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数列基本概念
数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：
依定义域分为：有穷数列、无穷数列；
依值域分为：有界数列和无界数列；
依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；
数列通项：
2、等差数列
1、定义 当,且 时，总有 ，d叫公差。
2、通项公式
1）、从函数角度看 是n的一次函数，其图象是以点 为端点, 斜率为d斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 , 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又,
相减得 ，即.
若 n>m，则以 为第一项，是第n-m+1项，公差为d；
若n<m ，则 以为第一项时，是第m-n+1项，公差为-d.
3）、从发展的角度看 若是等差数列，则 ，, 因此有如下命题：在等差数列中，若 , 则.
3、前n项和公式
由 ，
相加得 ， 还可表示为，是n的二次函数。
特别的，由 可得 。

3、等比数列
1、 定义 当,且 时，总有 , q叫公比。
2、通项公式： , 在等比数列中，若 , 则.
3、前n项和公式:
由 ， 两式相减，
当 时， ；当时 ， 。
关于此公式可以从以下几方面认识：
①不能忽视 成立的条件：。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。②公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。
如，公差为d 的等差数列， ，则，
相减得 ，
当 时，，
当时 ，；
3）从函数角度看 是n的函数，此时q和 是常数。

4、等差与等比数列概念及性质对照表

名称
等差数列
等比数列
定义

，

通项
公式

变式：

性质

中项

单调性

时 增
时 常数列
时 减
或增；
或时减；
时常数列，时摆动数列

前
n
项
和

（推导方法：倒加法）

（推导方法：错位相消法）

结论1、
等差,公差d ， 则 等差 公差kd ；子数列等差,公差md; 若等差 ，公差，则等差，公差。
等比, 公比q，则等比， 公比q ;等比 ,公比;等比,公比。子数列等比，公比 ; 若等差,公差d, 则等比 , 公比为。
2、
等差,公差d 则等差，公差2d; 等差, 公差3d.
等差, 公差,且即连续相同个数的和成等差数列。
等比, 公比q , 则等比，公比 ; 等比，公比；等比，公比q;
等比，公比，（当k为偶数时，）。
3、
等差.公差

等比，公比
4、
等差共2n项，则

等差，共2n+1项，则

=

5、
等差

等比, 公比q

联系1、

各项不为0常数列，即是等差，又是等比。

2、
通项公式.
3、
等差，公差d，, 则,即等比，公比.
4、
等比，公比q,, 即等差,公差.
5、
等差, 等比, 则前n项和求法，利用错位相消法
6、
求和方法：公式法，倒加法，错位相消法，裂项法，累加法，累积法，等价转化法等。

5、递推数列 表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用递推式表示。求递推数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如 递推数列的基本方法，其中数列 可求前n项和，即 ；累乘法是求形如 递推数列通项公式的基本方法，其中数列 可求前n项积，即 .

第一节 等差数列的概念、性质及前n项和
题根一 等差数列{an}中， ，求S20
[思路]等差数列前n项和公式：
1、 由已知直接求a1 ，公差d.
2、 利用性质
[解题 ] 由 ， ，得 ，
，。
[收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。

[请你试试 1——1]
1、 等差数列{an} 满足 ，则有 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求 。
第1变 求和方法——倒序相加法
[变题1] 等差数列{an}共10项， ，，求Sn.
[思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想Sn公式推导方法。
[解题] 已知，，
又 ，得 ，，
[收获] 1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质：，快捷准确；
3、 求出后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。

[请你试试 1——2]
1、 等差数列{an}共2k+1项，所有奇数项和为 ，所有偶数项和为 ，求 ： 的值。
2、 等差数列{an}前n项和为18 ，若 , , 求项数n .
3、 求由 1,2,3,4四个数字组成的无重复数字的所有三位数的和。
4、 求和 。

第2变 已知前n项和及前m项和，如何求前n+m项和
[变题2] 在等差数列{an}中，Sn=a,Sm=b,(m>n)，求Sn+m的值。

[思路] 下标存在关系：m+n=m+n, 这与通项性质 是否有关？
[解题] 由Sn=a,Sm=Sn+a n+1+an+2+……+am=b 得 a n+1+an+2+……+am =b-a,
即 ， 得
由(n+1)+m=1+(n+m), 得an+1+am=a1+am+n
故

[请你试试 1——3]
1、在等差数列{an}中，，，求 。
2、在等差数列{an}中，，，求 。
第3变 已知已知前n项和及前2n项和，如何求前3n项和
[变题3] 在等差数列{an}中，，，求
[思路] 由寻找之间的关系。
[解题] 设数列{an}公差为d ，， ，, , ，
所以 成等差数列，公差100d , 于是 ，得 。
[收获] 1、在等差数列{an}中，成等差数列，即 ，，，……，成等差数列，且。
3、 可推广为 ，，……，。

[请你试试 1——4]
1、在等差数列{an}中，，，求
2、在等差数列{an}中，，，求
3、在等差数列{an}中，，，求 及。
4、数列{an}中，，，求 。
5、等差数列{an}共有3k项，前2k项和 ，后2k项和 ，求中间k项和。

第4变 迁移变换 重视Sx=Ax2+Bx 的应用
[变题4] 在等差数列{an}中，Sn=m,，Sm=n,(m>n)，求Sn+m的值。
[思路] 等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，若所求问题与 无关时，常设为S=An2+Bn形式。
[解题] 由已知可设 Sn=An2+Bn=m Sm=Am2+Bm=n ,
两式相减 ，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n , 又m>n , 所以 ，
得 。
[收获] “整体代换”设而不求，可以使解题过程优化。

[请你试试 1——5]
1、 在等差数列{an}中，，，求
2、 在等差数列{an}中，，，求
3、 在等差数列{an}中，，，求 当n为何值时，有最大值
第5变 归纳总结，发展提高
[题目] 在等差数列{an}中，Sn=a,Sm=b,(m>n)，求Sn+m的值。（仍以变题2为例）
除上面利用通项性质求法外，还有多种方法。现列举例如下：
1、 基本量求解：
由，
相减得,
代入得。

2、利用等差数列前x项和公式Sx=Ax2+Bx求解
由Sx=Ax2+Bx，得 Sn=An2+Bn, Sm=Am2+Bm
两式相减 ，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b
即 故
3、利用关系式求解
由 知 与n成线性关系，从而点集{(n, )}中的点共线，即(n, ),
(m, ),(m+n, )共线，则有 ， 即 ，
化简, 得 ， 即.
4、利用定比分点坐标公式求解
由A(n, ), B(m, ), P(m+n, )三点共线,将点P看作有向线段的定比分点,则 ，可得,
即.

[请你试试 1——6]

若Sn是等差数列{an}的前n项和，S2=3，S6=4 ，则S12______.

第二节 等比数列的概念、性质及前n项和
题根二 等比数列{an} ， , 求。
[思路] 1、由已知条件联立，求，从而得
2、由等比数列性质，知成等比数列。
[解题1] 由 , 两式相除，得 ，。
[解题2] 由 成等比，得 。
[收获] 1、灵活应用性质，是简便解题的基础；
2、等比数列中，序号成等差的项，成等比数列。

[ 请你试试2 ——1]

等比数列{an} ， ，若 ，则_______。

第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列
[变题2] 等比数列{an} ，，求 。
[思路] 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。
[解题] 设，……，，
则是等比数列，，，即 。
[收获] 等比数列{an} ， 时，，…… 成等比数列，但总有 。当k为偶数时，恒成立。

[请你试试2——2]
1、等比数列{an} ， 时，，求。
2、等比数列{an} ， 时，，求。
第2变 成等差，则 成等差
[变题3] 等比数列{an} 中， 成等差，则 成等差 。
[思路] 成等差，得，要证 等差，只需证 。
[解题]由 成等差，得，
当 q=1时， , 由 得 ，。
由， 得 ，
整理得 ，，得 ，
两边同乘以 ， 得 ，即 成等差。
[收获] 1、等比数列{an} 中，成等差，则 成等差。
2、等比数列{an} 中，成等差，则 （其中 ）成等差
3、等比数列{an} 中，成等差，则 （其中）成等差。

[请你试试2——3]
1、 等比数列{an} ， ， 成等差， 求的值。
2、等比数列{an} ，成等差，求证 成等比。
第3变 是等比， 也是等比数列
[变题4]数列 中， 且 ，是等比数列，公比 q ()，求证() 也是等比数列。
[思路] ,欲证 为等比数列，只需证 为常数。
[解题] ，，（）, 得，而 ，，，（ ）, 故 从第二项起，构成等比数列，公比为 q 。

第4变 等比数列在分期付款问题中应用

问题 顾客购买一售价为5000元的商品时，采用分期付款方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，到第12次付款后全部付清。如果月利润为0.8%，每月利息按复利计算，那么每期应付款多少？（精确到1元）
分析一：设每期应付款x元，则
第1次付款后，还欠 5000(1+0.8%)-x（元）
第2次付款后，还欠 [5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x（元）
第3次付款后，还欠 {5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x}(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x（元）
…………
最后一次付款后，款已全部还清，则 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x（1+0.8%）10-……-x(1+0.8%)-x=0 ，
移项 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x（1+0.8%）10+……+x(1+0.8%)+x ， 即
算得 （元）
一般地，购买一件售价为a元的商品，采用分期付款时，要求在m个月内将款还至b元，月利润为p，分n（n是m的约数）次付款，那么每次付款数计算公式为 .
分析二：设每月还款x元，将商家的5000元折算成12个月后的钱要计算12个月的利息，而顾客第一次还的钱也应计算11个月的利息，第二次还的钱应计算10月的利息……，于是得方程
5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x（1+0.8%）10+……+x(1+0.8%)+x， 解得（元）
分析三：设每次还款x元，把还款折成现在的钱，可得
， 解得 （元）。
将上述方法应用到其他实际问题中，如木材砍伐，人口增长等。

[请你试试2——4]

某地现有居民住房的总面积为a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半。当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建设新住房。如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？（取1.110为2.6）
第三节 常见数列的通项及前n项和
[题根3] 求分数数列的前n项和
[思路] 写出数列通项公式，分析数列特点：分母中两因数之差为常数1。
[解题] 数列通项公式 ，亦可表示为 ，
所以 。
[收获] 将数列每一项裂为两项的差，再相加，使得正负抵消。

第1变 分母中两因数之差由常数1由到d
[变题1] 求分数数列的前n项和。
[思路] 写出通项公式，裂项求和。，
[解题] ，
。
[收获]1、求分数数列的前n项和时，将数列每一项裂为两项的差，称裂项法。
2、用裂项法可求解：
（1） 若为等差数列，，公差为d，则
.
3、常见裂项法求和有两种类型：分式型和根式型。如分式型 ；
根式型 ；。另外还有：nn!=(n+1)!-n!， 。

[请你试试 3——1]
1、求分数数列的前n项和
2、求分数数列的前n项和。
2、 求分数数列的前n项和。

第2变 分母中因数由2到3
[变题2] 求分数数列的前n项和。
[思路] 数列中的项的变化：分母因数由两个变为三个，是否还可裂项呢？
[解题] 由 ，
得
。
[收获] 1、分母为连续三因数的积，仍拆为两项的差，再相加，使得正负抵消。
2、对于公差为d ()的等差数列 ,有 .

[请你试试 3——2]
1、求分数数列……的前n项和。
2、求分数数列……的前n项和。
3、求分数数列……的前n项和。

第3变 由分数数列到幂数列
[变题3] 求数列……的前n项和。
[思路] 利用恒等式 ，取k=1 , 2 , 3 ,……，相加正负抵消可解。
[解题] 由恒等式
取k=1、2、3……， 得

…………

各式相加得

得
。
[收获] 利用恒等式 ，类似可得 。
注意：正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。

[请你试试 3——3]
求和 （1），（2），（3）。

第4变 由幂数列到积数列
[变题4] 求数列……的前n项和。
[思路1]写通项公式，由通项特征求解。
[解题1]，

。
[思路2] 利用 裂项相加。
[解题2] 由
得

。
[收获] 对于通项为两因数的积，可推广到通项为k个因数的积，如求数列……的前项和。
由 将每一项裂为两项的差，相加即可正负抵消。
[思路3] 联想组合数公式，可见 ，利用组合数性质可得。
[解题3] 由，得 。

[请你试试 3——4]
求数列……的前n项和。

第4变 由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列
[变题5] 在数列 中，，（1） 分别求出 和 的n取值范围；（2）求数列最大项；（3）求数列前n项和 。
[思路] 1、解正整数不等式，2、利用函数单调性，3、利用错位相消法。
[解题] （1）由 ，当n<9时， ，即 ；当 n<9时 ，， 即 。
（2） 当n=9时， ，是数列的最大项。
（3） 设 …………（1）
则 …………（2）
相减得 。

[请你试试 3——5]
1、 求数列 ……的前n项和。
2、 求和。
3、 求和。
4、 已知数列 ， 数列 ，，求数列 的前n项和。
第四节 递推数列的通项公式及前n项和
1、利用不动点求数列通项
[题根三] 数列 满足，，求通项公式。
[思路] 1、写出 ，由不完全归纳法得表达式。
2、构造新数列，转化成等比数列求解。
[解题] 在的 两边加1，则数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
得 ，即 即为所求。
[收获] 型递推数列，当p=1时, 数列为等差数列；当时,数列为等比数列。下面给出时递推式的通项公式的求法：
方法1、因为 所以一定存在 满足 ， 从而得 ， 此为函数的不动点。 由 ，得是首项为 ，公比为p的等比数列，于是 , 即 ，将 代入上式， 得 通项公式为 ………………（I）
方法2、由,， 得，令， 则，则是首项为，公比为q的等比数列， 得
（*）；当n=1时,（*）式也成立。
[请你试试4——1]
数列满足 , ， 求 。
[变题1] 数列 满足， 求通项公式 。
[思路] 常见解法：先求数列 的通项公式
[解题]由将已知关系式取倒数得 ， 由（#）式 得 ，所以。
[收获] 型递推数列的通项公式的求法：
令 ，得 或 为两不动点。由于，
设，则 ，此为模型。 同样， 也可化为 模型，由（I）式 可求得。更为特殊的是p=s 时，, 设 则数列 是等差数列 。我们常取的倒数求解 ，原因恰是为此 。
[变题2] （06年江西理第22题）数列 满足， 求通项公式。
[解答] ，即，又，得 ，所以 ，得 。
[请你试试4——2]
函数 ，数列 满足，， ，（1）求的通项公式 ；（2）设 ，求 。
[变题2] 数列中， ，求
[思路1] 令 ，得 ，即两不动点，可得是等比数列，
[解法1] 由，
令， 则 ……………………（a ）
由，
令， 则 ……………………（b）
(a) 式除以(b)式 得 ，即是首项为
公比为的等比数列，，

[思路2] 和均可化为型递推式，
[解法2] 由
令， 则 ， 由（I）式 得

所以
[解法3] 由 ， 亦可求得
[收获] 求解型递推数列的通项公式的方法：
令 ， 设其两根为 即两不动点。于是是等比数列， 并且和均可化为型递推式 。

[请你试试4——3]
写出解法3的详细过程。
[变题3] 设数列 前n项和为，求 及 。
[思路] 将已知关系中 的化为 ，再进一步变形。
[解题] 由，得 , 即
, 得.
这是 型递推式，由(#)式得

第1变 递推式
2、累积错位相消法求数列通项
[变题4] 数列 满足，，求通项公式。
[思路] 观察 与、与 存在的关系，思考解题方法。
[解题] ，，，……，，各式相乘得 。
[收获] 1、若f(n)为常数, 则为等比数列。2、型递推式，通项公式求解方法如下：

各式两边分别相乘，得 ……………………………（II）
当n=1时, (II)仍成立
[变题5] 在数列中,,
（1） 求 通项公式 （2）令，求的前n项和。
[思路] 将题中递推式转化、归类，再求解。
[解题] （1）将题中递推式转化为：
.
即 .由 (II) 式 得通项公式
(2) 由 , 得
所以数列前n 项和 ：

第2变 型递推数列
3、累加错位相消法求数列通项
[变题6] 已知数列中，，, 求的通项公式。

[思路] 将题中递推式变形 ，利用错位相消法。
解 将题中递推式表示为：，
于是 ，，，……，
各式相加得
得
即为所求通项公式。
[收获] 对于数列，设 则称数列是差数列， 则
得
所以的通项公式为………… （III）. 当n=1时，也满足(III)式。
[变题7] 在数列中，, , 求通项公式。
[思路] 题中关系式不是型的递推式，但两边同除以n(n+1)，经过变量替换，可化为型递推式。
[解题] 在递推式 两边同除以 n(n+1) , 得
令 得 ，。由（III）式得 表达式为：

于是通项公式为

[请你试试4——4]
求数列 1、4、11、26、57、120、……，的通项公式。

第3变 型递推数列

4、两边同除以 ，经过变量替换，化为型递推式
[变题8] 数列满足 , ， 求 。
[思路] 递推式两边同除以 ，经过变量替换，可化为型递推式。
[解题] 在 两边同除以 ， 得
令 ，则 , 此为模型。
于是 则
所以
[收获] 在中， 当q(n)是常数q时，即为模型。
在两边同除以 , 得 , 令, 得 即可求出 的通项公式，从而得=
[变题9]（2006年全国理第22题）设数列前n项和为，n=1,2,……，求通项 。
[解答] 。因为 ，所以由题设得：，即
，得 。
[规律小结] 根据数列性质可得出递推关系，然后再根据结构特征求通项公式。

[请你试试4——5]
1、数列满足 , ， 求 。
2、数列的前n项和 ，, 求
第3变 型
4、两边取对数，变形转化为模型
[变题10] 数列中，令， （1）求数列的通项公式，（2）设，求。
[思路] 利用对数运算法则变形转化。
解：（1）由已知得 ，即模型，
由(II)式，得。
（2） 由 ， 得
则 。
[收获] ，当q=1时，为等比数列。当 时，对递推式两边取常用对数，得 , 令, 得 ，此为模型，即题根 。

第4变 型
5、利用特征根求通项公式
[变题11] 在数列 中， ， ，求

[思路] 在数列中，已知 ，且 ，求其通项公式方法介绍如下：当 时，存在 满足 （*），即 ，与 比较系数，得 ，由根与系数的关系知 是二次方程 两实根，此方程称为递推式的特征方程。易见，只需将递推式中的 换成 即可得特征方程。由 （*）式知数列 是等比数列，于是 或 。当 时，将p=1-q代入递推式，得 ，则 是以 为首项，-q为公比的等比数列，从而 ，利用错位相消法即可求解。
[解题] 递推式特征方程为 ，解得 ，所以递推式可表示为 ，数列是首项为 ，公比为 的等比数列，所以……，两边同除以 ，得 ，
于是 是首项为0，公差为1等差数列，故，。
[收获] 一般的，在数列中，已知 ，且 ，它的特征方程 两根为，则，当时 ，通项公式 ；当时 ，通项公式 ……，其中A，B为常数，可由 推出。
利用这一结论可方便的推出通项公式。
[变题12] 在数列 中， ， ，求
解：特征方程 两根为。设 ，由，得 A=2，B=-1， 故 。

[请你试试 4——6]
1、在数列 中， ， ，求 。
2、在数列 中， ， ，求 。

第六章 数列 请你试试 答案与提示
[请你试试 1—1]：1、，，选 C
2、a3+a7-a10+a11-a4=，得 。
[请你试试 1—2]：1、略； 2、n=27； 3、由，；
4、倒加法 。
[请你试试 1—3]：1、200； 2、4 。
[请你试试 1—4]：1、12； 2、40； 3、 0、110； 4、3 (b-a)；5、。
[请你试试 1—5]：1、 1504；2、0；3、12或13。
[请你试试 1—6]：。
[请你试试2—1]：等比数列中某些项的积的问题，利用性质解。 设 , ， ，易见A，B，C成等比，公比为 。 由 且 ，得 ，即 ，。
[请你试试2—2]：1、 ；2、 或（舍去）。
[请你试试2—3]：1、等差，则，得 ，即=0；
2、略。
[请你试试2—4]：由上例分析得 a(1+10%)10-x(1+10%)9-……-x(1+10%)-x=2a，即，
即 2.6a-16x=2a 。
[请你试试3—1]：1、 ；2、 ；3、 。
[请你试试3—2]：1、；2、 ；
3、
。
[请你试试3—3]：1、；2、；3、。
[请你试试3—4]：。
[请你试试3—5]：1、；2、分和 两种情形；3、；
4、。
[请你试试4—1]：由 得 ，可得；
或由求。
[请你试试4—2]：提示：；。
[请你试试4—3]：略
[请你试试4—4]：由原数列得一阶差数列 ：3、7、15、31、63、……；由得 二阶差数列 ：
4、8、16、32、……，易得，得，最后得原数列通项公式 。
[请你试试4—5]：1、两边同除以，得，即，得 。2、由, 得 ， 。
[请你试试4—6]：1、特征方程 两根为，设 ，由，得 A=0，B=1， 故 。2、取对数，，令，则 ，，且 ， ……，。