx=0 5 10 15 20 25 30 m/sFTmin=5.2 5 4 4 3.8 3 2 kNvx=0 5 10 15 20 25 30 m/sFTmax=4 4 4 4 3.7 2.5 2 kNvx=0 5 10 15 20 25 30 m/sf=32 20 7 5 3 2 2()5 000 N/s 63 ()/sT4 000 N/s 63 ()/sT表2车辆动力学模型参数符号IzmlflrCyfCyr单位kgm2kgmmN/radN/rad数值1 9431 4601.171.7754 60054 600图3每个周期的仿真时间统计结果 14402023（Vol.45）No.8高锋，等：面向NMPC运动规划系统的数值优化加速技术依赖很大，易导致实际应用时不稳定。为提高实时性，在第2节提出一种新的离散化方法，以较少采样点拟合车辆非线性动力学模型，并在第3节简化椭圆约束以提高数值稳定性。2自适应正交拉格朗日插值离散化MSD本质上只利用了局部信息。相对而言，正交拉格朗日插值（orthogonal Lagrange interpolation，OL）能够利用全局信息，原理上可通过较少的离散点保证预测精度。2.1基于拉格朗日插值的离散化将控制和状态变量采用拉格朗日插值离散化为ul()=i=0Nli()ui；xl()=i=0Nli()xi（3）式中：=(2t-Tf)/Tf-1，1为插值点的相对位置；N为多项式阶次；ui和xi分别为u和x在插值点的值；li()=j=0，j iN-ji-j为基函数，i由OL决定24。将式（3）代入车辆动力学模型的式（1b），有j=0Nlj(i)xj-Tff()xi，ui2=0，i=0，N（4）其中：lj(i)=PN()iPN()j()i-j，i j-N()N+14，i=j=0N()N+14，i=j=N0，其他（5）PN()=1，N=0，12NN！dN()2-1NdN，N=1，2，（6）式（1a）代价函数离散化为J=Tf2-11i=0Nli()Qid（7）式中Qi为插值点处的代价函数值。因-11li()d=2N()N+1 PN2()i，式（7）进一步简化为24J=i=0NTfQiN()N+1 PN2()i（8）至此，运动规划问题的式（1）转化为式（3）、式（4）、式（6）和式（7）所示的离散形式。2.2离散误差统计分析为验证拉格朗日插值离散化的有效性，在以下随机条件下将其与MSD进行比较：（1）车 辆 初 始 状 态 在vx 0，30m/s和 0，45()/s范围内随机选取19；（2）控制输入u(t)随机生成，并采用限速器根据自然驾驶特性19进行滤波，统计结果如图4所示。生成数据的时长设为3 s25，共得到1 703 233组数据。由式（1c）计算车辆状态真实值，采用真实值与拟合值间的最大误差衡量精度。当N=8时，典型的拟合结果如图5所示。图中，朗格朗日插值和拉格朗日正交插值的计算公式均为式（3），两者差别在于插值点的选择。前者在预测时域内均匀分布，后者则中间稀疏两侧密集以提高拟合精度。MSD采用欧拉方法进行离散化。由图 5可知，OL的拟合精度最好，均匀拉格朗日插值（uniform lagrange interpolation，UL）的拟合误差略大于 OL，MSD 最差。这是因为 MSD 仅利用前一步信息积分得到预测值，而拉格朗日插值可利用全局信息。此外，采用UL时在预测时域的开始和结束阶段存在龙格现象，因为这些区域的有效数据较图4车辆控制输入的对比结果（a）前轮转角误差（b）横摆角速度误差图5典型拟合结果 1441汽车工程2023 年（第 45 卷）第 8 期少。OL在两侧区域采样点相对中部更加密集，使得整体数据点的可用信息趋于均匀，有利于消除龙格现象。图6给出了N=8时拟合误差的整体对比结果。除离散化方法外，拟合误差也随工况变化。在大转向角、低速工况下，车辆动力学非线性强，误差较大。通过增加离散点可以很好地拟合，但计算量也随之增加。因此，为在保证插值效率的同时减小误差，下节提出了一种自适应变阶次策略。2.3自适应变阶次插值策略为设计阶次调整策略，对不同阶次的离散化误差进行对比，结果如图7（a）所示。总体上，离散化误差随插值阶次的增加而减小，但当车辆动力学近似线性时，改善较小。如当vx20，30 m/s时，N=8与N=6的OL离散化误差几乎相同。因此，在车辆动力学近似线性的工况下，低阶插值即可保证精度。为平衡计算效率和预测精度，根据第2.2节的分析工况，从低到高阶逐步增加离散化阶次，当预测时域内所有车辆状态的最大误差均小于0.01时，则此时的离散化阶次即为该状态对应的阶次。以横摆角速度为例，得到的所有状态点对应的离散化阶次区域如图 7（b）所示，从而根据车辆状态选择插值阶次：S(vx，)=8，L1()vx，0 7，L1()vx，0且L2()vx，06，L2()vx，0且L3()vx，05，L3()vx，0 （9）式中S(vx，)是阶次自适应策略（ALD）。为保证整个预测时域的精度，最终插值阶次O为O=maxS(vx，0，0)，S(vx，N，N)（10）式中：(vx，i，i)，i=0，N；N为预测的车辆状态。3混合避障约束式（1）问 题 中 的 椭 圆 约 束（elliptic obstacle avoidance constraint，EC）19可表示为h(x，u)=(s-sosx，o)2+(e1-e1，osy，o)2-1 0（11）式中：sx，o和sy，o分别是椭圆的长轴和短轴；SV和障碍物的质心分别为(s，e1)和(so，e1，o)。如图3（b）所示，非凸约束会极大降低效率，为此须根据风险构造混合避障策略。3.1椭圆避障约束的凸化对于低风险障碍物，由预测的自车和障碍物状态根据椭圆约束方程式（11）在切点处线性化，从而将非凸非线性避障约束转化为线性凸约束（如图8所示），得到动态线性约束（linear constraint，LC）集：(s-so，i)(sdo，i-so，i)(sx，0)2+(e1-e1，o，i)(edo，i-e1，o，i)(sy，0)2=1（12）式中：(sdo，i，edo，i)为切点坐标；sx，0和sy，0分别为长轴和短轴。障碍物状态(so，i e1，o，i)的预测参见文献 9。3.2混合避障策略为降低 LC 的保守性，采用碰撞时间（time to 图7插值阶次自适应策略图6拟合误差对比结果图8基于动态线性约束集的凸化 14422023（Vol.45）No.8高锋，等：面向NMPC运动规划系统的数值优化加速技术collision，TTC）度量障碍物风险，将动态线性约束和椭 圆 约 束 组 合 成 混 合 避 障 约 束（hybrid obstacle avoidance constraint，HC）。如图9所示，对于高风险OV使用椭圆约束；其它OV，使用式（11）表示的线性约束。采用所提混合避障约束，虽然优化问题仍非凸，但能够减少非凸避障约束的数量，从而降低数值求解难度。4仿真验证和分析考 虑 如 下 因 素，采 用 MSD&EC、LD&HC、ALD&EC、ALD&LC 和 ALD&HC 共 5 种组合进行仿真分析验证ALD和HC的加速效果：（1）在数值求解上已采用主流的二次规划求解器 CasADi21；（2）车辆动力学模型直接线性化无法满足大转角等非线性工况的预测精度要求；（3）MSD和LC是设计NMPC运动规划系统时典型的简化加速技术。仿真平台和参数同1.2节，MSD打靶间隔为60，拉格朗日插值的初始阶次为8。考虑高速路合流和无保护左转弯是具有一定难度的工况26，设计的仿真场景如下：（1）场景1中包含5个障碍物，SV和OV的初始状态如图10（a）所示。（2）场景2中包含8个障碍物，SV和OV的初始状态如图10（b）所示。与场景1相比，速度更低，障碍物更多。仿真时，车辆的初始状态如图10所示，SV受本文设计的运动规划算法的控制，障碍物车保持初始速度沿设定的轨迹运行。4.1场景1仿真结果及分析在该场景下，SV须进行连续两次避障操作，车辆轨迹如图11所示。由图 11可见，ALD&LC 成功实现避障，但速度波动较大，轨迹更接近路缘。这是由于LC的可行空间较小，导致其速度较保守（如图12（b）。这不仅对驾驶舒适性不利，且易违反交通规则。相反，基于HC的算法通过降低保守性实现了更平顺的加减速。在9 s左右，MSD&EC导致SV与OV3碰撞。此时，SV刚完成避障，又须立即再次执行避障操作，控制和状态变量均发生剧烈变化（如图12所示）。ALD能够自适应提高阶次保证预测精度，MSD的离散化误差随非线性增强而增大，导致无法保证安全性。从图13的预测误差统计结果也可看出，MSD的精度远低于ALD。4.2场景2仿真结果及分析该场景中SV通过交叉路口，与场景1相比障碍物车更多。此时，由于非线性更强且椭圆约束增多，导致MSD&EC的最大计算时间超过2 s，因此只给出其它算法的结果。图9混合避障约束 SVOV1OV2OV3OV5OV4SVOV1OV2OV3OV5OV4m/s m/s m/s (a)场景1：连续弯道入口 OV1OV2OV3OV4OV5OV6OV7OV8SV ,(b)场景2：无红绿灯十字路口图10仿真场景图11SV和OVs的轨迹（场景1）1443汽车工程2023 年（第 45 卷）第 8 期如图14和图15所示，里程在2040 m时，SV需安全通过OV1-OV4和OV6组成的狭窄空间。如图15（b）所示，非LC算法均成功实现超车和避障。LC算法因减小了可行域导致无足够的超车空间，通过降速使 SV 保持在原车道行驶。当s 30 m时，SV须通过由OV1、OV5和OV8限制的狭窄空间。如图15（a）所示，LC不能准确描述OV形状，导致前轮转角发生剧烈变化，并在15 s时发生碰撞，如图14所图15SV状态量和控制输入（场景2）图14SV和OVs的轨迹（场景2）图12SV状态量和控制输入（场景1）图13预测误差对比结果（场景1）14442023（Vol.45）No.8高锋，等：面向NMPC运动规划系统的数值优化加速技术示，而HC则成功通过了交叉口。4.3加速效果分析对每个控制循环的计算时间进行统计分析，结果如图 16所示。由于 MSD&EC 在场景 2的仿真被迫终止，仅显示其部分计算时间。由图 16可见，MSD&EC消耗的计算资源最多。此外，MSD 的预测误差也大于 ALD（见图 13（a）。这导致场景 1 中 SV 在 9 s 附近（见图 11）高速避让OV3时发生碰撞。相比之下，ALD&LC所需计算资源最少，但LC不能很好地表征车辆外形，具有较高保守性。在场景2中，受其它障碍物限制（见图14）可行域进一步缩小，导致15 s左右与OV8发生碰撞。此外，由图12和图15可见，求解算法的保守性还导致控制输入和车辆状态大幅波动。总体而言，ALD&HC保证了仿真场景下的安全性，具有较好的计算效率和驾乘舒适性。5实验验证本节通过实车验证所设计NMPC运动规划器的性能。实验平台如图17所示，运动规划算法运行在MicroAutoBox II（四核ARM A57 CPU）上。实验过程中，运行环境通过激光雷达进行感知，由数据融合系统通过以太网输出周围障碍物的方位和速度信息。车辆纵向运动通过加/减速度控制，分别由发动机管理系统和动力学稳定性控制系统执行。车辆横向运动通过方向盘转角控制，由动力转向系统执行。实验场景设计如下。（1）场景1：高速超车该场景旨在验证车辆的连续避障能力图18（a）。为安全起见，采用车辆在环技术，通过Prescan模拟环境和目标物27。（2）场景2：低速交通拥堵工况该场景旨在验证算法在图19（a）所示的多障碍物场景下的有效性。5.1高速超车初始条件见图18（a），所有OV保持初始速度不变，OV1按设定轨迹切入右车道，OV2始终保持在左车道匀速行驶。MSD&EC与ALD&HC的对比结果如图18所示。14 s时，ALD&HC 控制的 SV减速左转避开 OV1，然后在 36 s 时加速右转避开 OV2，最后切回右车道。与ALD&HC相比，MSD&EC在超车过程中由于控制量优化精度和实时性不够导致 26.3 s 冲出右侧路沿。与4.1节的分析一致，在连续避障工况下车辆动力学的非线性更强，导致MSD的预测误差更大。5.2低速交通堵塞如图19（a）所示，本实验在双车道上进行，SV位于右侧车道，所有障碍物车均由驾驶员根据场景要求按正常驾驶习惯控制。该场景中，OV1停车导致交通堵塞，OV2匀减速至停车，同时OV3以不断波动的速度行驶于SV前方（见图19（b），SV需同时避免与3辆障碍物车相撞。由于MSD&EC的计算时间远超设定的50 ms周期，因此仅给出ALD&HC结果。如图19（c）所示，SV首先避开停止的OV1，然后跟随OV3并等待超车机会。在450480 s时，OV3与SV的距离较小，同时SV须避免与OV1碰撞。此时，SV采用“起停”的方式跟随OV3行驶。500 s后，OV2的停车为SV超车并加速到期望速度提供了足够的空间。5.3实时性验证由第4.3节的仿真分析已得到不同组合算法加速效果的相对关系，且过差的实时性易导致事故，因此仅对部分算法每个控制循环的时间进行统计，结OxTS RT3000Delphi ESR Delphi RSDS MobileyeVLP16VN8911交换机Ibeo ECU4ibeo Lux环境感知数据融合系统MicroAutoBoxII运动规划和控制主机线控系统加速 转向换挡制动CANUSBUDPEthernet 图17实验平台图16运行时间统计结果 1445汽车工程2023 年（第 45 卷）第 8 期果如图20所示。结合第4.3节的结果可知，ALD和HC能够显著提升实时性，两种场景下，ALD&HC的最大计算时间均小于 50 ms，而 MSD&EC 的最小计算时间超过80 ms。6结论本文提出了ALD和HC两种方法对NMPC运动规划系统的数值优化进行加速。通过数值分析和实验验证，得到以下结论：（1）随着优化变量维度和约束条件数量的增加，计算资源的消耗几乎呈指数级增长；图18场景1实验结果图19场景2实验结果 14462023（Vol.45）No.8高锋，等：面向NMPC运动规划系统的数值优化加速技术（2）ALD能以比MSD更少的离散点数保证离散精度，HC能在规划保守性和数值优化难度之间取得较好的平衡；（3）本文设计的NMPC运动规划系统通过引入ALD和HC，能够处理多障碍物和纵横向运动耦合的场景，并具有良好实时性。参考文献 1 GAO F，DANG D，HE Y.Robust coordinated control of nonlinear heterogeneous platoon interacted by uncertain topologyJ.IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems，2022，23（6）：4982-4992.2 高振海，朱乃宣，高菲，等.考虑驾驶员特性的自学习换道轨迹规划系统 J.汽车工程，2021，42（12）：1710-1717.GAO Z，ZHU N，GAO F，et 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