平行四边形第三课时.doc

课时课题：第三章 第一节 平行四边形 第三课时
课 型：新授课
授课时间：2012年10月22日 星期一 第一节课
教学目标：
（1）理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题；
（2）进一步经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发展推理论证的能力；
（3）在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力,在证明过程中体会所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法．
教法及学法指导：
本节应用五环节教学模式：创设情境—感知探究—合作交流—拓展应用—总结升华，引导学生对三角形的中位线与第三边的数量与位置关系进行猜测、主动探讨、小组讨论，最后自己得出结论，并让学生体会探究过程中归纳、类比、转化等数学思想方法．
在实际教学中，尽可能地由学生说出证明三角形中位线定理的不同方法，在定理的应用中主要探究“中点四边形”的形状，并让学生总结出决定因素，这既体现了学生主动进行知识建构的过程，同时也培养了学生合作探究．分析问题及解决问题的能力．
课前准备：
教师制作课件，学生准备作图工具，课前复习三角形的中线的定义及性质，并预习本节课的内容．
教学过程：
A
B
.
C
D
O
一、创设情境
展示问题情境：如图，A、B两地被池塘隔开无法直接测量，现想知道A，B两地的距离，给你的工具只有皮尺，你还记得我们前面用什么方法和相关知识知道A，B两地的距离吗？
A
B
O
M
N
图1
生：利用全等三角形．如图1，在空地上取一点O，分别连接AO、BO，并延长，使AO＝DO，BO＝CO，得到△CDO≌△BAO，所以量出CD的长即为A,B两地的距离．
图2
师：现在有个实际情况，由于场地原因无法到达较远的C、D两点，应该怎样调整测量方案？
生：如图2，先在AB外选一点O，然后测出AC，BC的中点M，N，再测出MN的长，由此他就知道了AB间的距离．
师：你是如何知道的？能给大家说一下你的想法的依据吗？
生：我提前预习了课本，可以由三角形的中位线定理得到，AB=2MN．
师：太棒了！大家应该向他学习！请大家说出三角形中位线的定义．
【设计意图】根据我校学生的学习基础和实际学习水平，我认为教材中创设的问题情境难度较大，学生不容易突破，可能会在此耽误时间，影响了后面定理的探索．因此我设置了这个问题情境，一方面贴近学生的生活，帮助学生复习串连了旧知识，另一方面通过对所提问题的思考和解决，自然而然地引出三角形中位线的概念，过渡到本节课的学习内容上．
A
B
C
D
E
F
【实际效果】对于方案一，由于学生在前面已经学习过利用三角形全等测距离，所以这道题学生不难解决，这样既复习了旧知识，同时也给学生提供了不同的解决问题方案．对于方案二，只有部分提前预习的同学能够对所提问题的思考和解决，这给积极主动学习的学生提供了展示自己的舞台，鼓励学生自觉主动地学习．
二、感知探究
1．三角形的中位线定义．
生：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
图3
师：请大家画出三角形的中位线．由一位同学到黑板前画出．
生：如图4，图中共有三条中位线，分别是DE，DF，EF．
A
B
C
D
E
F
师：在此之前我们学过三角形的中线？你能说出二者的区别和联系吗？
生：区别是：三角形的中位线是连接两边中点的线段，三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段．如图4，DE为中位线，而AF为中线．
图4
生：联系：它们都是线段，且都有三条，都与三角形边的中点有关．
【设计意图】由学生画出，能够掌握三角形中位线定义的要点．通过与中线的对比分析，既复习旧知识又能很好地把握新知的内容，使前后生成系统知识，形成知识树．
【实际效果】学生会画中位线，但仅画出一条，后由其他学生纠正后形成了全面正确的信息：三角形的中位线共有三条．对于中线会画，但缺乏文字表达，需要学生多加训练．
2.．三角形的中位线定理．
师：你能猜出三角形的中位线与第三边有怎样的关系吗？
生：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
师：你是如何得到这个结论的？分组讨论交流，留出5分钟的思考时间．
生：凭我的感觉猜测得到的．
生：我是通过用尺子得到中位线等于第三边的一半，通过用量角器测量两个角得到中位线平行于第三边．
【设计意图】学生基于个人不同的学习水平和学习能力，通过不同的方法给出猜想．教师放手给学生后，学生的方法各异，教师通过巡视，掌握信息，给予指导．
【实际效果】激发了学生的探索热情，由于学生的学习水平和学习能力不同，但多数学生能够猜想出数量上的关系，而忽略了位置上的关系，经教师适当地提示点拨后才注意．
A
B
C
D
E
师：可以，这些方法也是我们探究数学常用的思维方式，哪些小组同学通过所学的定理来推理论证这个结论成立的？请先写出这个命题的已知、求证．
已知：如图5，为△ABC的中位线．
求证：∥，．
生：我们组是利用相似三角形证明三角形的中位线定理的：
图5
证明：为△ABC的中位线，
∴．
又公共角，
∴∽．（两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）
∴，，
A
B C
D
E
F
图6
∴∥，．
生：我们组是利用全等三角形和平行四边形的性质证明的：
证明：如图6，延长DE至F，使EF＝DE，连接CF．
∵AE＝CE，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE（ASA）
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F．
∴BD∥CF．
∵AD＝BD．
∴BD＝CF．
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∴DF∥BC，DF＝BC．
∴DE∥BC，DE＝BC．
B C
A
D
E
F
生：我们组也是利用利用全等三角形和平行四边形的性质证明的，但辅助线添加的方法不一样．
证明：如图7，过C点作CF∥AB交DE的延长线于F，
∴∠ADE＝∠F．
∵∠AED＝∠CEF，AE＝EC，
图7
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
下面的证明方法和前面那个组的一样．
师：同学们方法相当地好！要抓住每个方法所运用的定理．通过论证，刚才的结论是正确的，我们把它叫做：“三角形的中位线定理”．另外，关于三角形中位线定理的方法还有许多，课下同学们通过网络将其他证明方法整理出来．
【设计意图】这一环节采用小组合作学习方式，由于这个结论的证明思路和方法对学生来说有一定的难度，学生通过合作学习，彼此互相启发，共同研究，能够自己解决这一问题．对于学生思考未果的小组，教师可以通过上面的问题引导启发学生找到证明思路．通过小组间的交流，能让学生了解不同的证明方法，开阔思路，在听取他人意见的同时，优化自己的证明方法．这些方法充分发挥了学生主动学习、合作学习和探究性学习的功能，培养了学生探究问题的能力．
【实际效果】学生首当其冲想到了利用相似三角形的性质来证明，很是出乎我的意料．对于后面添加辅助线学生通过预习和小组合作得到的，第三种方法则经老师启发后，由一位程度较好学生讲给同学们听的，学生的思维很活跃．
3．三角形的中位线定理的应用
师：利用多媒体展示题目：
（1）已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是多少？如果△ABC的三边的长分别为a、b、c，那么△DEF的周长是多少？如果再顺次连结△DEF各边中点所得的三角形周长是多少？
（2）你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?并说明你的理由．
生：周长为，△DEF的周长是，顺次连结△DEF各边中点所得的三角形周长是．
图8
A
B
C
D
E
F
生：顺次连结三角形各边中点即可将三角形分成四个全等的三角形，如图8．由中位线定理知，， ，∥，
∴∠ADE＝∠B，∴△ADE≌△DBF（ASA）．同理可证得，这四个三角形全等．
【设计意图】问题（1）对三角形中位线定理进行巩固，训练学生应用知识的能力和规律性总结能力．问题（2），由于在前面做了铺垫，学生能够画出一个三角形的三条中位线，因此解决起来也相对顺利，主要还是练习学生的推理能力．
【实际效果】第（1）问题掌握较好，当我将中点三角形继续做下去后，学生也能很好地找到规律得到周长是多少．第（2）问，有小部分学生不能很快地说出理由．
三、交流提高
A
B
C
D
E
F
图9
1．以小组为单位，要求每个同学能说出三角形中位线定理的内容，并帮助有困难的同学解释如何应用定理．
2．回头看前面提到的三角形的中位线与中线，如图，请问：中位线DE与中线AF之间有什么关系？先独立思考，然后与同位交流你的想法．
生：中位线DE与中线AF互相平分．
证明：如图9，连接DF，EF，则DF∥AC，EF∥AB（三角形的中位线平行于第三边），
∴四边形ADFE为平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
∴DE与AF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．
即：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
【设计意图】继续探究三角形的中位线与中线二者的联系，不仅很好地巩固三角形中位线定理，也能达到数学中知识的螺旋式上升．通过先独立后合作的方式，要求学生独立思考在先，做到先问自己再问他人的好习惯．
【实际效果】有小部分学生能独立思考之后找到解决问题的方法，另有相当一部分学生当同学说出辅助线之后立马醒悟了，这也更加让学生感受到了辅助线的重要功效．
四、拓展应用
A
B
C
D
E
A
F
G
H
图10
1．任意做一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来,得到一个新的四边形．这个新四边形的形状有什么特征?请证明你的结论．
生：是平行四边形．如图10，连接BD，则
EH为△ABD中位线，
EH∥BD，．
FG为△BCD中位线，
FG∥BD，．
，．
四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）．
A
B
C
D
E
A
F
G
H
图11
生：是平行四边形．我连接两条对角线，如图11，
EH为△ABD中位线，
EH∥BD．
FG为△BCD中位线，
FG∥BD．
．
同理，．
四边形为平行四边形（两组对边分别平行的四边形为平行四边形）．
生：我也是连接的两条对角线，用的三角线中位线定理中的数量关系，证得
，，得到四边形为平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形为平行四边形．
师：以上三位同学提供的证明方法很好！请同学们分析这些方法有什么共同特点？
生：都是添加了辅助线：对角线！
生：添加对角线后，都是利用了三角形的中位线定理．
生：这体现了数学中的转化思想：将四边形问题转化为三角形问题．
师：同学们抓住了此题的决定“中点四边形”关键：对角线．布置同学们一道思考题：如果将问题中变式为：四边形ABCD是平行四边形、矩形、菱形、梯形、等腰梯形、直角梯形等特殊的平行四边形时, 中点四边形EFGH会有怎样的变化？当大家学完第二节《特殊的平行四边形》时，给出你的结论和证明，我期待丰收的果实！
【设计意图】进一步对三角形中位线定理进行巩固，同时灵活应用三角形中位线定理解决其他问题，同时进一步训练学生严谨的逻辑证明能力，体会通过添加辅助线将四边形的有关问题转化为三角形问题解决的转化思想．最后由教师点拨提升时，点到决定“中点四边形的关键”，并抛出问题串由学生课下继续探究，由于八年级已经学过了特殊平行四边形相关内容，程度较好的学生应该可以得出结论，这为下节内容做些铺垫，适当地做出了分层训练．
【实际效果】学生能够添加辅助线利用三角形的中位线定理证得中点四边形为平行四边形，有添加一条也有两条的，在证明平行四边形时利用了不同的判别方法，逻辑推理还可以．
2．梯形的中位线定义及定理：
师：数学中的转化思想无所不在，数学中的类比思想同样也如影相随，它是我们不断学习新知识的好伙伴．既然如此，如图，在梯形中，分别为中点，则是梯形的中位线．图中添加了一条辅助线，根据提示，你能推导出梯形的中位线有什么性质吗？
A
B
C
D
E
G
F
图12
生：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
生：由图12可知，连接并延长交的延长线于点，则≌．
．
为的中位线．
．
【设计意图】这个问题，我降低了难度，将辅助线添加上了，主要是让学生体会数学中的类比、转化思想．同时也进一步巩固掌握三角形的中位线定理，拓展学生的知识面．
【实际效果】当我添加完辅助线后，学生豁然开朗，很快地找到了解题思路，但仍然有一部分同学没有及时跟上，让同学们课下整理到笔记本上继续探究，课堂上不再展开．
五、总结升华
生：通过本节课，我知道了三角形的中位线以及它的性质定理．
生：我们可以利用三角形的中位线定理来解决相关的许多问题．
生：我还学到了梯形的中位线以及它的性质定理．
生：除了相关定义和定理之外，我更感觉到了数学中的思想方法的重要性，如：转化、类比及归纳等．
生：定理我能理解，但是在应用时，往往还不知如何下手，特别是需要添加辅助线的时候．
……
师：同学们总结得很好！三角形的中位线定理包含了两个方面的内容，既有数量关系，也有位置关系，因而在应用时要根据已知条件和所求对症抓药．辅助线添加是一项基本功，它能很好地化难为易，它是解决问题的灵丹妙药，也是难点，同学们不要急，慢慢来，及时总结经验，很快就能学会这项本领！下节课我们还要再练习提高大家的分析问题、解决问题的能力，相信你们一定能行！
【设计意图】鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中．
【实际效果】学生通过回顾本节课的学习过程，体会“探索—发现—猜想—证明”这样的科学探究过程，通过回顾本节课辅助线的添加，进一步丰富自己的解题经验，提高解题能力和一题多解的能力．
六、当堂反馈
1．在中，分别是的中点，如果的周长等于20，则的周长为 ．
【考查知识点】三角形的中位线定义及定理
A
B
C
D
O
E
D
A
B
C
P
E
F
A
B
C
F
G
E
D
图13
图14
图15

2．（09·河南）如图13，在中，与交于点，点是边的中点，，则的长是 ．
【考查知识点】平行四边形的性质、三角形的中位线定理
3．（11·泉州）如图14，在四边形中，是对角线的中点，分别是的中点，，，则的度数是 ．
【考查知识点】三角形的中位线定理、等边对等角
4．如图15，在中，于，分别是的中点．
求证：四边形为等腰梯形．
【考查知识点】三角形的中位线定理、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、等腰梯形的判定
七、作业设置
1．【基础知识】完成课本第94页，习题3.3第1、4题．
2．【动手能力】动手做一做：利用“剪、拼”的方法将任意一个三角形纸片变成一个与原三角形面积相等的平行四边形纸片，并证明你的做法的合理性．
3．【能力提升】完成《助学》第76~78页第三课时．
板书设计
3．1 平行四边形（3）
一、三角形的中位线
（1）定义：
（2）与中线的区别与联系：

二、三角形的中位线定理
定理：
已知：
求证：
法一： 法二： 法三：
三、利用中位线定理解决问题；
（1）中点四边形形
（2）梯形的中位线及定理：
教学反思
1.创新性地使用教材：
（1）将本课的情境引入改成了问题情境引入，由实际问题入手，由学生已学的问题入手，不仅降低了起点，也复习旧知，易形成系统地知识结构．
（2）增加了课容量，对比分析三角形的中位线与中线并进一步探究二者的联系，不仅巩固了三角形的中位线定理，也加深了对二者的理解．
（3）适时延展，用类比、转化等数学思想引导学生探究梯形中位线及定理，对程度较好的学生是个很大地提升．
2.极大地调动学生
方案的设计、证明方法的探讨，都由学生主动探究，分组全作完成，让学生讲给学生听，我在一边仅适时地修正，多数小问题都在学生讲的过程中由其他学生发现了．
3.注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导．学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性．
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