山东省2013年高考数学第二轮复习-专题三-三角函数及解三角形第2讲-三角恒等变换及解三角形-理.doc

专题三　三角函数及解三角形第2讲　三角恒等变换及解三角形

真题试做
1．(2012·重庆高考，理5)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
2．(2012·山东高考，理7)若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ＝(　　)．
A． B． C． D．
3．(2012·天津高考，理6)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝(　　)．
A． B．－ C．± D．
4．(2012·湖北高考，理11)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.
5．(2012·课标全国高考，理17)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
考向分析
本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识．近几年高考题目中每年有1～2个小题，一个大题，解答题以中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势．三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视．

热点例析
热点一　三角恒等变换及求值
【例1】(2012·山东淄博一模，17)已知函数f(x)＝2cos2－sin x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．
规律方法 明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键．三角恒等变换的常用策略有：
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的分拆与角的配凑：
①二倍角只是个相对概念，如是的二倍角，α＋β是的二倍角等；
②＝－，α＝(α－β)＋β等；
③熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，cos α＝等．
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．
(4)角的合成及三角函数名的统一：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).
变式训练1 (2012·山东济宁模拟，17)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(x∈R，ω＞0)的最小正周期为6π.
(1)求f的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
热点二　三角函数、三角形与向量等知识的交会
【例2】(2012·山东烟台适用性测试一，理17)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos的值域．
规律方法 以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正、余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)．(1)利用正弦定理将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值．(2)求角的大小一定要有两个条件：①是角的范围；②是角的某一三角函数值．用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性的应用．(3)三角形的内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性．在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余．锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值均为正值⇔任意两角的和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方．
变式训练2 (2012·湖北武汉4月调研，18)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，cos(B＋C)＝－.
(1)求cos C的值；
(2)若a＝5，求△ABC的面积．
热点三　正、余弦定理的实际应用
【例3】某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB.现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段．现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A，B分别设在公路上离市中心O多远处才能使A，B之间的距离最短？并求最短距离．(结果保留根号)

规律方法 (1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度．
(2)在解三角形时，要根据具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用．
(3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决．要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法．在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求．
(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错．
(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．
变式训练3 如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α，前进m km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β，已知该岛周围n km范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．

思想渗透
化归转化思想——解答三角恒等变换问题
求解恒等变换问题的思路：
一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：
(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心；
(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用；
(3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等．
【典型例题】(2012·福建高考，文20)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解法一：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
解法二：(1)同解法一．
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α
＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)
＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.

1．已知cos x－sin x＝－，则sin＝(　　)．
A． B．－
C． D．－
2．在△ABC中，如果0＜tan Atan B＜1，那么△ABC是(　　)．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
3．(2012·山东烟台适用性测试一，5)已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，则tan 2α的值为(　　)．
A． B．
C． D．
4．(2012·江西南昌二模，5)已知cos＝－，则cos x＋cos的值是(　　)．
A．－ B．±
C．－1 D．±1
5．(2012·山东淄博一模，10)在△ABC中，已知bcos C＋ccos B＝3acos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，则cos B的值为(　　)．
A． B．－
C． D．－
6．(原创题)已知sin x＝，则sin 2＝______.
7．(2012·湖南长沙模拟，18)已知函数f(x)＝3sin2x＋2sin xcos x＋5cos2x.
(1)若f(α)＝5，求tan α的值；
(2)设△ABC三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，求f(x)在(0，B]上的值域．
8．(2012·广东广州二模，16)已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为，.
(1)求A和ω的值；
(2)已知α∈，且sin α＝，求f(α)的值．
参考答案
命题调研·明晰考向
真题试做
1．A　解析：因为tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，
所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，而tan(α＋β)＝＝＝－3，故选A.
2．D　解析：由θ∈，得2θ∈.
又sin 2θ＝，故cos 2θ＝－.
故sin θ＝＝.
3．A　解析：在△ABC中，由正弦定理：＝，
∴＝，
∴＝，∴cos B＝.
∴cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝.
4．　解析：∵由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，整理可得，a2＋b2－c2＝－ab，∴cos C＝＝＝－，∴C＝.
5．解：(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得
sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0.
因为B＝π－A－C，
所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.
由于sin C≠0，所以sin＝.
又0＜A＜π，故A＝.
(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.
而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8.
解得b＝c＝2.
精要例析·聚焦热点
热点例析
【例1】解：(1)∵f(x)＝1＋cos x－sin x
＝1＋2cos，
∴函数f(x)的最小正周期为2π.
又∵－1≤cos≤1，
故函数f(x)的值域为[－1,3]．
(2)∵f＝，
∴1＋2cos α＝，即cos α＝－.
∵＝
＝
＝，
又∵α为第二象限角，且cos α＝－，
∴sin α＝.
∴原式＝＝＝.
【变式训练1】解：(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx
＝2
＝2sin.
∵函数f(x)的最小正周期为6π，
∴T＝＝6π，即ω＝.
∴f(x)＝2sin.
∴f＝2sin＝2sin＝.
(2)f
＝2sin
＝2sin α＝－，
∴sin α＝－.
f(3β＋2π)＝2sin
＝2sin＝2cos β＝，
∴cos β＝.
∵α，β∈，
∴cos α＝＝，
sin β＝－＝－.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
【例2】解：(1)由m∥n，得(2b－c)cos A－acos C＝0，
∴(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0，
2sin Bcos A＝sin Ccos A＋sin Acos C
＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
在锐角三角形ABC中，sin B＞0，
∴cos A＝，故A＝.
(2)在锐角三角形ABC中，A＝，
故＜B＜.
∴y＝2sin2B＋cos＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B
＝1＋sin 2B－cos 2B
＝1＋sin.
∵＜B＜，∴＜2B－＜.
∴＜sin≤1，＜y≤2.
∴函数y＝2sin2B＋cos的值域为.
【变式训练2】解：(1)在△ABC中，
由cos(B＋C)＝－，得
sin(B＋C)＝＝＝，
∴cos C＝cos [(B＋C)－B]＝cos(B＋C)cos B＋sin(B＋C)sin B
＝－×＋×＝.
(2)由(1)，得sin C＝＝＝，
sin A＝sin(B＋C)＝.
在△ABC中，由正弦定理＝，得
＝，∴c＝8.
故△ABC的面积为S＝acsin B＝×5×8×＝10.
【例3】解：在△AOB中，设OA＝a，OB＝b.
因为OA为正西方向，OB为东北方向，
所以∠AOB＝135°.
又O到AB的距离为10，
所以S△ABO＝absin 135°＝|AB|·10，得|AB|＝ab.
设∠OAB＝α，则∠OBA＝45°－α.
因为a＝，b＝，
所以ab＝·
＝
＝
＝
＝≥.
当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．
所以|AB|≥×＝20(＋1)．
当且仅当α＝22°30′时，“＝”成立．
所以，当a＝b＝＝10时，
A，B之间的距离最短，且最短距离为20(＋1)km.
即当A，B分别在OA，OB上离市中心O 10km处时，能使A，B之间的距离最短，最短距离为20(＋1)km.
【变式训练3】mcos αcos β＞nsin(α－β)
解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，
所以∠AMB＝α－β.
由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝.要使船没有触礁危险，需要BMsin(90°－β)＝＞n，所以α与β满足mcos αcos β＞nsin(α－β)时船没有触礁危险．
创新模拟·预测演练
1．B　解析：由cos x－sin x＝2
＝2
＝2sin，
可得sin＝－.
2．C　解析：由题意0＜A＜π，0＜B＜π，tan Atan B＞0，则A，B两角为锐角，
又tan(A＋B)＝＞0，则A＋B为锐角，则角C为钝角，故选C.
3．B　解析：已知倾斜角为α的直线l与直线x－2y＋2＝0平行，
则tan α＝，tan 2α＝＝＝.
4．C　解析：cos x＋cos＝cos x＋cos xcos＋sin xsin
＝cos x＋sin x＝cos＝×＝－1.
5．A　解析：因为bcos C＋ccos B＝3acos B，
所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝3sin Acos B，
即sin(B＋C)＝3sin Acos B，即cos B＝.
6．2－　解析：sin 2
＝sin＝－cos 2x
＝－(1－2sin2x)＝2sin2x－1
＝2×2－1＝3－－1＝2－.
7．解：(1)由f(α)＝5，得3sin2α＋2sin αcos α＋5cos2α＝5，
∴3·＋sin 2α＋5·＝5.
∴sin 2α＋cos 2α＝1，即sin 2α＝1－cos 2α⇒2sin αcos α＝2sin2α，sin α＝0或tan α＝.
∴tan α＝0或tan α＝.
(2)由＝，得＝，
则cos B＝，即B＝，
又f(x)＝3sin2x＋2sin xcos x＋5cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋4＝2sin＋4，
由0＜x≤，则≤sin≤1，
故5≤f(x)≤6，即值域是[5,6]．
8．解：(1)∵函数f(x)的图象的最高点坐标为，
∴A＝2.
依题意，得函数f(x)的周期
T＝2＝π，
∴ω＝＝2.
(2)由(1)得f(x)＝2sin.
∵α∈，且sin α＝，
∴cos α＝＝.
∴sin 2α＝2sin αcos α＝，
cos 2α＝1－2sin2α＝－.
∴f(α)＝2sin
＝2
＝.

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